Группы
[351/75%]Ассоциативна ли операция * на множестве , если
;
НОД ;
;
;
;
?
Пусть — полугруппа матриц , где , с операцией умножения. Найти в этой полугруппе левые и правые нейтральные элементы, элементы, обратимые слева или справа относительно этих нейтральных.
На множестве определена операция o по правилу . Доказать, что — полугруппа. Что можно сказать о нейтральных и обратимых элементах этой полугруппы? В каких случаях она является группой?
На множестве , где — некоторое множество, определена операция о по правилу . Является ли полугруппой относительно этой операции? Существует ли в нейтральный элемент?
Сколько элементов содержит полугруппа, состоящая из всех степеней матрицы
Является ли эта полугруппа группой?
Доказать, что полугруппы и изоморфны.
Сколько существует неизоморфных между собой полугрупп порядка 2?
Доказать, что во всякой конечной полугруппе найдется идемпотент.
Полугруппа называется моногенной, если она состоит из положительных степеней одного из своих элементов (такой элемент является порождающим).
Доказать, что:
моногенная полугруппа конечна тогда и только тогда, когда содержит идемпотент;
конечная моногенная полугруппа либо является группой, либо имеет только один порождающий элемент;
любые две бесконечные моногенные полугруппы изоморфны;
всякая конечная моногенная полугруппа изоморфна полугруппе вида , определенной на множестве следующим образом:
где — остаток от деления числа на .
Какие из указанных числовых множеств с операциями являются группами:
, где — одно из множеств ;
, где — одно из множеств ;
, где — одно из множеств , а ;
, где — натуральное число;
;
множество степеней данного вещественного числа с целыми показателями относительно умножения;
множество всех комплексных корней фиксированной степени из 1 относительно умножения;
множество комплексных корней всех степеней из 1 относительно умножения;
множество комплексных чисел с фиксированным модулем относительно умножения;
множество ненулевых комплексных чисел с модулем, не превосходящим фиксированное число , относительно умножения;
множество ненулевых комплексных чисел, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих с лучом углы , относительно умножения;
множество всех непрерывных отображений , для которых , и , относительно суперпозиции?
Доказать, что полуинтервал с операцией , где — дробная часть числа , является группой. Какой из групп из задачи 55.1 изоморфна эта группа? Доказать, что всякая её конечная подгруппа является циклической.
Доказать, что — группа относительно операции симметрической разности (см. 1.4).
Пусть — группа относительно умножения. Зафиксируем в элемент и зададим в операцию . Доказать, что относительно новой операции о является группой, изоморфной .
Какие из указанных ниже совокупностей отображений множества в себя образуют группу относительно умножения:
множество всех отображений;
множество всех инъективных отображений;
множество всех сюръективных отображений;
множество всех биективных отображений;
множество всех чётных перестановок;
множество всех нечётных перестановок;
множество всех транспозиций;
множество всех перестановок, оставляющих неподвижными элементы некоторого подмножества ;
множество всех перестановок, при которых образы всех элементов некоторого подмножества принадлежат этому подмножеству;
множество
множество
Какие из указанных множеств квадратных вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу:
множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно сложения;
множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно умножения;
множество невырожденных матриц относительно сложения;
множество невырожденных матриц относительно умножения;
множество матриц с фиксированным определителем относительно умножения;
множество диагональных матриц относительно сложения;
множество диагональных матриц относительно умножения;
множество диагональных матриц, все элементы диагоналей которых отличны от 0, относительно умножения;
множество верхних треугольных матриц относительно умножения;
множество верхних нильтреугольных матриц относительно умножения;
множество верхних нильтреугольных матриц относительно сложения;
множество верхних унитреугольных матриц относительно умножения;
множество всех ортогональных матриц относительно умножения;
множество матриц вида , где — фиксированная нильпотентная матрица, — произвольный многочлен со свободным членом, отличным от 0, относительно умножения;
множество верхних нильтреугольных матриц относительно операции ;
множество ненулевых матриц вида относительно умножения;
множество ненулевых матриц вида , где фиксированное вещественное число, относительно умножения;
множество матриц
относительно умножения?
Показать, что множество всех целочисленных ортогональных матриц размера образует группу относительно умножения. Найти порядок этой группы.
Доказать, что множество верхних нильтреугольных матриц порядка 3 является группой относительно операции
Пусть — множество точек кривой — прямая, проходящая через точки (касательная к при ), её третья точка пересечения с и — прямая, проходящая через начало координат и точку (касательная к при ).
Положим , где — третья точка пересечения и или , если касается в точке . Доказать, что — коммутативная группа.
Доказать, что множество функций вида
где и , является группой относительно операции композиции функций.
Доказать, что коммутатор
элементов группы обладает свойствами:
;
;
.
Пусть задано разложение подстановки в произведение независимых циклов
Найти разложение подстановки в произведение независимых циклов.
Какие из следующих равенств тождественно выполняются в группе :
;
;
?
Доказать, что в группе верхних унитреугольных матриц порядка 3 выполняется тождество
Доказать, что если в группе выполняется тождество , то в выполняются тождества
Доказать, что если в группе выполняется тождество , то коммутативна.
Какие из отображений групп являются гомоморфизмами:
;
;
;
;
;
;
?
Для каких групп отображение , определенное правилом:
,
, является гомоморфизмом? При каком условии эти отображения являются изоморфизмами?
Сопоставим каждой матрице функцию (см. задачу 55.10). Будет ли это отображение гомоморфизмом?
Разбить на классы попарно изоморфных групп следующий набор групп:
где — одно из колец .
Найти все изоморфизмы между группами ( и .
