Операторы в евклидовом (эрмитовом) пространстве

Найти сопряженный оператор A*, если оператор А представляет собой умножение всех векторов на одно и то же число $\lambda$ (гомотетию).

Найти сопряженный оператор к оператору поворота евклидовой плоскости на угол $\alpha$.

Пусть оператор А в некотором базисе евклидова (эрмитова) пространства имеет матрицу $A$, а скалярное произведениематрицу Грама $G$. Найти матрицу $A^{*}$ сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ в этом базисе.

Пусть $(e_{1}, e_{2})$ — ортонормированный базис евклидова пространства и оператор А имеет матрицу $A$ в базисе $\left(e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }\right)$. Найти матрицу сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ в этом базисе, если:

Пусть $(e_{1}, e_{2})$ — ортонормированный базис эрмитова пространства, оператор А в базисе $(e_{1}+i e_{2}, i e_{1}-2 e_{2})$ имеет матрицу $\left(\begin{array}{c}i-2 \\ 2 i-3\end{array}\right)$. Найти матрицу сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ в этом базисе.

В пространстве многочленов $\mathbb {R}_{2}[t]$ степени не выше 2 найти матрицы оператора дифференцирования $\mathbf{A} = \frac{d}{d t}$ и сопряженного к нему оператора $\mathbf{A}^{*}$ в базисе $1, t, t^{2}$, если скалярное произведение задано следующим образом:

Найти сопряженный оператор $\mathbf{A}^{*}$, если оператор $\mathrm{A}^{\text{пред- }}$ ставляет собой:

Найти оператор $\mathbf{C}^{*}$, сопряженный к оператору $\mathbf{C}$ умножения на фиксированную матрицу $C, \mathrm{C}(X) = C X$, в евклидовом (эрмитовом) пространстве матриц со стандартным скалярным произведением

В бесконечномерном евклидовом пространстве многочленов $\mathbb {R}^{x}$ со скалярным произведением

задан оператор $\mathbf{A}$, значение которого $\mathbf{A}(f)$ на произвольном многочлене $f$ определяется по формуле

где $P(x, y)$ — некоторый фиксированный многочлен от двух переменных. Доказать, что сопряженный ему оператор A* задается формулой

Доказать, что операция перехода к сопряженному оператору в евклидовом (эрмитовом) пространстве обладает следующими свойствами:

Правым (левым) графиком оператора А в линейном пространстве $V$ называется подмножество прямой суммы $V \oplus V$, состоящее из всех элементов вида $(x, \mathrm{~ A} x)$ (соответственно из всех элементов вида $(\mathrm{A} x, x)$). Показать, что левый и правый графики оператора являются линейными подпространствами в $V \oplus V$. Показать далее, что правый график $\left\{ (x, \mathbf{A} x)\right\}$ оператора $\mathbf{A}$ и левый график $\left\{ (\mathbf{B} x, x)\right\}$ оператора В в евклидовом (эрмитовом) пространстве ортогональны как подпространства пространства $V \oplus V$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{B} = -\mathbf{A}^{*}$. Скалярное произведение во внешней прямой сумме вводится стандартным образом (см. задачу 1280).

Лапласианом оператора А называется оператор $L(\mathbf{A}) = \mathbf{A A}^{*} + \mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$. Доказать, что ядро оператора $L(\mathbf{A})$ совпадает с пересечением ядер операторов А и А*.

Доказать, что если один и тот же вектор $x$ является собственным для линейного оператора А с собственным значением $\lambda$ и для сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ с собственным значением $\mu$, то $\lambda = \bar{\mu }$.

Доказать, что если $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные числа оператора $\mathbf{A}$, то собственными числами сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ будут сопряженные числа $\bar{\lambda }_{1}, \bar{\lambda }_{2}, \ldots , \bar{\lambda }_{n}$.

Пусть для оператора А существует базис из собственных векторов. Доказать, что тогда для сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ также имеется базис из собственных векторов, причем можно выбрать собственные базисы $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ и $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}$ для операторов $\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}^{*}$ соответственно так, чтобы они образовывали пару взаимных базисов:

(Теорема Шура). Доказать, что в эрмитовом пространстве для любого оператора существует ортонормированный базис, в котором матрица данного оператора имеет треугольный вид.

Как связаны между собой жордановы формы операторов А и $\mathbf{A}^{*}$?

Пусть А - (не обязательно линейное) отображение евклидова пространства $V$ в себя, для которого существует сопряженное отображение, т. е. отображение $\mathbf{A}^{*}$ со свойством (A $\left.x, y\right) = \left(x, \mathbf{A}^{*} y\right)$ для всех $x, y \in V$. Доказать, что тогда А и А* линейны.

