Ортогональное дополнение

Доказать, что ортогональное дополнение $L^{\perp }$ к линейному подпространству $L$ евклидова (эрмитова) пространства $V$ является линейным подпространством. В случае $n$-мерного евклидова пространства $V$ найти размерность $L^{\perp }$, если размерность $L$ равна $k$.

Пусть $L$ — подпространство конечномерного евклидова пространства $V$. Доказать, что все пространство $V$ есть прямая сумма $L$ и его ортогонального дополнения $L^{\perp }: V = L \oplus L^{\perp }$.

Доказать следующие свойства ортогонального дополнения $L^{\perp }$ к линейному подпространству $L$ в конечномерном евклидовом пространстве $V$ :

Найти базис ортогонального дополнения $L^{\perp }$ подпространства $L$, натянутого на векторы:

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение $L^{\perp }$ подпространства $L$, если $L$ задано системой линейных однородных уравнений:

В евклидовом пространстве $\mathbb {R}_{2 n}[x]$ многочленов степени не выше $2 n$ со скалярным произведением, заданным интегралом

найти ортогональное дополнение $L^{\perp }$ к подпространству $L = \left\langle 1, x^{2}, x^{4}, \ldots , x^{2 n}\right\rangle$ (подпространству четных многочленов).

В евклидовом пространстве квадратных матриц со скалярным произведением

найти ортогональное дополнение к подпространству:

Найти ортогональную проекцию $x^{\| }$и ортогональную составляющую $x^{\perp }$ вектора $x = (9,1,3,-1)$ при проекции на подпространство $L = \langle (3,0,4,1),(1,1,1,-1),(3,-3,5,5)\rangle$.

Найти ортогональную проекцию $x^{\| }$и ортогональную составляющую $x^{\perp }$ вектора $x = (2,5,-2,3)$ при проекции на подпространство $L = \langle (-3,1,1,1),(1,0,1,0),(-1,0,1,1)\rangle$.

Найти ортогональную проекцию $Y$ и ортогональную составляющую $Z$ матрицы $X$ в евклидовом пространстве вещественных квадратных матриц второго порядка со скалярным произведением $(A, B) = \operatorname {tr}\left(A^{\top } B\right) = \sum_{i, j = 1}^{2} a_{i j} b_{i j}$ при проекции на подпространство $L = \left\langle A_{1}, A_{2}\right\rangle$, где