Матрица Грама. $n$-мерный объем

Найти матрицу Грама системы векторов $1, x, x^{2}$ в евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2 со скалярным произведением, заданным следующим образом:

Доказать, что матрица Грама $G\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right) = G$ системы векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ эрмитова пространства является эрмитовой, т. е. $G = \bar{G}^{\top }$.

Доказать, что система векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама $g\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}\right)$ этой системы равен нулю.

Две системы векторов $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ и $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}$ называются взаимными, если

Доказать, что каждая из двух взаимных систем векторов линейно независима.

Доказать, что для любого базиса евклидова пространства существует, причем единственный, взаимный базис. Если исходный базис ортонормирован, то его взаимный базис совпадает с ним.

Даны две взаимные системы векторов $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ и $y_{1}$, $y_{2}, \ldots , y_{n}$. Доказать, что при $1 \leqslant k \leqslant n-1$ система $y_{k+1}, \ldots , y_{n}$ векторов является базисом ортогонального дополнения линейной оболочки системы $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k}$.

Найти взаимный базис для системы $1, x, x^{2}$ в евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2 со скалярным произведением, заданным следующим образом:

Дан базис $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ евклидова пространства и его матрица Грама $G = G\left(e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}\right)$. Найти матрицу перехода от базиса $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ к взаимному с ним базису.

Пусть $S$ — матрица перехода от базиса $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ к базису $e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$. Найти матрицу перехода $T$ от базиса $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}$, взаимного с $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$, к базису $f_{1}^{\prime }, f_{2}^{\prime }, \ldots , f_{n}^{\prime }$, взаимному с $e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$ :

Доказать, что квадрат длины ортогональной составляющей $z$ вектора $x$ относительно пространства $L$, заданного своим базисом $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$, может быть вычислен при помощи определителя Грама:

Доказать, что определитель Грама $g\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}\right)$ системы векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ не меняется при процессе ортогонализации, т. е.

где векторы $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{k}$ получены процессом ортогонализации из системы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$.

Доказать, что все главные миноры матрицы Грама линейно независимой системы векторов всегда положительны, а в случае линейно зависимой системы — неотрицательны.

Выразить при помощи определителей Грама $g_{0} = 1, g_{1}\left(a_{1}\right), \ldots \ldots , g_{n}\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ подсистем системы векторов $a_{1}, \ldots , a_{n}$ квадраты длин $\left|b_{k}\right|^{2}, k = 1, \ldots , n$, векторов, полученных из $a_{1}, \ldots , a_{n}$ процессом ортогонализации.

Доказать, что формулы процесса ортогонализации (с точностью до умножения ортогональных векторов $b_{i}$ на некоторые константы $\alpha_{i}$, т. е. формулы для $b_{i}^{\prime } = \alpha_{i} b_{i}$) могут быть переписаны в виде

Доказать, что $n$-й многочлен Лежандра (см. задачу 1302) равен, с точностью до некоторого числового множителя $c_{n}$, следующему выражению:

где $g\left(1, x, \ldots , x^{k-1}, x^{k+1}, \ldots , x^{n}\right)$ — определитель Грама системы векторов-многочленов, полученной удалением многочлена $x^{k}$ из стандартного базиса $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}$ многочленов степени не выше $n$. Напомним, что скалярное произведение задано по формуле

для произвольных многочленов $f_{1}$ и $f_{2}$.

Доказать, что для определителя Грама $g\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}\right)$ справедливо неравенство (неравенство Адамара)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ попарно ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.

Доказать, что вещественная симметричная матрица $A = \left(a_{i j}\right)$ является матрицей Грама некоторой системы векторов $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ евклидова пространства, т. е. $a_{i j} = \left(e_{i}, e_{j}\right), i, j = 1,2, \ldots , n$, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы $A$ неотрицательны.

Доказать, что любая эрмитова матрица $A = \left(a_{i j}\right)$ с неотрицательными главными минорами является матрицей Грама некоторой системы векторов $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ эрмитова пространства $V: a_{i j} = \left(e_{i}, e_{j}\right), i, j = 1,2, \ldots , n$.

Может ли матрица

быть матрицей Грама:

Может ли матрица

быть матрицей Грама некоторой линейно независимой системы векторов?

Может ли матрица

быть матрицей Грама некоторой системы векторов (необязательно линейно независимой)?

$n$-Мерным параллелепипедом $P\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right)$, построенным по системе линейно независимых векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ векторного пространства, называется множество векторов, представимых в виде линейной комбинации $\sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} a_{i}$, где $0 \leqslant \lambda_{i} \leqslant 1, i = 1,2, \ldots , n$. Если векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ попарно ортогональны, то параллелепипед $P\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right)$ называется прямоугольным. Определим объем $n$-мерного параллелепипеда индуктивно.

Доказать корректность определения $n$-мерного объема (т. е. его независимость от выбора порядка в системе векторов $a_{1}, \ldots , a_{n}$), связав его с определителем Грама $g\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ формулой

Доказать, что если векторы $a_{1}, \ldots , a_{n}$ заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе, то объем $V\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right)$ параллелепипеда, построенного на векторах $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$, может быть найден по формуле

где $\operatorname {det} A$ — определитель матрицы, по столбцам (или по строкам) которой записаны координаты $\left\{ a_{i}^{j}\right\}$ векторов $a_{1}, \ldots , a_{n}$.

Выяснить геометрический смысл неравенства Адамара

и обращения его в равенство.

Доказать обобщенное неравенство Адамара

и выяснить его геометрический смысл. В каком случае неравенство превращается в равенство?

Рассмотрим евклидово пространство $\mathbb {R}^{n}$ со стандартным скалярным произведением. Записав явно в координатах неравенство Адамара, найти верхнюю оценку квадрата определителя произвольной вещественной матрицы $(a_{i j})$.

Доказать, что определитель $\operatorname {det}\left(a_{i j}\right)$ матрицы положительно определенной квадратичной формы удовлетворяет неравенству

Вычислить объем 4-мерного параллелепипеда, заданного векторами $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$, если: