Метод наименьших квадратов и интерполяция функций

Рассмотрим некоторые вектор $x$ и подпространство $L$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$. Доказать, что среди векторов подпространства $L$ ортогональная проекция $x^{\| }$вектора $x$ на $L$ «наименее уклоняется» от данного вектора $x$, т. е.

Доказать, что псевдорешение можно найти как решение новой неоднородной системы уравнений, составленной при помощи матрицы Грама $G\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right)$ :

Каков геометрический смысл найденных констант $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$?

Методом наименьших квадратов найти псевдорешение следующих несовместных систем линейных уравнений:

Доказать, что система многочленов $\varphi_{k}(x), k = 0, \ldots , n$, из (13.1) образует ортонормированный базис пространства многочленов степени не выше $n$ относительно скалярного произведения

Даны $2 n+1$ попарно различных точек $x_{i}, i = 0, \ldots , 2 n$, отрезка $[0,2 \pi ]$. В пространстве $V_{2 n+1}$ тригонометрических многочленов

найти такие тригонометрические многочлены $t_{k}$, что

Показать, что $t_{k}$ образуют ортонормированный базис пространства $V_{2 n+1}$ относительно скалярного произведения

Доказать, что в пространстве $V_{2 n+1}$ тригонометрических многочленов существует, и притом единственное, решение $\mathscr {T}_{2 n+1}$ системы уравнений

где $x_{0}, \ldots , x_{2 n}-2 n+1$ попарно различных точек отрезка $[0,2 \pi ]$, a $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — некоторая функция.

Найти многочлен $h$ минимальной степени такой, что в данных попарно различных точках $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$ его значения и производные совпадают со значениями и производными данной функции:

С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа $L_{n}^{f}$ можно интерполировать произвольную функцию $f$ на числовой прямой по таблице ее значений $f\left(x_{0}\right), f\left(x_{1}\right), \ldots , f\left(x_{n}\right)$, где $-\infty < x_{0} < \ldots \ldots < x_{n} < +\infty$.

Доказать, что если множество $\left\{ x_{i}, i = 0, \ldots , n\right\}$ узлов интерполяции симметрично относительно нуля, то из четности (нечетности) функции $f(x)$ следует четность (нечетность) функции $L_{n}^{f}(x)$.

Введем пространство $V_{n+1}$ дискретных функций $f: M_{n+1} \rightarrow \mathbb {R}$ на конечном множестве $M_{n+1} = \left\{ x_{0}, \ldots , x_{n}\right\}$. Показать, что $V_{n+1}$ является евклидовым пространством относительно скалярного произведения $(f, g) = f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)+f\left(x_{1}\right) g\left(x_{1}\right)+\ldots +f\left(x_{n}\right) g\left(x_{n}\right)$. Указать какой-нибудь ортонормированный базис пространства $V_{n+1}$.

Доказать, что решение $L_{m}^{f}(x)$ задачи интерполяции по методу наименьших квадратов в пространстве $V_{n+1}$ существует и единственно, причем коэффициенты $a_{i}, i = 0, \ldots , m$, находятся из системы неоднородных линейных уравнений

где $G\left(\varphi_{0}, \varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m}\right)$ — матрица Грама системы функций $\varphi_{0}(x), \ldots \ldots , \varphi_{m}(x)$ в евклидовом пространстве $V_{n+1}$.

Методом наименьших квадратов найти интерполяцию (наилучшее среднеквадратичное приближение) функции $f$, заданной значениями $f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 5$ :

Доказать, что в случае ортонормированной системы функций $\varphi_{0}(x), \ldots , \varphi_{n}(x)$ коэффициенты $a_{i}, i = 0, \ldots , n$, равняются коэффициентам Фурье функции $f$, т. е. линейная комбинация с коэффициентами Фурье функции $f$ есть наилучшая интерполяция функции $f$.

Методом наименьших квадратов найти в евклидовом пространстве непрерывно дифференцируемых функций со скалярным произведением

интерполяцию (наилучшее среднеквадратичное приближение) непрерывно дифференцируемой функции $f$ при помощи системы функций $\varphi_{0}(x) = 1, \varphi_{1}(x) = \cos x, \varphi_{2}(x) = \sin x$.