Поверхности второго порядка

Пусть $f_{2}(x)+2 f_{1}(x)+f_{0} = 0$ — общее уравнение поверхности второго порядка в аффинном пространстве $\mathbb {R}^{n}$, где $f_{2}$ и $f_{1}$ квадратичная и линейная функции соответственно, а $f_{0}$-число, и пусть $r \geqslant 1$ — ранг квадратичной функции $f_{2}$. Доказать, что следующий список уравнений дает аффинную классификацию поверхностей второго порядка в $\mathbb {R}^{n}$. I. $x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{r}^{2} = 1,0 \leqslant k \leqslant r$.

При $k = r = n$ поверхность называется действительным $(n-1)$-мерным эллипсоидом; при $k = 0, r = n$-мнимым $(n-1)$-мерным эллипсоидом; при $0 < k < r = n$ называется $(n-1)$-мерным гиперболоидом; при $r < n$-цилиндром над соответствующей $(r-1)$-мерной поверхностью.

II. $x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{r}^{2} = 0, k \geqslant \frac{r}{2}$ при четном $r$ и $k \geqslant \frac{r+1}{2}$ при нечетном $r$.

При $k < r = n$ поверхность называется действительным $(n-1)$-мерным конусом; при $r < n$ — цилиндром над $(r-1)$-мерным конусом или конической поверхностью.

III. $x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{r}^{2} = 2 x_{r+1}, k \geqslant \frac{r}{2}$ при четном $r < n$ и $k \geqslant \frac{r+1}{2}$ при нечетном $r < n$.

При $r = n-1$ поверхность называется $(n-1)$-мерным параболоидом; при $r < n-1$ — цилиндром над соответствующим $(r-1)$-мерным параболоидом.

Определить аффинный тип сечения поверхности

плоскостью $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-1 = 0$.

Найти каноническое уравнение и каноническую систему координат для поверхности:

Определить аффинный тип сечения поверхности

плоскостью $x_{2}+x_{3}+x_{4}-1 = 0$.

Найти максимальную размерность плоскости, содержащейся в поверхности второго порядка, заданной в $n$-мерном аффинном пространстве, если эта поверхность является:

Найти все прямолинейные образующие поверхности $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}-x_{3}^{2} = 2 x_{4}$, проходящие через точку $(1,1,1,1 / 2)$.

Пусть $f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ и $g\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ — две квадратичные функции, хотя бы одна из которых положительно определена. Доказать, что поверхности $f = 1$ и $g = 1$ не пересекаются тогда и только тогда, когда функция $f-g$ является знакоопределенной.