Банк задач по математике

Задача 1353

Назовем расстоянием между двумя векторами $x$ и $y$ евклидова (эрмитова) пространства величину $\left|x-y\right|$ . Расстоянием $\rho (x, L)$ от вектора $x$ до линейного подпространства $L$ называется число, равное $\inf_{l \in L}\left|x-l\right|$ — нижняя грань расстояний от вектора $x$ до векторов подпространства $L$ .

Доказать, что расстояние $\rho (x, L)$ равно длине ортогональной составляющей $z$ вектора $x$ относительно подпространства $L$ .

?

Задача 1354

Найти расстояние между вектором $(7,1,1,1$ ) и подпространством $L = \langle (1,0,1,2),(3,-1,-1,-4)\rangle$ .

?

Задача 1355

(1)(2)(3)

Найти расстояние между вектором $v$ и подпространством $L$ , заданным системой однородных линейных уравнений:

?

(1)

$v = (-1,3,-3,5), L:\begin{cases} x+2 y+z+t = 0, \\ 5 x-2 y+z-9 t = 0 \end{cases}$

(2)

$v = (-1,5,3,5), \quad L:\begin{cases} -4 x+3 y+2 z+t = 0, \\ -x+2 y-z = 0 ; \end{cases}$

(3)

$v = (10,3,1,-5), L:\begin{cases} x-y+z+t = 0, \\ 5 x+3 y-7 z-4 t = 0. \end{cases}$

Задача 1356

В пространстве многочленов степени не выше $n$ рассматриваются три различных скалярных произведения:

\begin{gathered} (f, g)_{0} = \int _{0}^{1} f(x) g(x) d x, \quad (f, g)_{1} = \int _{-1}^{1} f(x) g(x) d x \\ (f, g)_{2} = \int _{-1}^{1} \frac{f(x) g(x)}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \end{gathered}

Относительно каждого скалярного произведения (т.е. в каждом из этих трех евклидовых пространств) найти расстояния $d_{0}, d_{1}, d_{2}$ от многочлена $x^{n}$ до подпространства $L$ многочленов степени меньше $n$ .

?

Задача 1357

Определим угол $\varphi$ между вектором $x$ и подпространством $L$ в евклидовом пространстве $V$ как наименьший угол, который образует $x$ с векторами из $L$ , т. е. $\varphi = \inf_{y \in L}(\widehat{x, y})$ . Доказать, что этот угол $\varphi$ равен углу между вектором $x$ и его ортогональной проекцией $x^{\| }$ на подпространство $L$ , если $x^{\| } \neq 0$ , и равен $\pi / 2$ , если $x^{\| } = 0$ .

?

Задача 1358

(1)(2)(3)(4)

Найти угол между вектором $x$ и подпространством $L$ , если:

?

(1)

$x = (4,-8,0,1), \quad L = \langle (-1,1,2,3),(2,0,1,1)\rangle$ ;

(2)

$x = (5,-1,3,5), \quad L = \langle (4,-2,-2,0),(5,-10,8,3)\rangle$ ;

(3)

$x = (-3,3,-1,5), L = \langle (1,4,-1,6),(2,2,4,-3)\rangle$ ;

(4)

$x = (3,1,1,1), \quad L = \langle (1,1,-1,2),(1,-1,0,1),(1,-1,0,-3)\rangle$ .

Задача 1359

(1)(2)(3)

Найти угол $\varphi$ между вектором $x$ и подпространством $L$ , заданным системой линейных уравнений:

?

(1)

$x = (-1,5,3,5), \quad L:\begin{cases} -2 x+4 y-2 z = 0, \\ -10 x+5 y+8 z+3 t = 0 \end{cases}$ ;

(2)

$x = (-1,3,-3,5), L:\begin{cases} -x+4 y+z+6 t = 0, \\ 4 x+2 y+2 z-3 t = 0 ; \end{cases}$

(3)

$x = (6,2,0,3)$ ,

$L:\begin{cases} x-y-z = 0, \\ x+y+t = 0. \end{cases}$

Задача 1360

(1)(2)(3)

Определение угла между прямой и плоскостью, угла между двумя прямыми и угла между плоскостями в трехмерном пространстве может быть обобщено на многомерный случай следующим образом.

?