Доказать, что группа порядка 6 либо коммутативна, либо изоморфна группе .
Доказать, что если рациональное число не равно нулю, то отображение является автоморфизмом группы . Найти все автоморфизмы группы .
Пусть — ненулевая аддитивная группа, состоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом ограниченном промежутке содержится лишь конечное число её элементов. Доказать, что .
Привести примеры плоских геометрических фигур, группы движения которых изоморфны:
;
;
;
.
Какие из следующих групп изоморфны между собой: группа движений квадрата; группа кватернионов ; группа из задачи 55.5, л); группа из задачи )?
Доказать, что группы собственных движений тетраэдра, куба и октаэдра изоморфны соответственно группам .
Пусть — множество всех пар элементов , из поля относительно операции . Доказать, что является группой, изоморфной группе всех линейных функций относительно суперпозиции.
Пусть — множество всех вещественных чисел, отличных от -1. Доказать, что является группой относительно умножения
Доказать, что:
множество всех автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции;
отображение
где — фиксированный элемент группы , является автоморфизмом группы (внутренним автоморфизмом);
множество всех внутренних автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции.
Найти группы автоморфизмов групп:
;
;
;
;
;
.
Доказать, что отображение , сопоставляющее каждому элементу группы перестановку множества , является инъективным гомоморфизмом группы в группу .
Найти в соответствующих группах подгруппы, изоморфные группам:
;
;
.
Пусть — перестановка степени и — квадратная матрица порядка . Доказать, что если — некоторая группа перестановок степени , то множество матриц , где , образует группу, изоморфную группе .
Найти в соответствующих группах матриц подгруппы, изоморфные группам:
;
;
.
Найти в группе вещественных матриц порядка 4 подгруппу, изоморфную группе .
Доказать, что группу нельзя отобразить гомоморфно на конечную группу, отличную от единичной.
Будут ли изоморфны группы
;
;
?
Доказать, что во всякой группе:
пересечение любого набора подгрупп является подгруппой;
объединение двух подгрупп является подгруппой тогда и только тогда, когда одна из подгрупп содержится в другой;
если подгруппа содержится в объединении подгрупп и , то либо , либо .
Доказать, что конечная подполугруппа любой группы является подгруппой. Верно ли это утверждение, если подполугруппа бесконечна?
Найти порядок элемента группы:
;
;
;
;
;
;
;
;
, где — различные корни -й степени из 1.
Пусть — простое нечётное число, — целочисленная квадратная матрица размера , причём матрица лежит в и имеет конечный порядок. Доказать, что .
Доказать, что:
элемент группы имеет бесконечный порядок;
число иррационально.
Сколько элементов порядка 6 содержится в группе:
;
;
;
?
Доказать, что во всякой группе:
элементы и имеют одинаковый порядок;
элементы и имеют одинаковый порядок;
элементы и могут иметь разные порядки.
Пусть элементы и группы имеют конечный порядок и .
Доказать, что если порядки элементов и взаимно просты, то порядок произведения равен произведению их порядков.
Доказать, что существуют показатели и такие, что порядок произведения равен наименьшему общему кратному порядков и .
Верны ли эти утверждения для некоммутирующих элементов и ?
Доказать, что:
если элемент группы имеет бесконечный порядок, то тогда и только тогда, когда ;
если элемент группы имеет порядок , то тогда и только тогда, когда ;
если элемент группы имеет порядок , то тогда и только тогда, когда .
Доказать, что в группе :
порядок нечётной перестановки является чётным числом;
порядок любой перестановки является наименьшим общим кратным длин независимых циклов, входящих в её разложение.
Найти порядок элемента , если порядок элемента равен .
Пусть — конечная группа, . Доказать, что тогда и только тогда, когда порядок равен .
Найти число элементов порядка в циклической группе порядка , где — простое число, .
Пусть — циклическая группа порядка . Доказать, что:
элементы и имеют одинаковые порядки тогда и только тогда, когда НОД НОД ;
элемент является порождающим элементом тогда и только тогда, когда и взаимно просты;
всякая подгруппа порождается элементом вида , где ;
для всякого делителя числа сушествует единственная подгруппа порядка .
В циклической группе порядка найти все элементы , удовлетворяющие условию , и все элементы порядка при:
;
;
;
;
;
;
.
Найти все подгруппы в циклической группе порядка:
24 ;
100 ;
360 ;
125 ;
( — простое число)
Предположим, что в некоторой неединичной группе все неединичные элементы имеют одинаковый порядок . Доказать, что является простым числом.
Пусть — конечная группа и — наименьшее среди натуральных чисел таких, что для всякого элемента (период аруппы ).
Доказать, что:
период делит и равен наименьшему общему кратному порядков элементов группы ;
если группа коммутативна, то существует элемент порядка ;
конечная коммутативная группа является циклической тогда и только тогда, когда .
Верны ли утверждения б) и в) для некоммутативной группы?
Существует ли бесконечная группа, все элементы которой имеют конечный порядок?
Периодической частью группы называется множество всех её элементов конечного порядка.
Доказать, что периодическая часть коммутативной группы является подгруппой.
Верно ли утверждение а) для некоммутативной группы?
Найти периодическую часть групп и .
Доказать, что если в коммутативной группе есть элементы бесконечного порядка и все они содержатся в подгруппе , то совпадает с .
Доказать, что в коммутативной группе множество элементов, порядки которых делят фиксированное число , является подгруппой. Верно ли это утверждение для некоммутативной группы?
Найти все конечные группы, в которых существует наибольшая собственная подгруппа.
Является ли циклической группа обратимых элементов кольца ?
Множество всех подгрупп группы образует чель, если для любых двух её подгрупп одна содержится в другой.
Доказать, что подгруппы циклической группы порядка , где — простое число, образуют цепь.
Найти все конечные группы, в которых подгруппы образуют цепь.
Найти все группы, у которых подгруппы образуют цепь.
Представить группу в виде объединения возрастающей цепочки циклических подгрупп.
Установить изоморфизм между группами комплексных корней степени из 1 и группой вычетов по модулю .
Какие из групп , порожденных элементом , изоморфны:
;
;
;
;
;
?
Доказать, что во всякой группе чётного порядка имеется элемент порядка 2.
Будет ли группа обратимых элементов кольца вычетов циклической?
Доказать, что всякая собственная подгруппа группы является циклической конечного порядка.
Доказать, что:
в мультипликативной группе поля для любого натурального числа существует не более одной подгруппы порядка ;
всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической;
мультипликативная группа конечного поля является циклической.
Найти все подгруппы в группах:
;
;
;
.
Доказать, что если подгруппа группы содержит одно из множеств
то .
Найти все элементы группы , коммутирующие с данным элементом (централизатор элемента ), если:
;
;
.
Для многочлена от переменных положим
Доказать, что — подгруппа в , и найти эту подгруппу для многочлена:
;
;
;
;
.
Найти смежные классы:
аддитивной группы по подгруппе — натуральное число;
аддитивной группы по подгруппе целых гауссовых чисел, т.е. чисел с целыми ;
аддитивной группы по подгруппе ;
аддитивной группы по подгруппе ;
мультипликативной группы по подгруппе чисел с модулем 1;
мультипликативной группы по подгруппе ;
мультипликативной группы по подгруппе положительных вещественных чисел;
группы подстановок по стационарной подгруппе элемента ;
аддитивной группы вещественных -матриц по подгруппе всех матриц с условием ;
аддитивной группы всех многочленов степени не выше 5 с комплексными коэффициентами по подгруппе многочленов степени не выше 3;
циклической группы по подгруппе .
Пусть — невырожденная матрица из и . Доказать, что смежный класс состоит из всех матриц , определитель которых равен определителю матрицы .
Пусть — подгруппа в группе . Доказать, что отображение задаёт биекцию между множеством левых и множеством правых смежных классов по .
Пусть — элементы группы и — подгруппы в . Доказать, что следующие свойства эквивалентны:
;
и .
Пусть — элементы группы и — подгруппы в . Доказать, что непустое множество является левым смежным классом по подгруппе .
Пусть — правый смежный класс группы по подгруппе . Доказать, что если , то .
Пусть — непустое подмножество в группе , причём если , то . Доказать, что является правым смежным классом группы по некоторой подгруппе .
Пусть — подгруппы в группе , причём . Если индекс в равен , а индекс в равен , то индекс в равен .
Доказать, что в группе диэдра все осевые симметрии образуют смежный класс по подгруппе вращений.
Найти все орбиты группы невырожденных линейных операторов, действующих на -мерном пространстве , если:
— группа всех невырожденных линейных операторов;
— группа ортогональных операторов;
— группа операторов, матрицы которых в базисе диагональны;
— группа операторов, матрицы которых в базисе верхние треугольные.
Найти стационарную подгруппу вектора , если:
— группа из 57.1, в);
группа из 57.1, г).
Найти стационарную подгруппу и орбиту вектора , если:
— группа всех ортогональных операторов в трехмерном евклидовом пространстве;
— группа всех собственных ортогональных операторов в двумерном евклидовом пространстве.
Пусть — группа всех невырожденных линейных операторов в -мерном векторном пространстве и — множество всех подпространств размерности в .
Найти орбиты группы в .
Пусть — такой базис в , что — базис некоторого подпространства . Найти в базисе матрицы операторов из стационарной подгруппы .
Пусть — группа всех невырожденных линейных операторов в -мерном векторном пространстве и — множество флагов в , т.е. наборов подпространств в , причём .
Найти орбиты в .
Пусть . Доказать, что базис .
В базисе найти матрицы операторов из стационарной подгруппы .
Пусть — группа всех невырожденных линейных операторов в -мерном векторном пространстве и (соответственно ) — множество всех ненулевых разложимых -векторов из (из ).
Найти орбиты действия в и .
Найти стационарную подгруппу разложимого -вектора (вектора из ).
Пусть — группа всех невырожденных линейных операторов в -мерном вещественном (комплексном) пространстве и — множество всех симметричных (эрмитовых) билинейных функций в . Если и , то положим .
Доказать, что задано действие в .
Описать орбиты в . Найти их число.
Описать стационарную подгруппу положительно определённой функции .
Пусть — группа всех невырожденных линейных операторов в -мерном комплексном пространстве и — множество всех линейных операторов в . Если и , то положим .
Доказать, что задано действие в .
Описать орбиты в .
Найти во множестве все орбиты и все стационарные подгруппы для группы , порождённой подстановкой:
;
;
.
В прямоугольной системе координат задан ромб с вершинами
Найти матрицы ортогональных преобразований плоскости, переводящих ромб в себя.
Доказать, что эти матрицы образуют относительно умножения группу , изоморфную группе .
Найти орбиты действия группы на множестве вершин ромба и их стационарные подгруппы.
Найти порядок группы диэдра .
Найти порядок:
группы вращений куба;
группы вращений тетраэдра;
группы вращений додекаэдра.
Доказать, что:
группа вращений икосаэдра изоморфна группе ;
группа движений тетраэдра изоморфна .
Найти порядок стационарной подгруппы вершины для группы вращений:
октаэдра;
икосаэдра;
тетраэдра;
куба;
диэдра.
