[НЕТ ЗАГОЛОВКА]

(Теорема Фредгольма). Неоднородная система линейных уравнений

совместна тогда и только тогда, когда вектор-столбец $b \in \mathbb {R}^{m}$ ортогонален всем решениям однородной системы $A^{\top } x = 0$ с транспонированной матрицей $A^{\top }$.

При помощи теоремы Фредгольма исследовать совместность следующих систем линейных неоднородных уравнений:

(Альтернатива Фредгольма). Доказать, что либо неоднородная система линейных уравнений $A x = b$ совместна при любой правой части $b$, либо однородная система $A^{\top } x = 0$ имеет ненулевые решения.

При помощи теоремы Фредгольма исследовать совместность следующих систем линейных неоднородных уравнений при различных значениях $\lambda$ :

Доказать, что множество псевдорешений системы $A x = b$ образует аффинное подпространство (линейное многообразие)

в $\mathbb {R}^{n}$ ($x^{\prime }$ — некоторое псевдорешение).

Пусть $P = x^{\prime }+\operatorname {Ker} A$ — аффинное подпространство псевдорешений системы $A x = b$, а $x^{\prime \prime } \in P$ — некоторое псевдорешение. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

Рассмотрим систему $A x = b$, где $A$-матрица оператора $\mathrm{A}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{m}$. Пространства $\mathbb {R}^{n}$ и $\mathbb {R}^{m}$ снабжены стандартными скалярными произведениями. Пусть $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ — канонический базис неотрицательного самосопряженного оператора $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{r}$ — его положительные (т. о. ненулевые) собственные значения, отвечающие собственным векторам $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{r}$ соответственно. Доказать, что общее псевдорешение $x^{\prime }$ системы $A x = b$ имеет вид

причем нормальное псевдорешение

Если мы имеем несовместную систему $A x = b$ линейных неоднородных уравнений, то с точки зрения теории линейных операторов речь идет о ситуации, когда оператор $\mathbf{A}$ необратим, а вектор $b$ не лежит в его образе Im A. С помощью скалярного произведения удается определить так называемый псевдообратный оператор $\mathbf{A}^{+}$, который будет «наилучшим образом заменять» несуществующий обратный оператор $\mathbf{A}^{-1}$.

Дан произвольный оператор $\mathbf{A}: V \rightarrow W$, где $V$ и $W$ — евклидовы пространства размерностей $n$ и $m$. Выберем в них ортогональные дополнения к ядру Ker A и образу Im A оператора A соответственно:

Определим оператор

Доказать, что $\widetilde{\mathrm{A}}$ — обратимый оператор. Заметим, что $\tilde{\mathrm{A}}$ есть оператор не только с иной областью определения, но и с другой областью значений, чем у исходного оператора А.

Пусть матрица $A$ системы уравнений определяет некоторое линейное отображение $\mathbf{A}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{m}$. Пространства $\mathbb {R}^{n}$ и $\mathbb {R}^{m}$ можно считать евклидовыми, снабдив их соответствующими (например стандартными) скалярными произведениями. Определим псевдообратный оператор $\mathrm{A}^{+}$следующим образом:

где $\widetilde{A} = \left.\mathrm{A}\right|_{(\text{Кке А) }}$ — оператор, построенный в предыдущей задаче. Доказать, что:

Доказать, что ядро и образ псевдообратного оператора $\mathbf{A}^{+}$ совпадают соответственно с ядром и образом сопряженного $\mathrm{A}^{*}$ оператора.

Пусть $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n} \in V$ и $\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}, \ldots , \widetilde{e}_{m} \in W$ — сингулярные базисы (см. задачу 1460) оператора $\mathrm{A}: V \rightarrow W$. Найти матрицу псевдообратного оператора $\mathbf{A}^{+}$относительно этих двух базисов.