Пусть $\mathbf{A}: V \rightarrow W$ — линейное отображение евклидовых (эрмитовых) пространств. Показать, что равенство ($\left.x, \mathbf{A}^{*} y\right) = (\mathbf{A} x, y)$, $x \in V, y \in W$, единственным образом определяет сопряженное линейное отображение $\mathbf{A}^{*}: W \rightarrow V$. Это отображение является нулевым лишь при $\mathbf{A} = 0$ и обладает всеми свойствами сопряженного оператора, приведенными в задаче 1417.

Пусть А-такой оператор, что $\mathrm{A}^{*} \mathrm{~ A}$ является проектором. Доказать, что тогда АA* — также проектор.

Пусть А — линейный оператор, заданный в евклидовом пространстве $V$, и $\mathbf{A}^{*}$ — оператор, ему сопряженный. Доказать, что:

Доказать, что для того чтобы линейный оператор А, заданный в конечномерном евклидовом пространстве, переводил ортогональный базис пространства в ортогональную систему векторов, необходимо и достаточно, чтобы векторы этого базиса были собственными векторами оператора AA, где A — оператор, сопряженный к A.

Доказать, что матрица $A$ самосопряженного оператора в ортонормированном базисе:

В стандартном базисе четырехмерного евклидова пространства $\mathbb {R}^{4}$ найти матрицу оператора ортогонального проектирования пространства на подпространство $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 0$.

В стандартном базисе четырехмерного евклидова пространства $\mathbb {R}^{4}$ найти матрицу ортогонального проектирования пространства на двумерное подпространство

В стандартном базисе четырехмерного евклидова пространства $\mathbb {R}^{4}$ найти матрицу ортогонального отражения пространства относительно одномерного подпространства, порожденного вектором $e = (1,1,1,1)$.

В стандартном базисе четырехмерного евклидова пространства $\mathbb {R}^{4}$ найти матрицу ортогонального отражения пространства относительно двумерного подпространства

Доказать, что для того чтобы оператор проектирования пространства $V$ на подпространство $V_{1}$ параллельно подпространству $V_{2}$ был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы подпространства $V_{1}$ и $V_{2}$ были ортогональны.

Показать, что оператор C умножения на симметричную (эрмитову) матрицу $C, \mathrm{C}(X) = C X$, в евклидовом (эрмитовом) пространстве вещественных (комплексных) квадратных матриц порядка $n$ со стандартным скалярным произведением

является самосопряженным.

Показать, что оператор двукратного дифференцирования $\mathbf{A} = \frac{d^{2}}{d x^{2}}$ является самосопряженным оператором в пространстве $V$ тригонометрических многочленов

с евклидовым скалярным произведением

Показать, что функции $1 / 2, \cos x, \sin x, \ldots , \cos n x, \sin n x$ образуют собственный ортонормированный базис оператора $\mathbf{A}$, найти соответствующие собственные значения.

Показать, что оператор А в пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$, значение которого на произвольном многочлене $f$ задано формулой

является самосопряженным оператором относительно скалярного произведения $(f, g) = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$. Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном из многочленов Лежандра $P_{0}(x), P_{1}(x), \ldots \ldots , P_{n}(x)$, где

Показать, что оператор А в пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$, значение которого на произвольном многочлене $f$ задано формулой

является самосопряженным оператором относительно скалярного произведения

Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном из многочленов Чебышёва (первого рода) $T_{0}, T_{1}, T_{2}, \ldots , T_{n}$, где $T_{k}(\cos \theta ) = \cos (k \theta )$, $k = 1,2, \ldots , n$.

Доказать, что если A-самосопряженный оператор в евклидовом пространстве $V$, то $V$ представляется в виде прямой суммы ядра и образа этого оператора: $V = \operatorname {Ker} \mathbf{A} \oplus \operatorname {Im} \mathbf{A}$.

Доказать, что для того чтобы произведение двух самосопряженных операторов было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были перестановочны.

Доказать, что в евклидовом пространстве линейная комбинация самосопряженных операторов является самосопряженным оператором. Верно ли аналогичное утверждение в эрмитовом пространстве?

Доказать, что все собственные значения самосопряженного (эрмитова) оператора в эрмитовом пространстве и все корни характеристического многочлена самосопряженного оператора в евклидовом пространстве вещественны.

Показать, что собственные векторы самосопряженного оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что ортогональное дополнение $L^{\perp }$ к инвариантному подпространству $L$ самосопряженного оператора А также является инвариантным подпространством для этого оператора.