Пусть — группа аффинных преобразований в -мерном аффинном пространстве . Предположим, что — множество всех наборов из точки , находящихся в общем положении.
Найти орбиты в .
Найти стационарную подгруппу набора .
Пусть — группа аффинных преобразований в -мерном аффинном вещественном (комплексном) пространстве . Обозначим через — множество всех квадратичных функций в . Если , и , то положим .
Доказать, что задано действие в .
Описать орбиты в .
Описать стационарную подгруппу невырожденной функции .
Пусть — группа дробно-линейных преобразований единичного круга с центром из задачи 24.22. Найти:
стационарную подгруппу точки ;
орбиту точки ;
пересечение стационарных подгрупп двух различных точек единичного круга.
Пусть группа действует на множестве и — элементы одной орбиты в . Доказать, что все такие , что , составляют левый смежный класс по стационарной подгруппе и правый смежный класс по стационарной подгруппе .
Пусть коммутативная группа действует на некотором множестве . Доказать, что если для некоторых и справедливо равенство , то для любой точки , лежащей в одной орбите с точкой .
Пусть — подгруппа группы . Доказать, что:
отображение есть перестановка на множестве всех левых смежных классов группы по подгруппе ;
отображение определяет действие группы на ;
является тождественной перестановкой тогда и только тогда, когда принадлежит пересечению всех подгрупп, сопряжённых с в группе .
Перенумеровав левые смежные классы группы по подгруппе , найти все перестановки (задача 57.20), если:
единичная подгруппа;
— подгруппа, состоящая из тождественного преобразования и некоторой осевой симметрии квадрата.
Доказать, что для любой группы :
сопряжение определяет действие
группы на множестве ;
стационарная подгруппа точки (централизатор элемента ) совпадает со множеством элементов группы , перестановочных с .
Найти централизатор:
перестановки (12)(34) в группе ;
перестановки в группе .
В группе найти централизатор матрицы:
;
;
;
.
В группе найти централизатор матрицы , если:
все элементы диагонали различны;
и .
Какие из трех матриц сопряжены между собой в группе :
Пусть — поле. В группе найти:
централизатор элементарной матрицы при ;
пересечение при всех , где ;
класс сопряжённых элементов, содержащих .
Доказать, что любые две элементарные матрицы и , где и , сопряжены.
В группе ортогональных операторов найти:
централизатор оператора поворота на угол ;
централизатор симметрии относительно оси .
Доказать, что в группе любые две симметрии сопряжены.
Найти классы сопряжённых элементов групп:
;
;
.
Найти все конечные группы, число классов сопряжённости которых равно:
1 ;
2 ;
В группе найти класс сопряжённости:
перестановки (12)(34);
перестановки (124).
Есть ли в группах несопряжённые элементы одинаковых порядков?
Доказать, что две перестановки сопряжены в группе тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру, т.е. их разложения в произведения независимых циклов для любого содержат одинаковое число циклов длины .
Найти число классов сопряжённости в группах:
;
;
;
.
Канонической формой матрицы называется сопряжённая с матрица вида
Доказать, что матрицы и сопряжены в тогда и только тогда, когда их канонические формы связаны соотношением или для некоторого целого .
Доказать, что:
если и — сопряжённые подгруппы конечной группы и , то ;
подгруппы
сопряжены в группе , и .
Найти нормализатор подгруппы в группе , если:
— подгруппа диагональных матриц;
— подгруппа матриц вида
.
Найти группу автоморфизмов:
группы ;
группы .
Доказать, что:
Aut , причём все автоморфизмы группы внутренние;
, причём внутренним для является лишь тождественный автоморфизм.
Является ли циклической группа автоморфизмов:
группы ;
группы ?
Найти порядок группы Aut Aut Aut .
В группе построить внешний автоморфизм.
Доказать, что в группе все автоморфизмы внутренние.
Доказать, что группа автоморфизмов изоморфна . Найти подгруппу внутренних автоморфизмов группы .
Найти группу автоморфизмов группы и подгруппу её внутренних автоморфизмов.
Доказать, что подгруппа группы нормальна, если:
— коммутативная группа, — любая её подгруппа;
— подгруппа матриц с определителем, равным 1 ;
;
;
— группа невырожденных комплексных верхнетреугольных матриц, — группа матриц вида
Будет ли нормальной подгруппой в группе множество всех матриц вида
где числа нечётны, а числа чётны?
Доказать, что любая подгруппа индекса 2 является нормальной.
Найти все нормальные подгруппы, отличные от единичной и от всей группы в группах:
;
;
.
На примере группы показать, что нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно является нормальной в .
Пусть и — нормальные подгруппы группы и единичная подгруппа. Доказать, что для любых .
Пусть — подгруппа в индекса — класс сопряжённых в элементов и . Доказать, что является либо классом сопряжённых в элементов, либо объединением двух классов сопряжённых в элементов, состоящих из одинакового числа элементов.
Доказать, что факторгруппа не является циклической.
Найти число классов сопряжённости в группе и число элементов в каждом из классов.
Доказать, что группа является простой.
Доказать, что в группе кватернионов любая подгруппа является нормальной.
Найти центр и все классы сопряжённости в группе .
Доказать, что комплексные матрицы
\begin{array}{ll} \pm E= \pm \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}, I= i 0 0 -i J= 0 1 -1 0 , K= 0 i i 0
относительно умножения матриц образуют группу, изоморфную .
Найти все нормальные подгруппы в группе диэдра .
Пусть — поле и — подгруппа в , содержащая . Доказать, что нормальна в .
Сопоставим каждой матрице дробнолинейное преобразование
Найти ядро этого гомоморфизма.
