Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы

Доказать, что группы $\mathbb {Z}$ и $\mathbb {Q}$ не разлагаются в прямую сумму ненулевых подгрупп.

Разлагаются ли в прямое произведение неединичных подгрупп группы:

Доказать, что конечная циклическая группа является прямой суммой примарных циклических подгрупп.

Доказать, что прямая сумма циклических групп $\mathbf{Z}_{m} \oplus \mathbf{Z}_{n}$ является циклической группой тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель $m$ и $n$ равен 1.

Разложить в прямую сумму группы:

Доказать, что мультипликативная группа комплексных чисел является прямым произведением группы положительных вещественных чисел и группы всех комплексных чисел, по модулю равных 1.

Доказать, что при $n \geqslant 3$ мультипликативная группа кольца вычетов $\mathbf{Z}_{2^{n}}$ является прямым произведением подгруппы $\left\{ \pm 1\right\}$ и циклической группы порядка $2^{n-2}$.

Чему равен порядок:

Доказать, что если в абелевой группе подгруппы $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{k}$ имеют конечные попарно взаимно простые порядки, то их сумма является прямой.

Пусть $D$ — подгруппа прямого произведения $A \times B$ групп $A$ и $B$ взаимно простых порядков. Доказать, что

Пусть $k$ — наибольший порядок элементов конечной абелевой группы $G$. Доказать что порядок любого элемента группы $G$ делит $k$. Верно ли это утверждение без предположения об абелевости группы?

Найти все прямые разложения группы, состоящей из чисел вида $\pm 2^{n}$.

Пусть $A$ — конечная абелева группа. Найти все прямые разложения группы $\mathbb {Z} \oplus A$, в которых одно из слагаемых является бесконечной циклической группой.

Найти классы сопряжённости группы $A \times B$, если известны классы сопряжённости групп $A$ и $B$.

Доказать, что если факторгруппа $A / B$ абелевой группы $A$ по подгруппе $B$ является свободной абелевой группой, то $A=B \oplus C$, где $C$ — свободная абелева группа.

Доказать, что подгруппа $A$ абелевой группы $G$ выделяется в $G$ прямым слагаемым тогда и только тогда, когда существует сюръективный гомоморфизм $\pi : G \rightarrow A$ такой, что $\pi^{2}=\pi$.

Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ — гомоморфизмы групп $A_{1}, A_{2}$ в абелеву группу $B$. Доказать, что существует единственный гомоморфизм $\varphi : A_{1} \times A_{2} \rightarrow B$, ограничения которого на $A_{1}$ и $A_{2}$ совпадают соответственно с $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. Существенна ли здесь абелевость группы $B$?

На множестве гомоморфизмов абелевой группы $A$ в абелеву группу $B$ определим операцию сложения по правилу

Доказать, что гомоморфизмы $A \rightarrow B$ образуют абелеву группу $\operatorname {Hom}(A, B)$.

Найти группы гомоморфизмов:

Доказать, что $\operatorname {Hom}(\mathbb {Z}, A) \simeq A$.

Пусть $A$ — абелева группа. Показать, что все её эндоморфизмы образуют кольцо $\operatorname {End} A$ с единицей относительно сложения и обычного умножения отображений.

Доказать, что группа автоморфизмов абелевой группы совпадает с группой обратимых элементов её кольца эндоморфизмов.

Найти кольца эндоморфизмов групп:

Доказать, что в абелевой группе отображение $x \rightarrow n x\left(n \in \mathbb {Z}\right)$ является эндоморфизмом. Для каких групп оно будет:

Доказать, что кольцо эндоморфизмов свободной абелевой группы ранга $n$ изоморфно кольцу $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {Z})$.

Найти группы автоморфизмов групп:

Доказать, что:

Доказать, что кольцо $\operatorname {End}\left(\mathbb {Z} \oplus \mathbf{Z}_{2}\right)$ бесконечно и некоммутативно.

Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы является прямой суммой колец эндоморфизмов её примарных компонент.

Доказать, что подгруппа конечно порождённой абелевой группы также конечно порождена.

Доказать, что свободные абелевы группы рангов $m$ и $n$ изоморфны тогда и только тогда, когда $m=n$.

Пусть $A, B, C$ — конечнопорождённые абелевы группы, причём $A \oplus C \simeq B \oplus C$. Доказать, что $A \simeq B$.

Пусть порядок конечной абелевой группы $G$ делится на число $m$. Доказать, что в $G$ есть подгруппа порядка $m$.

Пусть $A$ и $B$ — конечные абелевы группы, причём для любого натурального числа $m$ в $A$ и $B$ число элементов порядка $m$ одинаково. Доказать, что $A \simeq B$.

Пусть $A$ и $B$ — конечнопорождённые абелевы группы, причём каждая из них изоморфна подгруппе другой. Доказать, что $A \simeq B$.

Доказать, что подгруппа $B$ свободной абелевой группы $A$ является свободной, причём ранг $B$ не превосходит ранга $A$.

Пользуясь основной теоремой о конечно порождённых абелевых группах, найти с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка:

Говорят, что абелева группа uмеет mun $\left(n_{1}, n_{2}, \ldots , n_{k}\right)$, если она является прямой суммой циклических групп порядков $n_{1}$, $n_{2}, \ldots , n_{k}$.

Есть ли в абелевой группе типа $(2,16)$ подгруппы типа:

Найти тип группы $\left(\langle a\rangle_{9} \oplus \langle b\rangle_{27}\right) /\langle 3 a+9 b\rangle$.

Изоморфны ли группы:

Сколько подгрупп:

Найти все прямые разложения групп:

Сколько элементов:

Пользуясь основной теоремой о конечных абелевых группах, доказать, что конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической.

Пусть $F$ — поле, у которого мультипликативная группа $F^{*}$ конечно порождена. Доказать, что поле $F$ конечно.

Доказать, что конечно порожденная подгруппа мультипликативной группы комплексных чисел разлагается в прямое произведение свободной абелевой группы и конечной циклической.

Пусть $A$ — свободная абелева группа с базисом $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и $x=m_{1} e_{1}+\ldots +m_{n} e_{n} \in A \backslash 0$, где $m_{i} \in \mathbb {Z}$. Доказать, что циклическая группа $\langle x\rangle$ является прямым слагаемым в $A$ тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел $m_{1}, \ldots , m_{n}$ равен 1.

Пусть $A$ — свободная абелева группа с базисом $x_{1}, \ldots , x_{n}$. Доказать, что элементы

составляют базис группы $A$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {det}\left(a_{i j}\right)= \pm 1$.

Пусть $A$ — свободная абелева группа с базисом $x_{1}, \ldots , x_{n}$, $B$ — её подгруппа с порождающими элементами

Доказать, что факторгруппа $A / B$ конечна тогда и только тогда, когда $\operatorname {det}\left(a_{i j}\right) \neq 0$, и при этом $\left|A / B\right|=\left|\operatorname {det}\left(a_{i j}\right)\right|$.

Разложить в прямую сумму циклических групп факторгруппу $A / B$, где $A$ — свободная абелева группа с базисом $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, $B$ — её подгруппа, порождённая $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ :

В факторгруппе свободной абелевой группы $A$ с базисом $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ по подгруппе $B$, порождённой $x_{1}+x_{2}+4 x_{3}$ и $2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}$, найти порядок смежного класса $\left(x_{1}+2 x_{3}\right)+B$.

В факторгруппе свободной абелевой группы $A$ с базисом $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ по подгруппе $B$, порождённой $2 x_{1}+x_{2}-50 x_{3}$ и $4 x_{1}+5 x_{2}+60 x_{3}$ найти порядок элемента $32 x_{1}+31 x_{2}+B$.

Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы коммутативно тогда и только тогда, когда каждая её примарная компонента является циклической.

Аддитивная подгруппа $H$ в $n$-мерном вещественном пространстве $\mathbb {R}^{n}$ дискретна, если существует такая окрестность нуля $U$, что $U \cap H=0$. Доказать, что дискретная подгруппа в $\mathbb {R}^{n}$ является свободной абелевой группой и её ранг не превосходит $n$.

Найти все элементы конечного порядка в $\mathbb {R}^{n} / \mathbb {Z}^{n}$.

Пусть $H=\mathbb {Z}^{i}$ — подгруппа целых гауссовых чисел в аддитивной группе поля комплексных чисел $\mathbb {C}$. Предположим, что $z=x+i y \in \mathbb {C} \backslash H$, где $x, y \in \mathbb {R}^{*}$, причём $x y^{-1}$ иррационально. Доказать, что $\langle z\rangle +H$ всюду плотно в $\mathbb {C}$.

Пусть $H$ — аддитивная замкнутая подгруппа в $\mathbb {R}^{n}$. Доказать, что $H=L \oplus H_{1}$, где $L$ — подпространство в $\mathbb {R}^{n}$ и $H_{1}$ дискретная подгруппа в $\mathbb {R}^{n}$.

Доказать, что если порядок элемента $a$ абелевой группы $A$ взаимно прост с $n$, то уравнение $n x=a$ имеет в $A$ решение.

Абелева группа $A$ называется делимой, если уравнение $n x=a$ имеет в ней решение при любом $a \in A$ и целом $n \neq 0$.

Доказать, что группа делима тогда и только тогда, когда при любом $a$ и любом простом $p$ уравнение $p x=a$ имеет решение.

Доказать, что прямая сумма делима тогда и только тогда, когда делимы все прямые слагаемые.

Доказать, что группы $\mathbb {Q}$ и $\mathbf{U}_{p^{\infty }}$ ($p$ — простое число) делимы.

Доказать, что в группе без кручения можно ввести структуру линейного пространства над полем $\mathbb {Q}$ тогда и только тогда, когда она является делимой.

Пусть $A$ — делимая подгруппа группы $G, B$ — максимальная подгруппа группы $G$ такая, что $A \cap B=\left\{ 0\right\}$ (такая всегда существует). Доказать, что $G=A \oplus B$.

Доказать, что в любой абелевой группе существует делимая подгруппа, факторгруппа по которой не имеет делимых подгрупп.

Пусть $A$ — конечно порожденная абелева группа и $B$ подгруппа в $A$. Предположим, что $A / B$ — группа без кручения. Тогда $A=B \oplus C$, где $C$ — свободная абелева группа.

Пусть $A, B$ — свободные абелевы группы и $\varphi : A \rightarrow B$ гомоморфизм групп. Доказать, что $\operatorname {Ker} \varphi$ — прямое слагаемое в $A$.

Пусть $A$ — свободная абелева группа с базой $e_{1}, \ldots , e_{n}$, $C$ — целочисленная квадратная матрица размера $n$. Обозначим через $B$ множество всех таких векторов $x_{1} e_{1}+\ldots +x_{n} e_{n} \in A$, что

Доказать, что $B$ — подгруппа в $A$, являющаяся прямым слагаемым в $A$. Обратно, любое прямое слагаемое в $A$ задается системой линейных однородных целочисленных уравнений.