Пространства со скалярным произведением

Доказать, что требование билинейности (полуторалинейности) в аксиомах евклидова (эрмитова) пространства можно заменить на линейность по второму аргументу.

Показать, что функция $f$ от векторов $x$ и $у$ действительной плоскости, заданная формулой

определяет евклидово скалярное произведение на плоскости. Найти скалярное произведение векторов $(1,-1)$ и $(4,1)$.

Рассмотрим функцию $f$ от векторов $x$ и $y$ двумерного пространства, заданную следующим образом:

Доказать, что эта формула определяет евклидово скалярное произведение тогда и только тогда, когда $a > 0, a d-b^{2} > 0$.

Найти длины следующих векторов эрмитова пространства $\mathbb {C}^{3}$:

Проверить, являются ли евклидовыми скалярными произведениями в пространстве многочленов степени не выше $n$ следующие билинейные функции:

Даны многочлены $x^{2}$ и $x^{4}$. Найти их длины и угол $\varphi$ между ними в евклидовом пространстве многочленов степени не выше 4 со скалярным произведением, заданным интегралом:

Проверить, является ли:

Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать следующие неравенства:

При помощи неравенства Коши-Буняковского доказать, что в евклидовом (эрмитовом) пространстве выполнены неравенства треугольника

причем правое неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы $x$ и $y$ коллинеарны и одинаково направлены.

(Теорема Пифагора). Доказать, что если векторы $x$ и $y$ в евклидовом (эрмитовом) пространстве ортогональны, то

Верно ли обратное утверждение?

Доказать, что в параллелограмме, натянутом на векторы $x$ и $y$ евклидова пространства, сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин сторон. Верно ли аналогичное утверждение для эрмитова пространства?

Доказать, что всякое подпространство $L$ евклидова (эрмитова) пространства $V$ является евклидовым (эрмитовым) пространством относительно ограничения на $L$ скалярного произведения из $V$, т. е. скалярного произведения, определенного следующим образом: скалярное произведение $\left(l_{1}, l_{2}\right)_{L}$ двух векторов $l_{1}, l_{2} \in L$ равно их скалярному произведению $\left(l_{1}, l_{2}\right)_{V}$ как векторов из $V$. Такое скалярное произведение называется скалярным произведением, индуцированным вложением $L \subset V$ подпространства $L$ в пространство $V$.

На внешней прямой сумме $V \oplus W$ двух евклидовых (эрмитовых) пространств $V$ и $W$ ввести евклидово (эрмитово) скалярное произведение так, чтобы индуцированные стандартными вложениями

скалярные произведения на $V$ и $W$ совпадали с их исходными скалярными произведениями ($\cdot , \cdot )_{V}$ и $(\cdot , \cdot )_{W}$ соответственно, а подпространства $V$ и $W$ были ортогональны друг другу.

Доказать неравенство Коши-Буняковского для эрмитова пространства:

Пусть $V$ — вещественное евклидово пространство со скалярным произведением $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {R}}$. Показать, что его комплексификация $V_{\mathbb {C}}$ может быть превращена в эрмитово пространство, если ввести в ней эрмитово скалярное произведение ($\cdot , \cdot )_{\mathbb {C}}$ по формуле

Пространство $V_{\mathbb {C}}$ с определенным таким образом эрмитовым произведением $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {C}}$ будем называть комплексификацией $V_{\mathbb {C}}$ евклидова пространства $V$. Какое эрмитово пространство получается комплексификацией из стандартного $\mathbb {R}^{n}$?

Доказать, что если $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис в вещественном евклидовом пространстве $V$, то векторы $e_{1}+i \cdot 0$, $e_{2}+i \cdot 0, \ldots , e_{n}+i \cdot 0$ будут задавать ортонормированный базис в комплексификации $V_{\mathbb {C}}$ относительно эрмитова скалярного произведения, введенного в предыдущей задаче.

Пусть $W$-эрмитово пространство с эрмитовым скалярным произведением (.,)). Рассмотрим его овеществление $W_{\mathbb {R}}$. Доказать, что $W_{\mathbb {R}}$ становится евклидовым пространством, если ввести в $W_{\mathbb {R}}$ евклидово скалярное произведение $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {R}}$ по формуле

В случае $W = \mathbb {C}^{n}$ написать формулу для значения $\left(z_{1}, z_{2}\right)_{\mathbb {R}}$ в стандартных координатах $\left(x^{1}, \ldots , x^{n}, y^{1}, \ldots , y^{n}\right)$ овеществленного пространства $W_{\mathbb {R}}$, заданных равенствами $x^{k}+i y^{k} = z^{k}$. Показать, что если овеществить таким образом стандартное эрмитово пространство $\mathbb {C}^{n}$, то получится стандартное евклидово пространство $\mathbb {R}^{2 n}$.

Показать, что в условиях предыдущей задачи векторы $z$ и $i z$ всегда ортогональны относительно $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {R}}$.

Задача 1284: $W$ — эрмитово пространство с эрмитовым скалярным произведением $(\cdot , \cdot )$, $W_{\mathbb {R}}$ — его овеществление с евклидовым скалярным произведением $\left(z_{1}, z_{2}\right)_{\mathbb {R}} = \operatorname {Re}\left(z_{1}, z_{2}\right)$.

Показать, что мнимая часть $\operatorname {Im}(\cdot , \cdot )$ эрмитова скалярного произведения является вещественной кососимметрической билинейной функцией в эрмитовом пространстве $W$, причем форма $\operatorname {Im}(\cdot , \cdot )$ инвариантна относительно умножения на $i$, т. е.

Показать, что эрмитово скалярное произведение $(\cdot , \cdot )$ однозначно восстанавливается как по своей действительной части $\operatorname {Re}(\cdot , \cdot )$, так и по своей мнимой части $\operatorname {Im}(\cdot , \cdot )$. Для этого выразить:

Доказать, что всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова (эрмитова) пространства линейно независима.

Проверить ортогональность данных векторов и дополнить их до ортогонального базиса всего пространства $\mathbb {R}^{4}:(1,-1,-1,1)$, $(3,1,1,-1)$.

Проверить ортогональность пары векторов $(1,-i, 1+i$), $(1+i,-1+i, 0)$ эрмитова пространства $\mathbb {C}^{3}$ и дополнить ее до ортогонального базиса всего пространства $\mathbb {C}^{3}$.

Относительно евклидова скалярного произведения $(A, B) = \operatorname {tr}\left(A^{\top } B\right) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} b_{i j}$ проверить ортогональность следующей системы матриц:

и дополнить ее до ортогонального базиса всего пространства вещественных квадратных матриц второго порядка.

Дополнить данную систему векторов до ортонормированного базиса всего трехмерного пространства:

Дополнить систему векторов до ортонормированного базиса всего пространства $\mathbb {R}^{4}$ :

Дополнить данную систему векторов до ортонормированного базиса всего эрмитова пространства $\mathbb {C}^{4}$ :

Методом ортогонализации Грама-Шмидта построить ортогональный базис подпространства, порожденного векторами:

Методом ортогонализации Грама-Шмидта построить ортогональный базис подпространства пространства многочленов, порожденного многочленами $x^{3}, x^{4}, x^{5}, x^{6}$ со скалярным произведением, заданным интегралом:

Методом ортогонализации Грама-Шмидта построить ортогональный базис эрмитова пространства $\mathbb {C}^{3}$, порожденного векторами $(1+i, 0,1-i),(1+i,-i, 1+i),(-2 i, 1,2)$.

Доказать, что процесс ортогонализации не увеличивает длины ортогонализуемых векторов, т. е.

где векторы $b_{k}$ получены из системы $a_{k}$ процессом ортогонализации. При каких условиях для некоторого $l, 1 < l \leqslant n$, имеет место равенство $\left|b_{l}\right| = \left|a_{l}\right|$?

Доказать, что в процессе ортогонализации системы векторов $a_{k}$ евклидова пространства возникает нулевой вектор $b_{l}$, если и только если исходная система $a_{k}$ была линейно зависимой. Точнее, $b_{l} = 0$ тогда и только тогда, когда вектор $a_{l}$ линейно выражается через векторы $a_{i}, i = 1,2, \ldots , l-1$.

