Геометрия аффинных евклидовых пространств

Найти длины сторон и внутренние углы треугольника, заданного своими вершинами $A(-3,4,1,2), B(1,2,3,3), C(5,4,-3,3)$.

Найти длину и основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(5,1,0,8)$ на плоскость, проходящую через три точки $A(1,2,3,4), B(2,3,4,5), C(2,2,3,7)$.

Найти длину и основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(4,2,-5,1)$ на плоскость, заданную системой уравнений

Найти угол между прямой $x^{1} = x^{2} = 2 x^{3} = 2 x^{4}$ и плоскостью

Доказать, что расстояние $\rho \left(P_{1}, P_{2}\right)$ между двумя аффинными подпространствами $P_{1} = M_{1}+L_{1}$ и $P_{2} = M_{2}+L_{2}$ аффинного евклидова пространства $E$ может быть найдено как длина ортогональной составляющей вектора $\overrightarrow {M_{1} M_{2}}$ относительно подпространства $L_{1}+L_{2}$.

Плоскость $P$ проходит через точки $A(1,1,1,1), B(2,2,0,0)$, $C(1,2,0,1)$, а прямая $l$ — через две точки $D(1,1,1,2), E(1,1,2,1)$.

Определить взаимное расположение прямой $l$ и плоскости $P$, написать уравнения и найти длину общего перпендикуляра.

Плоскость $P$ проходит через точки $A(1,1,1,1), B(3,0,1,1)$, $C(1,1,-1,2)$, а прямая $l$ — через две точки $D(4,2,1,6), E(0,5,4,4)$. Определить взаимное расположение прямой $l$ и плоскости $P$ и найти расстояние $\rho$ между ними.

Найти расстояние между двумя плоскостями, если первая проходит через точки $A_{1}(4,5,3,2), B_{1}(5,7,5,4), C_{1}(6,3,4,4)$, а вторая — через точки $A_{2}(1,-2,1,-3), B_{2}(3,-2,3,-2), C_{2}(2,-4,1,-4)$.

Доказать, что расстояние $h$ от точки $M$ аффинного евклидова пространства до плоскости, проходящей через точку $N$ параллельно подпространству $L$, заданному своим базисом $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$, может быть найдено при помощи определителя Грама по формуле

Найти расстояние между точкой $(5,-1,4,-3$) и двумерной плоскостью, заданной системой неоднородных линейных уравнений

Найти расстояние между прямой $l$ и плоскостью $P$, если:

Найти расстояние между прямой $l$ и плоскостью $P$, заданной системой уравнений:

Найти расстояние между многочленом $3 x / 5$ и аффинным подпространством многочленов вида $x^{3}+P(x)$, где $P(x)$ — произвольный многочлен степени не выше 2, в аффинном евклидовом пространстве многочленов степени не выше 3 со скалярным произведением, заданным интегралом

Найти расстояние между аффинным подпространством многочленов вида $5 x^{3}+L$, где $L$ есть линейное подпространство многочленов, порожденное многочленами $x^{2}$ и $x$, и аффинной прямой многочленов вида $3 x+$ const в аффинном евклидовом пространстве $\mathbb {R}_{3}[x]$ многочленов степени не выше 3 со скалярным произведением, заданным как и в предыдущей задаче.

Найти расстояние $h$ от точки $M = \left(x_{0}^{1}, x_{0}^{2}, \ldots , x_{0}^{n}\right)$ аффинного евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$ до гиперплоскости $a_{1} x^{1}+a_{2} x^{2}+\ldots \ldots +a_{n} x^{n}+b = 0$.

В треугольнике $A_{1} A_{2} A_{3}$ евклидовой плоскости:

Задан занумерованный двумя индексами набор чисел $a_{12} = a_{13} = a_{23} = 1, a_{01} = a_{02} = a_{03} = \varepsilon$. При каких значениях $\varepsilon$ :

Задан набор из $C_{n}^{2}$ неотрицательных чисел $a_{i j}$, пронумерованных двумя индексами $i, j = 0,1, \ldots , n-1, i < j$. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данный набор $\left\{ a_{i j}\right\}$ был набором