(1)

Пусть $L_{1}$ и $L_{2}$ — два подпространства некоторого конечномерного евклидова пространства, пересекающиеся лишь по нулевому вектору: $L_{1} \cap L_{2} = \left\{ 0\right\}$ . Максимум функции

f(x, y) = \frac{(x, y)}{\left|x\right| \cdot \left|y\right|}

на декартовом произведении $(L_{1} \backslash \left\{ 0\right\} ) \times \left(L_{2} \backslash \left\{ 0\right\} \right)$ принимаем за косинус угла между подпространствами $L_{1}$ и $L_{2}$ . С другой стороны, этот угол является минимальными среди углов $\varphi (x, y)$ между всеми парами ненулевых векторов $x$ и $y: x \in L_{1}, y \in L_{2}$ .

Доказать, что если подпространства $L_{1}$ и $L_{2}$ не ортогональны, то для определенного таким образом угла справедливы равенства

\min _{\substack {x \in L_{1}, x \neq 0 \\ y \in L_{2}, y \neq 0}} \varphi (x, y) = \min _{x \in L_{1}, x \neq 0} \varphi \left(x, x^{\| }\right) = \min _{y \in L_{2}, y \neq 0} \varphi \left(y^{\| }, y\right)

где $x^{\| }$ - ортогональная проекция вектора $x$ на $L_{2}$ , а $y^{\| }$ -ортогональная проекция вектора $y$ на $L_{1}$ .

Доказать, что если подпространства $L_{1}$ и $L_{2}$ ортогональны, то угол между ними равен $\pi / 2$ .

(2)

Если $L_{1} \cap L_{2} \neq \left\{ 0\right\}$ и $L_{1} \neq L_{1} \cap L_{2}, L_{2} \neq L_{1} \cap L_{2}$ , угол $\varphi$ определяется как угол между подпространствами $W_{1} = L_{1} \cap \left(L_{1} \cap L_{2}\right)^{\perp }$ и $W_{2} = L_{2} \cap \left(L_{1} \cap L_{2}\right)^{\perp }$ .

(3)

Если же $L_{1} = L_{1} \cap L_{2}$ или $L_{2} = L_{1} \cap L_{2}$ (т. е. одно из подпространств содержится в другом), то значение угла $\varphi$ полагается равным нулю.

Задача 1361

Даны два подпространства $L_{1}$ и $L_{2}$ , заданные как линейные оболочки: $L_{1} = \langle (3,3,4,4),(3,-3,4,-4)\rangle$ и $L_{2} = \langle (1,0,0,0),(0,1,0,0)\rangle$ .

Доказать, что все векторы из подпространства $L_{1}$ образуют один и тот же угол с подпространством $L_{2}$ ; найти этот угол.

?

Задача 1362

(1)(2)

Доказать, что угол между подпространствами можно находить следующим образом.

Пусть $L_{1}$ и $L_{2}$ -два подпространства евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$ , пересекающиеся лишь по нулевому вектору: $L_{1} \cap L_{2} = \left\{ 0\right\} , x$ — произвольный вектор подпространства $L_{1}$ , а $x^{\| }$ - его ортогональная проекция на подпространство $L_{2}$ . Доказать, что:

?

(1)

функции $g(x) = (x, x)$ и $f(x) = \left(x^{\| }, x^{\| }\right)$ являются квадратичными функциями, заданными на подпространстве $L_{1}$ , причем функция $g(x)$ положительно определена;

(2)

косинус угла $\varphi$ между подпространствами $L_{1}$ и $L_{2}$ равен $\sqrt{\lambda_{\max }}$ , где $\lambda_{\max }$ — максимальный корень уравнения $\operatorname {det}(F-\lambda G) = 0$ , где $F, G$ — матрицы (в некотором базисе подпространства $L_{1}$ ) квадратичных функций $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.

Задача 1363

Найти угол между подпространством $\left\langle e_{1}, e_{2}\right\rangle$ и подпространством $\left\langle a_{1}, a_{2}\right\rangle$ , где $e_{1} = (1,0,0,0)$ и $e_{2} = (0,1,0,0)$ , в каждом из следующих случаев:

?

(1)

$a_{1} = (2,3,1,6), a_{2} = (3,2,-6,-1)$ ;

(2)

$a_{1} = (1,2,1,2), a_{2} = (2,1,-2,-1)$ ;

(3)

$a_{1} = (1,1,1,1), a_{2} = (1,1,3,-5)$ ;

(4)

$a_{1} = (1,0,2,2), a_{2} = (0,1,1,-1)$ ;

(5)

$a_{1} = (1,1,1,1), a_{2} = (1,-1,7,-7)$ .

Задача 1364

Найти угол между подпространствами $L_{1}$ и $L_{2}$ четырехмерного пространства, где

L_{1} = \langle (1,1,1,1),(1,-1,1,-1)\rangle , \quad L_{2} = \langle (2,2,1,0),(1,-2,2,0)\rangle

?

Расстояния и углы