$n$-мерный куб и $n$-мерный симплекс

Найти кратчайшее расстояние между двумерной гранью единичного четырехмерного куба и его диагональю, не пересекающей эту грань.

Доказать, что ортогональные проекции вершин $n$-мерного куба на любую его диагональ делят ее на $n$ равных частей.

Найти угол между диагональю четырехмерного куба и его одно-, двух- и трехмерной гранями.

(Теорема Пифагора в $n$-мерном пространстве). Доказать, что квадрат диагонали $n$-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины.

Найти угол между диагональю $n$-мерного куба и его $k$-мерной гранью.

Найти число:

Найти длину диагонали $n$-мерного куба с ребром $a$.

Какие трехмерные тела получаются в сечении четырехмерного куба $\left\{ x \in \mathbb {R}^{4} \mid -1 \leqslant x^{i} \leqslant 1, i = 1,2,3,4\right\}$ трехмерной гиперплоскостью $x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4} = \varepsilon$ при значениях $\varepsilon = 0,2,3,4,5$? Сравнить результаты с аналогичной трехмерной задачей.

В $n$-мерном кубе $I_{1}:\left|x^{i}\right| \leqslant 1, i = 1,2, \ldots , n$, мы «раздвинули» на $10^{-3}$ его стенки, т. е. получили новый куб $I_{1+10^{-3}}:\left|x^{i}\right| \leqslant 1+\varepsilon$, $i = 1,2, \ldots , n$. Найти размерность $n$, в которой объем куба $I_{1+10^{-3}}$ будет не менее чем в два раза превышать объем исходного куба $I_{1}$.

Доказать, что прямая, соединяющая центры двух противоположных граней правильного симплекса, перпендикулярна к этим граням.

Найти расстояние между $k$-мерной гранью правильного $n$-мерного симплекса с ребром единичной длины и противоположной ей $(n-k-1)$-мерной гранью.

Найти угол между двумерными гранями правильного четырехмерного симплекса.