Доказать, что ядро любого гомоморфизма группы в аддитивную группу является бесконечной группой.
Пусть — натуральные числа и подмножество в , состоящее из матриц вида , где целочисленная квадратная матрица размера . Доказать, что:
— нормальная подгруппа в ;
если — простое число, то
группа не содержит элементов конечного порядка при ;
если — конечная подгруппа в , то порядок делит
Доказать, что для любой группы множество всех внутренних автоморфизмов является нормальной подгруппой в группе Aut всех автоморфизмов группы .
Доказать, что любая подгруппа, содержащая коммутант группы, нормальна.
Найти центр группы:
;
;
.
Пусть группа порождена элементами , причём
Доказать, что элемент лежит в центре группы .
Доказать, что центр группы порядка , где — простое число , содержит более одного элемента.
Пусть — множество верхних унитреугольных матриц порядка 3 с элементами из поля .
Доказать, что — некоммутативная группа порядка относительно умножения.
Найти центр группы .
Найти все классы сопряжённых элементов группы .
Найти центр группы:
;
;
;
;
;
;
верхнетреугольных матриц.
Найти центр:
группы всех дробно-линейных преобразований комплексной плоскости;
группы всех преобразований единичного круга из задачи 24.25.
Доказать, что группа является гомоморфным образом конечной циклической группы тогда и только тогда, когда также циклическая, и её порядок делит порядок группы .
Доказать, если группа гомоморфно отображена на группу , причём , то:
порядок делится на порядок ;
порядок делится на порядок .
Найти все гомоморфные отображения:
;
;
;
;
.
Доказать, что аддитивную группу рациональных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел.
Найти факторгруппы:
;
;
;
.
Пусть — аддитивная группа -мерного линейного пространства над полем и — подгруппа векторов -мерного подпространства. Доказать, что факторгруппа изоморфна .
Пусть — множество чисел с аргументами вида . Доказать, что:
;
;
;
;
;
;
;
.
Пусть
Доказать, что:
;
;
;
;
;
.
Пусть — группа аффинных преобразований -мерного пространства, — подгруппа параллельных переносов, — подгруппа преобразований, оставляющих неподвижной данную точку . Доказать, что:
является нормальной подгруппой в ;
.
Доказать, что факторгруппа группы по нормальной подгруппе изоморфна группе .
Доказать, что если — подгруппа индекса в группе , то содержит некоторую нормальную в подгруппу, индекс которой в делит .
Доказать, что подгруппа, индекс которой является наименьшим простым делителем порядка группы, нормальна.
Доказать, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе .
Доказать, что в группе :
каждый элемент имеет конечный порядок;
для каждого натурального имеется в точности одна подгруппа порядка .
Доказать, что группа внутренних автоморфизмов группы изоморфна факторгруппе группы по её центру.
Доказать, что факторгруппа некоммутативной группы по её центру не может быть циклической.
Доказать, что группа порядка , где — простое число, коммутативна.
Доказать, что группа всех автоморфизмов некоммутативной группы не может быть циклической.
Найти число классов сопряжённости и число элементов в каждом классе для некоммутативной группы порядка , где простое число.
Подгруппа называется максимальной в группе , если и любая подгруппа, содержащая , совпадает с или . Доказать, что:
пересечение любых двух различных максимальных коммутативных подгрупп содержится в центре группы;
во всякой конечной простой некоммутативной группе найдутся две различные максимальные подгруппы, пересечение которых содержит более одного элемента;
во всякой конечной простой некоммутативной группе существует собственная некоммутативная подгруппа.
Доказать, что факторгруппа по её центру изоморфна .
Доказать, что всякая конечная подгруппа в является подгруппой одной из следующих групп: .
Пусть — поле, и — нормальная подгруппа в . Доказать, что либо , либо состоит из скалярных матриц.
Пусть — поле, содержащее не менее четырех элементов и — нормальная подгруппа в . Доказать, что либо , либо состоит из скалярных матриц.
Доказать, что .
Найти все нормальные подгруппы в .
Пусть — нормальная подгруппа конечного индекса в . Тогда существует такое натуральное число , что .
Пусть — поле, и — автоморфизм группы . Доказать, что существует такой гомоморфизм групп и автоморфизм поля , что либо
либо
где .
Найти порядок групп:
;
;
группы невырожденных верхнетреугольных матриц размера над конечным полем из элементов.
Изоморфны ли:
группа и группа ;
группа и группа ?
Найти все силовские 2 -подгруппы и 3 -подгруппы в группах:
;
.
Указать сопрягающие элементы для силовских 2 -подгрупп и силовских 3-подгрупп в группах:
;
.
Доказать, что любая силовская 2 -подгруппа группы изоморфна группе диэдра .
В каких силовских 2-подгруппах группы содержатся перестановки:
(1324);
;
?
Доказать, что существуют в точности две некоммутативные неизоморфные группы порядка 8 — группа кватернионов и группа диэдра .
Доказать, что силовская 2 -подгруппа группы :
изоморфна группе кватернионов;
нормальна в .
Сколько различных силовских -подгрупп в группе , где:
;
;
?
Найти порядок силовской -подгруппы в группе .
Сколько различных силовских -подгрупп в группе , где — простое число?
Доказать, что силовская -подгруппа в группе единственна тогда и только тогда, когда она нормальна в .
Пусть
Доказать, что — силовская -подгруппа в группе .
Найти нормализатор подгруппы в .
Найти число различных силовских -подгрупп в .
Доказать, что — силовская -подгруппа в группе .
Найти нормализатор подгруппы в .
Найти число различных силовских -подгрупп в .
Доказать, что подгруппа верхних унитреугольных матриц является силовской -подгруппой в .
В группе диэдра для каждого простого делителя числа :
найти все силовские -подгруппы;
указать сопрягающие элементы для силовских -подгрупп.
Доказать, что образ силовской -подгруппы конечной группы при гомоморфизме группы на группу является силовской подгруппой в .
Доказать, что любая силовская -подгруппа прямого произведения конечных групп и является произведением силовских -подгрупп сомножителей и .
Пусть — силовская -подгруппа конечной группы , — нормальная в подгруппа.
Доказать, что пересечение является силовской -подгруппой в .
Привести пример, показывающий, что без предположения о нормальности подгруппы утверждение пункта а) неверно.
Доказать, что все силовские подгруппы группы порядка 100 коммутативны.
Доказать, что любая группа порядка:
15 ;
35 ;
185 ;
255 ; коммутативна.
Сколько различных силовских 2 -подгрупп и силовских 5 -подгрупп в некоммутативной группе порядка 20?
Доказать, что не существует простых групп порядка:
36 ;
80 ;
56 ;
196 ;
Пусть и — простые числа, . Доказать, что:
если не делится на , то любая группа порядка коммутативна;
если делится на , то в группе невырожденных матриц вида имеется некоммутативная подгруппа порядка .
Сколько элементов порядка 7 в простой группе порядка 168?
Пусть — нормальная подгруппа в -группе . Доказать, что .
Пусть — конечномерное векторное пространство над полем характеристики и -группа линейных невырожденных операторов в . Доказать, что существует такой ненулевой вектор , что для всех .
Пусть — силовская -подгруппа в конечной группе и — подгруппа в , содержащая нормализатор . Доказать, что .
Доказать, что группы и не разлагаются в прямую сумму ненулевых подгрупп.
Разлагаются ли в прямое произведение неединичных подгрупп группы:
;
;
;
?
Доказать, что конечная циклическая группа является прямой суммой примарных циклических подгрупп.
Доказать, что прямая сумма циклических групп является циклической группой тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель и равен 1.
Разложить в прямую сумму группы:
;
;
.
Доказать, что мультипликативная группа комплексных чисел является прямым произведением группы положительных вещественных чисел и группы всех комплексных чисел, по модулю равных 1.
Доказать, что при мультипликативная группа кольца вычетов является прямым произведением подгруппы и циклической группы порядка .
Чему равен порядок:
прямого произведения конечных групп;
элемента прямого произведения конечных групп?
Доказать, что если в абелевой группе подгруппы имеют конечные попарно взаимно простые порядки, то их сумма является прямой.
Пусть — подгруппа прямого произведения групп и взаимно простых порядков. Доказать, что
Пусть — наибольший порядок элементов конечной абелевой группы . Доказать что порядок любого элемента группы делит . Верно ли это утверждение без предположения об абелевости группы?
Найти все прямые разложения группы, состоящей из чисел вида .
Пусть — конечная абелева группа. Найти все прямые разложения группы , в которых одно из слагаемых является бесконечной циклической группой.
Найти классы сопряжённости группы , если известны классы сопряжённости групп и .
Доказать, что центр прямого произведения равен прямому произведению центров и .
Пусть — нормальная подгруппа в , причём
Доказать, что лежит в центре .
Доказать, что если факторгруппа абелевой группы по подгруппе является свободной абелевой группой, то , где — свободная абелева группа.
Доказать, что подгруппа абелевой группы выделяется в прямым слагаемым тогда и только тогда, когда существует сюръективный гомоморфизм такой, что .
Пусть — гомоморфизмы групп в абелеву группу . Доказать, что существует единственный гомоморфизм , ограничения которого на и совпадают соответственно с и . Существенна ли здесь абелевость группы ?
На множестве гомоморфизмов абелевой группы в абелеву группу определим операцию сложения по правилу
Доказать, что гомоморфизмы образуют абелеву группу .
Найти группы гомоморфизмов:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Доказать, что .
Пусть — абелева группа. Показать, что все её эндоморфизмы образуют кольцо с единицей относительно сложения и обычного умножения отображений.
Доказать, что группа автоморфизмов абелевой группы совпадает с группой обратимых элементов её кольца эндоморфизмов.
Найти кольца эндоморфизмов групп:
;
;
.
Доказать, что в абелевой группе отображение является эндоморфизмом. Для каких групп оно будет:
инъективным;
сюръективным?
Доказать, что кольцо эндоморфизмов свободной абелевой группы ранга изоморфно кольцу .
Найти группы автоморфизмов групп:
;
;
;
свободной абелевой ранга .
Доказать, что:
Aut ;
.
Доказать, что кольцо бесконечно и некоммутативно.
Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы является прямой суммой колец эндоморфизмов её примарных компонент.
Доказать, что подгруппа конечно порождённой абелевой группы также конечно порождена.
Доказать, что всякий гомоморфизм конечно порождённой абелевой группы на себя является автоморфизмом.
Верно ли аналогичное утверждение для аддитивной группы кольца многочленов?
Доказать, что свободные абелевы группы рангов и изоморфны тогда и только тогда, когда .
Пусть — конечнопорождённые абелевы группы, причём . Доказать, что .
Пусть порядок конечной абелевой группы делится на число . Доказать, что в есть подгруппа порядка .
Пусть и — конечные абелевы группы, причём для любого натурального числа в и число элементов порядка одинаково. Доказать, что .
Пусть и — конечнопорождённые абелевы группы, причём каждая из них изоморфна подгруппе другой. Доказать, что .
Доказать, что подгруппа свободной абелевой группы является свободной, причём ранг не превосходит ранга .