Пусть $\mathrm{A}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{m}$ — линейное отображение евклидовых пространств, заданное матрицей $A$. Определим отображение $\mathbf{B}: \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ следующим образом: пусть $y \in \mathbb {R}^{m}$, тогда значение В $(y) \in \mathbb {R}^{n}$ определим как (единственное) нормальное псевдорешение системы $A x = y$. Доказать, что:

Найти псевдообратный оператор $\mathrm{A}^{+}$для оператора $\mathrm{A}: \mathbb {R}^{4} \rightarrow \mathbb {R}^{3}$, заданного матрицей

Доказать следующие свойства псевдообратных операторов:

Пусть столбцы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ матрицы $A$ оператора $\mathbf{A}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{m}$ линейно независимы. Доказать, что матрица $A^{+}$псевдообратного оператора $\mathbf{A}^{+}$может быть найдена следующим образом: $i$-й столбец $a_{i}^{+}, i = 1, \ldots , m$, матрицы $A^{+}$есть псевдорешение системы линейных уравнений

(здесь $e_{i}-i$-й вектор стандартного базиса $\mathbb {R}^{m}$), найденное методом наименьших квадратов.

Найти псевдообратный оператор $\mathrm{A}^{+}$для оператора $\mathrm{A}: \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{4}$, заданного матрицей

Доказать, что матрица $A^{+}$псевдообратного оператора $\mathbf{A}^{+}$ (определенного относительно стандартного скалярного произведения) равна нормальному псевдорешению матричного уравнения $A X = E$ (рассмотренного как неоднородная система линейных уравнений с $n m$ неизвестными).

Пусть ранг матрицы $A$ оператора $\mathbf{A}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{m}$ равен $n$. Доказать, что матрица $A^{+}$псевдообратного оператора $\mathbf{A}^{+}$(определенного относительно стандартного скалярного произведения) может быть вычислена по следующей формуле:

Ряд алгоритмов, созданных для решения систем линейных уравнений, основан на следующих задачах о некоторых элементарных ортогональных (унитарных) преобразованиях.

Пусть $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$. Назовем элементарным вращением $\mathbf{A}_{i j}(\varphi )$ поворот на угол $\varphi$ в двумерном подпространстве с базисом $e_{i}, e_{j}$.

Найти матрицу оператора $\mathbf{A}_{i j}(\varphi )$ в базисе $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$. Доказать, что для любого вектора $v \in \mathbb {R}^{n}$ существует набор из $n$ - 1 элементарных вращений таких, что их композиция А переводит вектор $v$ в вектор $\left|v\right| e_{1} = (\left|v\right|, 0, \ldots , 0)$.

Доказать, что любая ортогональная матрица $A$ может быть представлена в виде произведения $N = \frac{n(n-1)}{2}$ матриц $A_{i_{N} j_{N}}\left(\varphi_{N}\right), \ldots$..., $A_{i_{1} j_{1}}\left(\varphi_{1}\right)$ элементарных вращений и диагональной матрицы $A_{d}$, у которой на диагонали стоят $\left\{ \pm 1\right\}$ :

Рассмотрим подпространство $L$ евклидова (эрмитова) пространства $\mathbb {R}^{n}\left(\mathbb {C}^{n}\right)$ размерности $n-1$, заданное уравнением $(x, w) = 0$, где $w$ — некоторый вектор $\mathbb {R}^{n}\left(\mathbb {C}^{n}\right)$, причем $\left|w\right| = 1$. Пусть $\mathrm{A}$ — оператор ортогонального отражения относительно $L$. Доказать, что матрица оператора А имеет вид

где $w$ — столбец координат вектора $w$, рассмотренный как матрица размера $n \times 1$. Операторы такого вида будем называть операторами элементарного отражения.

Пусть $x$ — произвольный вектор единичной длины пространства $\mathbb {R}^{n}\left(\mathbb {C}^{n}\right)$. Найти такой оператор отражения относительно гиперплоскости $L$ (см. предыдущую задачу), т. е. найти такой вектор $w$, что

Где геометрически расположено соответствующее подпространство $L$?

Доказать, что любая унитарная (ортогональная) матрица может быть представлена в виде произведения $n-1$ матриц элементарных отражений и диагональной унитарной (ортогональной) матрицы.

Придумать алгоритмы для представления произвольной вещественной квадратной матрицы $A$ в виде произведения $A = U R$ ортогональной матрицы $U$ на верхнетреугольную матрицу $R$ с помощью: