Квадратичные функции и поверхности второго порядка

Доказать, что канонический вид квадратичной функции в евклидовом пространстве определен однозначно с точностью до перестановки коэффициентов $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$. Показать, что эти коэффициенты могут быть найдены как характеристические числа матрицы данной квадратичной функции, записанной в произвольном ортонормированном базисе.

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие квадратичные функции к каноническому виду, и указать этот канонический вид:

Пусть $U$ — ортогональный оператор в евклидовом пространстве $V$. Определим квадратичную функцию равенством $f(x) = (x, U x)$. Показать, что канонический базис оператора $U$ является одновременно каноническим базисом квадратичной функции $f$. Найти канонический вид $f$, зная канонический вид оператора $U$.

Ортогональным преобразованием привести квадратичную функцию $f(x) = x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\ldots +x_{n-1} x_{n}+x_{n} x_{1}$ к каноническому виду (с нахождением канонического базиса).

Пусть даны две квадратичные функции $f$ и $g$. Они называются ортогонально эквивалентными, если от одной из них можно перейти к другой посредством ортогонального преобразования координат. Доказать, что функции $f$ и $g$ ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают характеристические многочлены их матриц.

Пусть $f$ и $g$ — пара квадратичных функций от одних и тех же переменных, причем $g$ положительно определена. Выберем произвольное линейное преобразование, приводящее функцию $g$ к нормальному виду, а функцию $f$-к каноническому:

Доказать, что числа $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ с точностью до перестановки определяются однозначно, т. е. не зависят от выбора линейного преобразования. Доказать, что эти числа являются корнями так называемого $\lambda$-уравнения $\operatorname {det}(A-\lambda B) = 0$, где $A$ и $B$ — матрицы функций $f$ и $g$ соответственно.

Пусть $f$ и $g$ — пара квадратичных функций от одних и тех же переменных, $A$ и $B$ — их матрицы. Доказать, что множество корней уравнения $\operatorname {det}(A-\lambda B) = 0$ не меняется при невырожденных линейных преобразованиях переменных.

Доказать, что если к положительно определенной квадратичной функции $f$ прибавить квадрат ненулевой линейной функции от тех же переменных, то определитель матрицы функции $f$ увеличится.

Пусть

• положительно определенная квадратичная функция и

Доказать, что для определителей матриц этих функций выполнено неравенство $D_{f} \leqslant a_{11} D_{g}$.

Для данной пары квадратичных функций выяснить, какая из них является положительно определенной, и найти преобразование координат, приводящее эту функцию к нормальному, а другую — к каноническому виду; указать этот канонический вид:

Пусть $f$ и $g$-две положительно определенные квадратичные функции от одних и тех же переменных. Пусть одно невырожденное линейное преобразование переменных приводит функцию $f$ к виду $f = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2}$, а функцию $g$ — к нормальному виду, а другое невырожденное линейное преобразование приводит функцию $f$ к нормальному виду, а функцию $g$ — к виду $g = \sum_{i = 1}^{n} \mu_{i} z_{i}^{2}$. Найти связь между коэффициентами $\lambda_{i}$ и $\mu_{i}$.

Доказать, что следующие пары квадратичных функций нельзя привести к диагональному виду одним вещественным невырожденным линейным преобразованием:

Доказать, что для двух пар квадратичных функций $f_{1}, g_{1}$ и $f_{2}, g_{2}$, где $g_{1}$ и $g_{2}$ положительно определены, невырожденное линейное преобразование, одновременно переводящее $f_{1}$ в $f_{2}$ и $g_{1}$ в $g_{2}$, существует тогда и только тогда, когда корни уравнений

совпадают.

Существует ли невырожденное линейное преобразование, одновременно переводящее пару квадратичных функций $f_{1}, g_{1}$ в паpy $f_{2}, g_{2}$ :

Пусть $f$-квадратичная функция в евклидовом пространстве $V, A$-ее матрица в некотором ортонормированном базисе, $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \ldots \leqslant \lambda_{n-1} \leqslant \lambda_{n}$ — упорядоченные собственные значения матрицы $A, L \subset V$ — линейное подпространство коразмерности один. Рассмотрим новую квадратичную функцию $g$, являющуюся ограничением функции $f$ на $L$. Пусть $\mu_{1} \leqslant \mu_{2} \leqslant \ldots \leqslant \mu_{n-1}$ — упорядоченные собственные значения матрицы квадратичной функции $g$ в некотором ортонормированном базисе пространства $L$. Доказать, что

Пусть $f$-квадратичная форма на евклидовом пространстве $V$. Определим для каждых двух ортогональных векторов $a, b \in V$ функцию $\varphi_{a, b}(t) = f(a \cos t+b \sin t)$. Доказать, что направление вектора $a$ является главным направлением формы $f$ тогда и только тогда, когда для любого вектора $b$, ортогонального вектору $a$, выполнено $\left.\frac{d \varphi_{a, b}}{d t}\right|_{t = 0} = 0$.

Пусть $f_{2}(x)+2 f_{1}(x)+f_{0} = 0$ — общее уравнение поверхности второго порядка в аффинном пространстве $\mathbb {R}^{n}$, где $f_{2}$ и $f_{1}$ квадратичная и линейная функции соответственно, а $f_{0}$-число, и пусть $r \geqslant 1$ — ранг квадратичной функции $f_{2}$. Доказать, что следующий список уравнений дает аффинную классификацию поверхностей второго порядка в $\mathbb {R}^{n}$. I. $x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{r}^{2} = 1,0 \leqslant k \leqslant r$.

При $k = r = n$ поверхность называется действительным $(n-1)$-мерным эллипсоидом; при $k = 0, r = n$-мнимым $(n-1)$-мерным эллипсоидом; при $0 < k < r = n$ называется $(n-1)$-мерным гиперболоидом; при $r < n$-цилиндром над соответствующей $(r-1)$-мерной поверхностью.

II. $x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{r}^{2} = 0, k \geqslant \frac{r}{2}$ при четном $r$ и $k \geqslant \frac{r+1}{2}$ при нечетном $r$.

При $k < r = n$ поверхность называется действительным $(n-1)$-мерным конусом; при $r < n$ — цилиндром над $(r-1)$-мерным конусом или конической поверхностью.

III. $x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{r}^{2} = 2 x_{r+1}, k \geqslant \frac{r}{2}$ при четном $r < n$ и $k \geqslant \frac{r+1}{2}$ при нечетном $r < n$.

При $r = n-1$ поверхность называется $(n-1)$-мерным параболоидом; при $r < n-1$ — цилиндром над соответствующим $(r-1)$-мерным параболоидом.

Определить аффинный тип сечения поверхности

плоскостью $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-1 = 0$.

Найти каноническое уравнение и каноническую систему координат для поверхности:

Определить аффинный тип сечения поверхности

плоскостью $x_{2}+x_{3}+x_{4}-1 = 0$.

Найти максимальную размерность плоскости, содержащейся в поверхности второго порядка, заданной в $n$-мерном аффинном пространстве, если эта поверхность является:

Найти все прямолинейные образующие поверхности $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}-x_{3}^{2} = 2 x_{4}$, проходящие через точку $(1,1,1,1 / 2)$.

Пусть $f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ и $g\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ — две квадратичные функции, хотя бы одна из которых положительно определена. Доказать, что поверхности $f = 1$ и $g = 1$ не пересекаются тогда и только тогда, когда функция $f-g$ является знакоопределенной.