Пользуясь основной теоремой о конечно порождённых абелевых группах, найти с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка:
2 ;
6 ;
8 ;
12 ;
16 ;
24 ;
36 ;
Говорят, что абелева группа uмеет mun , если она является прямой суммой циклических групп порядков , .
Есть ли в абелевой группе типа подгруппы типа:
;
;
?
Найти тип группы .
Изоморфны ли группы:
и ;
и ;
и ;
и ?
Сколько подгрупп:
порядков 2 и 6 в нециклической абелевой группе порядка 12;
порядков 3 и 6 в нециклической абелевой группе порядка 18;
порядков 5 и 15 в нециклической абелевой группе порядка 75?
Найти все прямые разложения групп:
;
;
.
Сколько элементов:
порядка 2,4 и 6 в группе ;
порядка 2,4 и 5 в группе ?
Пользуясь основной теоремой о конечных абелевых группах, доказать, что конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической.
Пусть — поле, у которого мультипликативная группа конечно порождена. Доказать, что поле конечно.
Доказать, что конечно порожденная подгруппа мультипликативной группы комплексных чисел разлагается в прямое произведение свободной абелевой группы и конечной циклической.
Пусть — свободная абелева группа с базисом и , где . Доказать, что циклическая группа является прямым слагаемым в тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел равен 1.
Пусть — свободная абелева группа с базисом . Доказать, что элементы
составляют базис группы тогда и только тогда, когда .
Пусть — свободная абелева группа с базисом , — её подгруппа с порождающими элементами
Доказать, что факторгруппа конечна тогда и только тогда, когда , и при этом .
Разложить в прямую сумму циклических групп факторгруппу , где — свободная абелева группа с базисом , — её подгруппа, порождённая :
В факторгруппе свободной абелевой группы с базисом по подгруппе , порождённой и , найти порядок смежного класса .
В факторгруппе свободной абелевой группы с базисом по подгруппе , порождённой и найти порядок элемента .
Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы коммутативно тогда и только тогда, когда каждая её примарная компонента является циклической.
Аддитивная подгруппа в -мерном вещественном пространстве дискретна, если существует такая окрестность нуля , что . Доказать, что дискретная подгруппа в является свободной абелевой группой и её ранг не превосходит .
Найти все элементы конечного порядка в .
Пусть — подгруппа целых гауссовых чисел в аддитивной группе поля комплексных чисел . Предположим, что , где , причём иррационально. Доказать, что всюду плотно в .
Пусть — аддитивная замкнутая подгруппа в . Доказать, что , где — подпространство в и дискретная подгруппа в .
Доказать, что если порядок элемента абелевой группы взаимно прост с , то уравнение имеет в решение.
Абелева группа называется делимой, если уравнение имеет в ней решение при любом и целом .
Доказать, что группа делима тогда и только тогда, когда при любом и любом простом уравнение имеет решение.
Доказать, что прямая сумма делима тогда и только тогда, когда делимы все прямые слагаемые.
Доказать, что группы и ( — простое число) делимы.
Доказать, что в группе без кручения можно ввести структуру линейного пространства над полем тогда и только тогда, когда она является делимой.
Пусть — делимая подгруппа группы — максимальная подгруппа группы такая, что (такая всегда существует). Доказать, что .
Доказать, что в любой абелевой группе существует делимая подгруппа, факторгруппа по которой не имеет делимых подгрупп.
Пусть — конечно порожденная абелева группа и подгруппа в . Предположим, что — группа без кручения. Тогда , где — свободная абелева группа.
Пусть — свободные абелевы группы и гомоморфизм групп. Доказать, что — прямое слагаемое в .
Пусть — свободная абелева группа с базой , — целочисленная квадратная матрица размера . Обозначим через множество всех таких векторов , что
Доказать, что — подгруппа в , являющаяся прямым слагаемым в . Обратно, любое прямое слагаемое в задается системой линейных однородных целочисленных уравнений.
Доказать, что:
группа порождается транспозицией (12) и циклом ;
группа порождается тройными циклами.
Доказать, что:
группа над полем порождается матрицами вида , где , и матрицами , где , ;
группа порождается матрицами , где , .
Доказать, что специальная линейная группа над полем порождается трансвекииями, т.е. элементарными матрицами вида .
Доказать, что:
любую целочисленную матрицу с единичным определителем можно привести к единичному виду только элементарными преобразованиями, заключающимися в том, что к одной строке прибавляется другая строка, умноженная на ;
группа конечно порождена.
Пусть — поле из элементов и — образующий циклической группы . Доказать, что порождается двумя матрицами
Доказать, что порождается двумя подстановками, и (12345).
Доказать, что при чётном порождается двумя элементами: .
Доказать, что при нечётном порождается двумя элементами: .
Найти все двухэлементные множества, порождающие группы:
;
;
;
;
.
Доказать, что если — минимальное число порождающих конечной абелевой группы , то для группы аналогичное число равно .
Доказать, что группа порождается двумя элементами.
Доказать, что если группа имеет конечную систему порождающих, то из любой системы порождающих можно выбрать конечную подсистему, порождающую всю группу.
Будет ли конечно порождённым нормальное замыкание матрицы в группе , порождённой матрицами и ?
Доказать, что:
каждое слово в свободной группе эквивалентно единственному несократимому слову;
"свободная группа" действительно является группой.
Пусть — свободная группа со свободными порождающими — произвольная группа. Доказать, что для любых элементов существует единственный гомоморфизм такой, что . Вывести отсюда, что любая конечно порожденная группа изоморфна факторгруппе подходящей свободной группы конечного ранга.
Доказать, что в свободной группе нет элементов конечного порядка, отличных от единицы.