Доказать, что для самосопряженного оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве $V$ существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора. Матрицу оператора в этом базисе, имеющую вид

где по диагонали стоят вещественные числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ (собственные значения оператора), будем называть каноническим видом самосопряженного оператора, соответствующий базис будет называться каноническим базисом самосопряженного оператора.

Показать, что в евклидовом пространстве оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства, состоящий из собственных векторов оператора А. Верно ли аналогичное утверждение в эрмитовом пространстве?

Каков вид жордановой нормальной формы самосопряженного оператора?

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис для самосопряженного оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей:

Выяснить, может ли матрица $A$ являться матрицей самосопряженного оператора в евклидовом пространстве в некотором (не обязательно ортонормированном) базисе, если

Может ли матрица $\left(\begin{array}{rrr}3 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ быть матрицей самосопряженного оператора (для некоторого евклидова скалярного произведения в $\mathbb {R}^{3}$)? Если да, то найти соответствующую матрицу Грама.

Доказать, что два самосопряженных оператора в евклидовом или эрмитовом пространстве коммутируют тогда и только тогда, когда они имеют общий канонический базис.

Показать, что самосопряженный оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве положителен (неотрицателен) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны (неотрицательны).

Показать, что для любого оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве имеют место следующие утверждения:

Показать, что самосопряженный оператор А в евклидовом (эрмитовом) пространстве является положительным тогда и только тогда, когда в некотором базисе матрица скалярного произведения $G$ и матрица оператора $A$ связаны соотношением $A = G^{-1}$.

Показать, что для любого положительного (неотрицательного) самосопряженного оператора А существует, притом единственный, положительный (соответственно, неотрицательный) самосопряженный оператор $\mathbf{B}$, для которого $\mathbf{A} = \mathbf{B}^{2}$. Оператор $\mathbf{B}$ называется неотрицательным квадратным корнем из А.

Найти неотрицательный квадратный корень из оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей:

Пусть $A$-произвольная вещественная матрица размера $m \times n$. Доказать, что квадратные матрицы $A^{*} A$ и $A A^{*}$ являются симметричными и неотрицательно определенными. Корни из собственных значений матрицы $A^{*} A$ называются сингулярными числами матрицы $A$.

Пусть $A$ — произвольная действительная (комплексная) невырожденная матрица. Доказать, что $A$ может быть представлена в виде произведения матриц $A = U_{1} C U_{2}$, где $U_{1}$ и $U_{2}$ — ортогональные (унитарные) матрицы, а $C$-диагональная матрица, у которой по диагонали стоят вещественные положительные числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$. Доказать, что эти числа являются сингулярными числами матрицы $A$ (см. предыдущую задачу). Разложение $A = U_{1} C U_{2}$ называется сингулярным разложением матрицы $A$. Каков геометрический смысл этого разложения?

Пусть $\mathrm{A}: V \rightarrow \widetilde{V}$ — линейное отображение ранга $r$ из $n$-мерного евклидова пространства $V$ в $m$-мерное $\tilde{V}$. Доказать, что в пространствах $V$ и $\widetilde{V}$ можно так выбрать ортонормированные базисы $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ и $\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}, \ldots , \widetilde{e}_{m}$ соответственно, что матрицы отображений А: $V \rightarrow \widetilde{V}$ и $\mathbf{A}^{*}: \widetilde{V} \rightarrow V$ (определение $\mathbf{A}^{*}$ см. в задаче 1426), записанные в этих базисах, имеют вид

Базисы $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ и $\tilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}, \ldots , \widetilde{e}_{m}$ называются сингулярными базисами линейного отображения А. Доказать, что числа $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{r}$ являются ненулевыми сингулярными числами матрицы отображения А.

Пусть $A$ — симметричная положительно определенная матрица. Доказать, что $A$ представляется в виде произведения $A = L R$, где $L$ и $R$ — соответственно нижнетреугольная и верхнетреугольная матрицы.

Представить симметричную матрицу

в виде произведения нижнетреугольной матрицы $L$ на верхнетреугольную $R$.

(Эрмитово разложение). Показать, что любой оператор А в эрмитовом пространстве единственным образом представляется в виде $\mathbf{A} = \mathbf{H}_{1}+i \mathbf{H}_{2}$, где $\mathbf{H}_{1}, \mathbf{H}_{2}$ — самосопряженные операторы. Какой смысл имеет это разложение в случае одномерного пространства?

Найти эрмитово разложение оператора A, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

Доказать, что:

С помощью матриц Паули удобно задавать матричную реализацию алгебры кватернионов $\quaternions$. Проверить, что отображение $\rho : \quaternions \rightarrow W$, заданное на образующих алгебры кватернионов

определяет изоморфизм $\rho$ алгебры кватернионов $\quaternions$ и алгебры $W$ комплексных матриц вида $\left(\begin{array}{rr}a & b \\ -\bar{b} & \bar{a}\end{array}\right)$.

Показать, что матрица кососимметрического оператора в ортонормированном базисе евклидова пространства кососимметрична. Аналогично матрица $A$ косоэрмитова оператора в ортонормированном базисе эрмитова пространства косоэрмитова, т. е. $A = -\bar{A}^{\top }$.

Показать, что любой кососимметрический оператор в двумерном евклидовом пространстве представляется в виде композиции поворота плоскости на угол $\pi / 2$ и гомотетии.

В трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{3}$, снабженном векторным произведением $[\cdot , \cdot ]$, зададим оператор $\varphi_{a}$ по формуле $\varphi_{a}(x) = [x, a]$, где $a \in \mathbb {R}^{3}$ — некоторый фиксированный вектор. Доказать, что оператор $\varphi_{a}$ является кососимметрическим оператором.

Показать, что оператор $L_{C}$ левого умножения на кососимметричную (косоэрмитову) матрицу $C, L_{C}(X) = C X$, в евклидовом (эрмитовом) пространстве вещественных (комплексных) матриц порядка $n$ со стандартным скалярным произведением

является кососимметрическим (косоэрмитовым).

Доказать, что линейный оператор переводит каждый вектор пространства в вектор, ему ортогональный, тогда и только тогда, когда этот оператор кососимметрический.

Доказать, что собственные векторы косоэрмитова оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что ортогональное дополнение $L^{\perp }$ к инвариантному подпространству $L$ кососимметрического (косоэрмитова) оператора А тоже инвариантно относительно этого оператора.

Показать, что для кососимметрического оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора состоит из двумерных блоков вида

и одномерных нулевых блоков, расположенных на главной диагонали. Матрицу оператора в этом базисе будем называть каноническим видом кососимметрического оператора, а сам базис — каноническим базисом.

Показать, что кососимметрический оператор в нечетномерном евклидовом пространстве вырожден.

В трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{3}$, снабженном векторным произведением $[\cdot , \cdot ]$, зададим оператор $\varphi_{a}$ по формуле $\varphi_{a}(x) = [x, a]$, где $a \in \mathbb {R}^{3}$ — некоторый фиксированный вектор. Найти (не вычисляя канонического базиса) канонический вид оператора $\varphi_{a}$ как кососимметрического оператора.

Доказать, что в трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{3}$, снабженном векторным произведением $[\cdot , \cdot ]$, всякий кососимметрический оператор $\varphi$ может быть представлен в виде

где $a \in \mathbb {R}^{3}$ — некоторый фиксированный вектор.

Показать, что корни характеристического многочлена кососимметрического оператора в евклидовом пространстве, а также собственные значения косоэрмитова оператора в эрмитовом пространстве — чисто мнимые числа (или нули).

Доказать, что косоэрмитов оператор А в эрмитовом пространстве диагонализируем в некотором ортонормированном базисе. Матрицу косоэрмитова оператора в этом базисе, имеющую вид

(где по диагонали стоят чисто мнимые числа $i \varphi_{k}, \varphi_{k} \in \mathbb {R}, k = 1, \ldots , n$), мы будем называть каноническим видом косоэрмитова оператоpa А, а сам базис — каноническим базисом.

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис косоэрмитова оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей:

Доказать, что комплексификация $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ кососимметрического оператора А, действующего в евклидовом пространстве $V$, является косоэрмитовым оператором в соответствующем эрмитовом пространстве $V_{\mathbb {C}}$ (комплексификации пространства $V$). Причем если оператор А был задан (вещественной кососимметричной) матрицей в некотором ортонормированном базисе $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ евклидова пространства $V$, то эта матрица будет являться и матрицей комплексификации $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ в ортонормированном базисе $e_{1}+i 0, e_{2}+i 0, \ldots , e_{n}+i 0$ эрмитова пространства $V_{\mathbb {C}}$.

Доказать, что в каноническом виде кососимметрического оператора А двумерные блоки вида $\left(\begin{array}{rr}0 & a \\ -a & 0\end{array}\right), a \in \mathbb {R}$, и векторы $e_{2 k-1}, e_{2 k}$ канонического базиса, относящиеся к таким блокам, т. е. такие, что

могут быть найдены следующим образом.

