Кольца и алгебры

множество $\mathbb {Z}$;

множество $n \mathbb {Z}(n>1)$;

множество неотрицательных целых чисел;

множество $\mathbb {Q}$;

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число $n \in \mathbb {N}$;

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число $p$;

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа $p$;

множество вещественных чисел вида $x+y \sqrt{2}$, где $x, y \in \mathbb {Q}$;

множество вещественных чисел вида $x+y \sqrt[3]{2}$, где $x, y \in \mathbb {Q}$;

множество вещественных чисел вида $x+y \sqrt[3]{2}+z \sqrt[3]{4}$, где $x, y$, $z \in \mathbb {Q}$;

множество комплексных чисел вида $x+y i$, где $x, y \in \mathbb {Z}$;

множество комплексных чисел вида $x+y i$, где $x, y \in \mathbb {Q}$;

множество всевозможных сумм вида $a_{1} z_{1}+a_{2} z_{2}+\ldots +a_{n} z_{n}$, где $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — рациональные числа, $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — комплексные корни степени $n$ из 1 ;

множество комплексных чисел вида $\frac{x+y \sqrt{D}}{2}$, где $D$ — фиксированное целое число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), $x, y$ — целые числа одинаковой чётности?

множество вещественных симметрических матриц порядка $n$;

множество вещественных ортогональных матриц порядка $n$;

множество верхних треугольных матриц порядка $n \geqslant 2$;

множество матриц порядка $n \geqslant 2$, у которых две последние строки нулевые;

множество матриц вида $\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right)$, где $D$ — фиксированное целое число, $x, y \in \mathbb {Z}$;

множество матриц вида $\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right)$, где $D$ — фиксированный элемент некоторого кольца $K, x, y \in K$;

множество матриц вида $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right)$, где $D$ — фиксированное целое число, свободное от квадратов, $x$ и $y$ — целые числа одинаковой чётности;

множество комплексных матриц вида $\left(\begin{array}{cc}z & w \\ -\bar{w} & \bar{z}\end{array}\right)$;

множество вещественных матриц вида

множество функций вещественного переменного, непрерывных на отрезке $[a, b]$;

множество функций, имеющих вторую производную на интервале $(a, b)$;

множество целых рациональных функций вещественного переменного;

множество рациональных функций вещественного переменного;

множество функций вещественного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве $D \subseteq \mathbb {R}$;

множество тригонометрических многочленов

с вещественными коэффициентами, где $n$ — произвольное натуральное число;

множество тригонометрических многочленов вида

с вещественными коэффициентами, где $n$ — произвольное натуральное число;

множество тригонометрических многочленов вида

с вещественными коэффициентами, где $n$ — произвольное натуральное число;

множество функций, определённых на некотором множестве $D$ и принимающих значение в некотором кольце $R$;

все степенные ряды от одной или нескольких переменных;

все лорановские степенные ряды от одной переменной?

63.1, о) и 63.2, ж);

63.2, з) и 63.2, и).

$\mathbf{Z}_{n}$;

$\mathbf{Z}_{p^{n}}$, где $p$ — простое число;

$K[x] /(f K[x])$, где $K$ — поле;

верхних треугольных матриц над полем;

$\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$;

всех функций, определённых на некотором множестве $S$ и принимающих значения в поле $K$;

всех степенных рядов от одной переменной;

$\mathbb {Z}$;

$\mathbb {Z}^{i}$.

если $R$ не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы;

если $R$ имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим;

если $R$ имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля.

если произведения $x y$ и $y x$ обратимы, то элементы $x$ и $y$ также обратимы;

если $R$ без делителей нуля и произведение $x y$ обратимо, то $x$ и $y$ обратимы;

без дополнительных предположений о кольце $R$ из обратимости произведения $x y$ не следует обратимость элементов $x$ и $y$;

если обратим элемент $1+a b$, то обратим и элемент $1+b a$.

При каких условиях $R$ коммутативно; имеет единицу; не имеет делителей нуля?

Найти в $R$ все обратимые элементы; все делители нуля; все нильпотентные элементы.