Последовательность многочленов задана рекуррентной формулой

Последовательность многочленов задана рекуррентной формулой

Найти явные выражения для $P_{2}(x), P_{3}(x), P_{4}(x), P_{5}(x)$.

Определенные таким образом многочлены называются многочленами Лежандра.

Доказать, что многочлены, определенные формулами

Доказать, что ортогональный базис $Q_{k}(t), k = 1,2, \ldots , n$, в пространстве многочленов степени не выше $n$ со скалярным произведением, заданным интегралом

может быть получен некоторой линейной заменой переменной $x = x(t)$ из многочленов Лежандра $P_{k}(x)$ (т. е. $Q_{k}(t) = P_{k}(x(t))$).

Доказать, что матрица перехода от базиса $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ к базису $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{k}$, полученному в результате процесса ортогонализации из базиса $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$, всегда является верхнетреугольной, причем все диагональные элементы этой матрицы равны единице.

Пусть даны линейно независимая система векторов $a_{1}$, $a_{2}, \ldots , a_{k}$ и такая ортогональная система $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{k}$, что матрица перехода от первой системы ко второй является верхнетреугольной. Доказать, что векторы $b_{i}$ ортогональной системы, полученной из $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ процессом ортогонализации, отличаются от векторов системы $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{k}$ лишь постоянными множителями: $b_{i} = \alpha_{i} c_{i}$, $i = 1,2, \ldots , k$.

Доказать, что в результате применения процесса ортогонализации к многочленам $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$ со скалярным произведением $(f, g) = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$ получаются многочлены, отличающиеся лишь постоянными множителями от многочленов Лежандра $P_{k}(x)$. Найти эти множители.

Ортогональной (унитарной) матрицей $U$ называется матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Доказать, что:

Доказать, что произвольную невырожденную матрицу $A$ можно представить в виде произведения $A = U R$ ортогональной (унитарной) матрицы $U$ и верхнетреугольной матрицы $R$. Насколько однозначно такое представление?

Представить матрицу

в виде произведения ортогональной матрицы $U$ на верхнетреугольную $R$ с положительными числами на диагонали.

Представить матрицу

в виде произведения унитарной матрицы $U$ на верхнетреугольную $R$.

Доказать, что координаты $x^{i}, i = 1, \ldots , n$, произвольного вектора $x$ относительно ортогонального базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ могут быть найдены по формулам

Такие координаты называют коэффициентами Фурье вектора $x$ относительно ортогонального базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$.

В евклидовом пространстве непрерывных на отрезке $[-\pi , \pi ]$ функций со скалярным произведением

проверить попарную ортогональность функций следующей системы:

$1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \ldots , \cos n x, \sin n x$.

В подпространстве, порожденном функциями

евклидова пространства тригонометрических многочленов со скалярным произведением

найти коэффициенты Фурье функции $\cos^{3} x$ относительно ортогонального базиса $f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}$.

Пусть $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{k}$ — ортонормированная система векторов евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$. Доказать, что для всех $x \in \mathbb {R}^{n}$ выполняется неравенство Бесселя

причем равенство (равенство Парсеваля) достигается для всех $x$ тогда и только тогда, когда система $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{k}$ является ортонормированным базисом в $\mathbb {R}^{n}$, т.е. $k = n$.

Показать, что число $(e_{i}, x)$ равно длине проекции вектора $x$ на одномерное пространство, порожденное вектором $e_{i}$, а если система $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ образует базис в $\mathbb {R}^{n}$, то $\left(e_{i}, x\right)$ просто равно $i$-й координате $x^{i}$ вектора $x$ относительно этого базиса.

Найти матрицу Грама системы векторов $1, x, x^{2}$ в евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2 со скалярным произведением, заданным следующим образом:

Доказать, что матрица Грама $G\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right) = G$ системы векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ эрмитова пространства является эрмитовой, т. е. $G = \bar{G}^{\top }$.

Доказать, что система векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама $g\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}\right)$ этой системы равен нулю.

Две системы векторов $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ и $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}$ называются взаимными, если

Доказать, что каждая из двух взаимных систем векторов линейно независима.