Комплексификация $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ данного оператора имеет такую же матрицу $A$, что и оператор $\mathbf{A}$. Найдем характеристические числа этой матрицы $A$. Рассмотрим корень $\lambda = i a$. Найдем базис соответствующего собственного подпространства $V_{\lambda } \subset V$ и ортогонализуем его (относительно эрмитова скалярного произведения). Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots \ldots , z_{l}$ — получившиеся векторы. Обозначим через $x_{j}$ и $y_{j}$ их действительные и мнимые части: $z_{j} = x_{j}+i y_{j}, j = 1,2, \ldots , l$.

Система вещественных векторов $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, \ldots , x_{l}, y_{l}$ ортогональна, причем $\left|x_{j}\right| = \left|y_{j}\right|, j = 1, \ldots , l$ (в евклидовом пространстве), и оператор А действует на ее векторах нужным образом:

Нормируем векторы $x_{j}^{\prime } = x_{j} /\left|x_{j}\right|, y_{j}^{\prime } = y_{j} /\left|y_{j}\right|$ и включим их в канонический базис. Каждая такая пара векторов $x_{j}^{\prime }, y_{j}^{\prime }$ будет отвечать блоку вида $\left(\begin{array}{rr}0 & a \\ -a & 0\end{array}\right)$ канонического вида оператора А.

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис кососимметрического оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей:

Пусть $V$-пространство бесконечно дифференцируемых периодических функций с периодом $2 \pi$ с евклидовым скалярным произведением

Показать, что в этом пространстве оператор дифференцирования $\mathbf{A} = \frac{d}{d x}$ является кососимметрическим. Найти матрицу его ограничения $\widetilde{\mathbf{A}} = \left.\mathbf{A}\right|_{V_{2 n+1}}$ на подпространство $V_{2 n+1}$ тригонометрических многочленов в базисе

пространства $V_{2 n+1}$. Найти собственные функции и собственные значения комплексификации $\widetilde{\mathbf{A}}_{\mathbb {C}}$ оператора $\widetilde{\mathbf{A}}$.

Как устроена жорданова нормальная форма косоэрмитова оператора?

Можно ли так ввести скалярное произведение в пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$, где $n \geqslant 1$, чтобы оператор дифференцирования $\frac{d}{d x}$ стал бы кососимметрическим?

Показать, что любой оператор А в евклидовом (соответственно, эрмитовом) пространстве единственным образом представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметрического (соответственно самосопряженного и косоэрмитова) операторов.

Показать, что операция $\mathrm{A} \mapsto i \mathrm{~ A}$ умножения операторов в эрмитовом пространстве на мнимую единицу устанавливает изоморфизм вещественного пространства всех самосопряженных операторов и вещественного пространства косоэрмитовых операторов.

Показать также, что этот изоморфизм является и изоморфизмом евклидовых пространств, где скалярное произведение в пространствах самосопряженных и косоэрмитовых операторов задается единой формулой $(A, B) = \operatorname {tr}\left(A^{*} B\right)$.

Доказать, что для любой кососимметрической билинейной функции в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором ее матрица имеет блочно-диагональный вид с блоками вида $\left(\begin{array}{cc}0 & a \\ -a & 0\end{array}\right), a \in \mathbb {R}$ или (0), на главной диагонали.

Доказать, что для любой косоэрмитовой полуторалинейной функции в эрмитовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид с чисто мнимыми числами (или нулями) на диагонали.

Является ли ортогональным (соответственно, унитарным) оператором в евклидовом (соответственно, эрмитовом) пространстве:

Доказать, что любое отображение евклидова пространства на себя, сохраняющее скалярное произведение, линейно.

Доказать, что если оператор А сохраняет длины всех векторов евклидова пространства $V$, т. е. $\left|\mathrm{A} x\right| = \left|x\right|$ для всех $x \in V$, то он является ортогональным оператором.

Доказать, что матрица $A$ ортогонального (унитарного) оператора, записанная в ортонормированном базисе, удовлетворяет соотношению $A^{\top } A = A A^{\top } = E$ (соответственно $\bar{A}^{\top } A = A \bar{A}^{\top } = E$), т. е. является ортогональной (соответственно, унитарной) матрицей.

Показать, что оператор $L_{C}$ умножения слева на произвольную ортогональную (унитарную) матрицу $C, L_{C}(X) = C X$, в евклидовом (соответственно, эрмитовом) пространстве вещественных (соответственно, комплексных) матриц со скалярным произведением

является ортогональным (унитарным).

Доказать, что все ортогональные (унитарные) матрицы порядка $n$ имеют одинаковую длину относительно стандартного скалярного произведения

Найти эту длину.

Доказать, что:

Как устроены группы $O(1), U(1), O(2)$?