если числа $k$ и $l$ взаимно просты, то $\mathbf{Z}_{k l}=\mathbf{Z}_{k} \oplus \mathbf{Z}_{l}$;

если $n=p_{1}^{k_{1}} \ldots p_{s}^{k_{s}}$, где $p_{1}, \ldots , p_{s}$ — различные простые числа, то

если числа $k$ и $l$ взаимно просты, то $\varphi (k l)=\varphi (k) \varphi (l)$, где $\varphi$ функция Эйлера.

делитель нуля в произвольной (ассоциативной) алгебре не является обратимым;

в конечномерной алгебре с единицей всякий элемент, не являющийся делителем нуля, обратим;

конечномерная алгебра без делителей нуля является телом (алгеброй с делением).

конечномерная алгебра с единицей и без делителей нуля над полем $\mathbb {C}$ изоморфна $\mathbb {C}$;

над полем $\mathbb {C}$ не существует конечномерных алгебр с делением, отличных от $\mathbb {C}$.

с единицей;

не обязательно с единицей.

с единицей;

не обязательно с единицей.

Является ли $\quaternions$ алгеброй над полем $\mathbb {C}$, если умножение на скаляр $\alpha \in \mathbb {C}$ понимать как левое умножение на $\alpha \in \quaternions$?

Доказать, что отображения

являются изоморфизмами $\quaternions$ как алгебры над полем $\mathbb {R}$ на некоторую подалгебру в алгебре матриц $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ над $\mathbb {R}$.

Доказать, что отображение $z \mapsto \left(\begin{array}{cc}z & 0 \\ 0 & \bar{z}\end{array}\right)$ является изоморфным вложением поля $\mathbb {C}$ в алгебру $\quaternions$, реализованную в виде подалгебры алгебры $\mathrm{M}_{2}(\mathbb {C})$ над $\mathbb {R}($ см. б)).

Решить в $\quaternions$ уравнение $x^{2}=-1$.

$\mathbb {T}(V)$ — ассоциативная алгебра с единицей над полем $K$;

в $\mathbb {T}(V)$ нет делителей нуля.

$\Lambda (V)$ является ассоциативной алгеброй с единицей над полем $K$;

каждый элемент из $I=\bigoplus_{k \geqslant 1} \Lambda^{k}(V)$ является нильпотентным;

каждый элемент из $\Lambda (V)$, не лежащий в $I$, обратим.

$S(V)$ является ассоциативной, коммутативной алгеброй над $K$;

если $x_{1}, \ldots , x_{n}$ — базис пространства $V$, то $S(V)$ изоморфно алгебре многочленов от $x_{1}, \ldots , x_{n}$.

$\mathbb {C} \otimes_{K} \mathbb {C} \simeq \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \quad (K=\mathbb {R})$;

$\mathbf{M}_{n}(K) \otimes_{K} \mathbf{M}_{m}(K) \simeq \mathbf{M}_{m n}(K)$;

$\mathbf{M}_{n}(K) \otimes_{K} A \simeq \mathbf{M}_{n}(A)$, где $A$ — произвольная ассоциативная алгебра над $K$;

$K\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right] \otimes_{K} K\left[Y_{1}, \ldots , Y_{m}\right] \simeq K\left[X_{1}, \ldots , X_{n}, Y_{1}, \ldots , Y_{m}\right] ;$

$\quaternions \otimes_{\mathbb {R}} \mathbb {C} \simeq \mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$;

$\mathbf{S}(V) \otimes_{K} \Lambda (V) \simeq \mathbb {T}(V)$ при $\operatorname {dim} V=2$;

$\mathbb {Q}(\sqrt{p}) \otimes \mathbb {Q}(\sqrt{q}) \simeq \mathbb {Q}(\sqrt{p}+\sqrt{q})$, где $p$ и $q$ — различные простые числа.

$q_{j} p_{i}-p_{i} q_{j}=\delta_{i j}, \quad p_{i} p_{j}=p_{j} p_{i}, \quad q_{i} q_{j}=q_{j} q_{i}$;

базис $A_{n}(K)$ как векторного пространства образуют одночлены

в кольце всех функций на отрезке $[0,1]$ делителями нуля являются функции, принимающие нулевое значение, и только они;

в кольце непрерывных функций на отрезке $[0,1]$ делителями нуля являются ненулевые функции, принимающие нулевое значение на некотором отрезке $[a, b]$, где $0 \leqslant a<b \leqslant 1$.