Доказать, что для любого базиса евклидова пространства существует, причем единственный, взаимный базис. Если исходный базис ортонормирован, то его взаимный базис совпадает с ним.

Даны две взаимные системы векторов $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ и $y_{1}$, $y_{2}, \ldots , y_{n}$. Доказать, что при $1 \leqslant k \leqslant n-1$ система $y_{k+1}, \ldots , y_{n}$ векторов является базисом ортогонального дополнения линейной оболочки системы $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k}$.

Найти взаимный базис для системы $1, x, x^{2}$ в евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2 со скалярным произведением, заданным следующим образом:

Дан базис $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ евклидова пространства и его матрица Грама $G = G\left(e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}\right)$. Найти матрицу перехода от базиса $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ к взаимному с ним базису.

Пусть $S$ — матрица перехода от базиса $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ к базису $e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$. Найти матрицу перехода $T$ от базиса $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}$, взаимного с $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$, к базису $f_{1}^{\prime }, f_{2}^{\prime }, \ldots , f_{n}^{\prime }$, взаимному с $e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$ :

Доказать, что квадрат длины ортогональной составляющей $z$ вектора $x$ относительно пространства $L$, заданного своим базисом $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$, может быть вычислен при помощи определителя Грама:

Доказать, что определитель Грама $g\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}\right)$ системы векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ не меняется при процессе ортогонализации, т. е.

где векторы $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{k}$ получены процессом ортогонализации из системы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$.

Доказать, что все главные миноры матрицы Грама линейно независимой системы векторов всегда положительны, а в случае линейно зависимой системы — неотрицательны.

Выразить при помощи определителей Грама $g_{0} = 1, g_{1}\left(a_{1}\right), \ldots \ldots , g_{n}\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ подсистем системы векторов $a_{1}, \ldots , a_{n}$ квадраты длин $\left|b_{k}\right|^{2}, k = 1, \ldots , n$, векторов, полученных из $a_{1}, \ldots , a_{n}$ процессом ортогонализации.

Доказать, что формулы процесса ортогонализации (с точностью до умножения ортогональных векторов $b_{i}$ на некоторые константы $\alpha_{i}$, т. е. формулы для $b_{i}^{\prime } = \alpha_{i} b_{i}$) могут быть переписаны в виде

Доказать, что $n$-й многочлен Лежандра (см. задачу 1302) равен, с точностью до некоторого числового множителя $c_{n}$, следующему выражению:

где $g\left(1, x, \ldots , x^{k-1}, x^{k+1}, \ldots , x^{n}\right)$ — определитель Грама системы векторов-многочленов, полученной удалением многочлена $x^{k}$ из стандартного базиса $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}$ многочленов степени не выше $n$. Напомним, что скалярное произведение задано по формуле

для произвольных многочленов $f_{1}$ и $f_{2}$.

Доказать, что для определителя Грама $g\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}\right)$ справедливо неравенство (неравенство Адамара)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ попарно ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.

Доказать, что вещественная симметричная матрица $A = \left(a_{i j}\right)$ является матрицей Грама некоторой системы векторов $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ евклидова пространства, т. е. $a_{i j} = \left(e_{i}, e_{j}\right), i, j = 1,2, \ldots , n$, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы $A$ неотрицательны.

Доказать, что любая эрмитова матрица $A = \left(a_{i j}\right)$ с неотрицательными главными минорами является матрицей Грама некоторой системы векторов $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ эрмитова пространства $V: a_{i j} = \left(e_{i}, e_{j}\right), i, j = 1,2, \ldots , n$.

Может ли матрица

быть матрицей Грама:

Может ли матрица

быть матрицей Грама некоторой линейно независимой системы векторов?

Может ли матрица

быть матрицей Грама некоторой системы векторов (необязательно линейно независимой)?

$n$-Мерным параллелепипедом $P\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right)$, построенным по системе линейно независимых векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ векторного пространства, называется множество векторов, представимых в виде линейной комбинации $\sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} a_{i}$, где $0 \leqslant \lambda_{i} \leqslant 1, i = 1,2, \ldots , n$. Если векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ попарно ортогональны, то параллелепипед $P\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right)$ называется прямоугольным. Определим объем $n$-мерного параллелепипеда индуктивно.