Доказать, что два коммутирующих элемента свободной группы лежат в одной циклической подгруппе.
Доказать, что слово лежит в коммутанте свободной группы с системой свободный порождающих тогда и только тогда, когда для каждого сумма показателей у всех вхождений в равна 0.
В свободной группе описать все слова, сопряжённые слову .
Доказать, что факторгруппа свободной группы по её коммутанту — свободная абелева группа.
Доказать, что свободные группы рангов и изоморфны тогда и только тогда, когда .
Сколько подгрупп индекса 2 в свободной группе ранга 2?
Доказать, что в свободной группе ранга все слова, в которых сумма показателей при каждой переменной делится на , образуют нормальную подгруппу .
Доказать, что
Доказать, что все сюръективные гомоморфизмы свободной группы ранга 2 на группу имеют одно и то же ядро.
Сколько существует гомоморфизмов свободной группы ранга 2 в группу:
;
?
Доказать, что в множество матриц , где , образует группу с двумя порождающими
Доказать, что если группа с порождающими элементами задана определяющими соотношениями и в какой-либо группе для элементов
то существует единственный гомоморфизм такой, что .
Доказать, что если между элементами и группы выполнены соотношения
то .
Показать, что группа, порожденная элементами с соотношениями , конечна.
Доказать, что группа, заданная порождающими элементами с соотношениями:
;
; изоморфна .
Доказать, что группа, заданная порождающими элементами и определяющими соотношениями
изоморфна группе диэдра .
Доказать, что группа, заданная порождающими элементами и определяющими соотношениями
изоморфна группе кватернионов .
Доказать, что группа, заданная порождающими элементами и определяющими соотношениями , изоморфна группе матриц
Доказать, что группа, заданная порождающими элементами и определяющими соотношениями , изоморфна группе матриц
Найти порядок группы, заданной образующими и определяющими соотношениями:
.
Пусть — группа, порожденная элементами , с определяющими соотношениями
Доказать, что:
каждый элемент группы представляется в виде
где ;
.
Доказать, что если — бесконечная циклическая группа, то .
Описать в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений группы, у которых имеется бесконечная циклическая нормальная подгруппа с бесконечной циклической факторгруппой.
Пусть группа задана порождающими элементами и определяющим соотношением . Найти наименьшую подгруппу, порождённую в элементом . Является ли эта подгруппа нормальной?
Найти коммутатор:
невырожденных матриц и ;
и ;
двух транспозиций в симметрической группе ;
и .
Доказать следующие свойства коммутанта групп:
— нормальная подгруппа в ;
факторгруппа коммутативна;
если нормальна в и коммутативна, то .
Доказать, что при сюръективном гомоморфизме выполнено равенство .
Установить биективное соответствие между гомоморфизмами группы в коммутативные группы и гомоморфизмами её факторгруппы по коммутанту.
Доказать, что коммутант группы содержится в .
Доказать, что коммутант прямого произведения есть прямое произведение коммутантов сомножителей.
Найти коммутанты и порядки факторгрупп по коммутантам для групп:
;
;
;
.
Найти коммутанты групп:
;
.
Доказать, что коммутант нормальной подгруппы нормален во всей группе.
Рядом коммутантов (или производным рядом) группы называется ряд подгрупп
где . Доказать, что:
все члены ряда коммутантов нормальны в ;
для всякого гомоморфизма группы на группу .
Доказать, что:
всякая подгруппа разрешимой группы разрешима;
всякая факторгруппа разрешимой группы разрешима;
если и — разрешимые группы, то группа разрешима;
если и — разрешимые группы, то разрешима.
Доказать разрешимость групп:
;
;
;
;
.
Пусть — группа верхних унитреугольных матриц. Доказать, что:
(множество матриц из с нулевыми диагоналями выше главной) — подгруппа в ;
если , то ;
группа разрешима.
Доказать, что группа невырожденных верхних треугольных матриц разрешима.
Доказать, что конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда в ней имеется ряд подгрупп
такой, что нормальна в и - (циклическая) группа простого порядка.
Доказать, что конечная -группа разрешима.
Доказать разрешимость группы порядка , где различные простые числа.
Доказать разрешимость группы порядка:
12 ;
, где — различные простые числа;
42 ;
100 ;
.
Доказать для трансвекций формулу
при различных .
Пусть — поле и . Доказать, что:
;
группы и не являются разрешимыми.
Пусть — поле, содержащее не менее четырех элементов. Доказать, что:
;
группы и не являются разрешимыми.
Пусть — различные простые числа. Доказать, что любая группа порядка разрешима.
Пусть — различные простые числа. Доказать, что неразрешимая группа порядка изоморфна .
Если порядок конечной группы является произведением различных простых чисел, то — разрешимая группа, обладающая такой циклической нормальной подгруппой , что — циклическая группа.
Пусть — конечная группа, причём , центр имеет порядок 2 и факторгруппа по центру изоморфна . Доказать, что .
Пусть — поле, - -мерное векторное пространство над и — группа невырожденных линейных операторов в , причём, если , то , где . Доказать, что:
в существует такой вектор , что для всех ;
в существует такой базис , что матрицы всех операторов в этом базисе верхнетреугольные;
группа разрешима.
Пусть — простые числа, причём делит . Доказать, что:
существует целое такое, что ;
существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна некоммутативная группа порядка .
Доказать, что:
если в коммутативной группе элементы связаны соотношениями , то ;
подгруппа, порожденная в перестановками (123) и (14567), не является разрешимой;
группа с порождающими элементами и определяющими соотношениями не является разрешимой.
Разрешима ли свободная группа?