Глава XIV

Кольца

[290/75%]
Показать
LaTeX
§
63 · Кольца и алгебры[31/71%]
Задача 63.1

Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения:

?
(а)

множество Z\mathbb {Z};

(б)

множество nZ(n>1)n \mathbb {Z}(n>1);

(в)

множество неотрицательных целых чисел;

(г)

множество Q\mathbb {Q};

(д)

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число n∈Nn \in \mathbb {N};

(е)

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число pp;

(ж)

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа pp;

(з)

множество вещественных чисел вида x+y2x+y \sqrt{2}, где x,y∈Qx, y \in \mathbb {Q};

(и)

множество вещественных чисел вида x+y23x+y \sqrt[3]{2}, где x,y∈Qx, y \in \mathbb {Q};

(к)

множество вещественных чисел вида x+y23+z43x+y \sqrt[3]{2}+z \sqrt[3]{4}, где x,yx, y, z∈Qz \in \mathbb {Q};

(л)

множество комплексных чисел вида x+yix+y i, где x,y∈Zx, y \in \mathbb {Z};

(м)

множество комплексных чисел вида x+yix+y i, где x,y∈Qx, y \in \mathbb {Q};

(н)

множество всевозможных сумм вида a1z1+a2z2+…+anzna_{1} z_{1}+a_{2} z_{2}+\ldots +a_{n} z_{n}, где a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} — рациональные числа, z1,z2,…,znz_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n} — комплексные корни степени nn из 1 ;

(о)

множество комплексных чисел вида x+yD2\frac{x+y \sqrt{D}}{2}, где DD — фиксированное целое число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), x,yx, y — целые числа одинаковой чётности?

Задача 63.2

Какие из указанных множеств матриц образуют кольцо относительно матричного сложения и умножения:

?
(а)

множество вещественных симметрических матриц порядка nn;

(б)

множество вещественных ортогональных матриц порядка nn;

(в)

множество верхних треугольных матриц порядка n⩾2n \geqslant 2;

(г)

множество матриц порядка n⩾2n \geqslant 2, у которых две последние строки нулевые;

(д)

множество матриц вида (xyDyx)\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right), где DD — фиксированное целое число, x,y∈Zx, y \in \mathbb {Z};

(е)

множество матриц вида (xyDyx)\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right), где DD — фиксированный элемент некоторого кольца K,x,y∈KK, x, y \in K;

(ж)

множество матриц вида 12(xyDyx)\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right), где DD — фиксированное целое число, свободное от квадратов, xx и yy — целые числа одинаковой чётности;

(з)

множество комплексных матриц вида (zw−wˉzˉ)\left(\begin{array}{cc}z & w \\ -\bar{w} & \bar{z}\end{array}\right);

(и)

множество вещественных матриц вида

[x−y−z−tyx−tzztx−yt−zyx]? \left[\begin{smallmatrix} x & -y & -z & -t \\ y & x & -t & z \\ z & t & x & -y \\ t & -z & y & x \end{smallmatrix}\right]?
Задача 63.3

Какие из следующих множеств функций образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций:

?
(а)

множество функций вещественного переменного, непрерывных на отрезке [a,b][a, b];

(б)

множество функций, имеющих вторую производную на интервале (a,b)(a, b);

(в)

множество целых рациональных функций вещественного переменного;

(г)

множество рациональных функций вещественного переменного;

(д)

множество функций вещественного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве D⊆RD \subseteq \mathbb {R};

(е)

множество тригонометрических многочленов

a0+∑k=1n(akcos⁡kx+bksin⁡kx) a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)

с вещественными коэффициентами, где nn — произвольное натуральное число;

(ж)

множество тригонометрических многочленов вида

a0+∑k=1ncos⁡kx a_{0}+\sum _{k=1}^{n} \cos k x

с вещественными коэффициентами, где nn — произвольное натуральное число;

(з)

множество тригонометрических многочленов вида

a0+∑k=1naksin⁡kx a_{0}+\sum _{k=1}^{n} a_{k} \sin k x

с вещественными коэффициентами, где nn — произвольное натуральное число;

(и)

множество функций, определённых на некотором множестве DD и принимающих значение в некотором кольце RR;

(к)

все степенные ряды от одной или нескольких переменных;

(л)

все лорановские степенные ряды от одной переменной?

Задача 63.4

Во множестве многочленов от переменного tt с обычным сложением рассматривается операция умножения, заданная правилом

(f∘g)(t)=f(g(t)) (f \circ g)(t)=f(g(t))

Является ли это множество кольцом относительно заданного умножения и обычного сложения?

?
Задача 63.5

Образует ли кольцо множество всех подмножеств некоторого множества относительно симметрической разности и пересечения, рассматриваемых как сложение и умножение соответственно?

?
Задача 63.6

Доказать изоморфизм колец из задач:

?
(а)

63.1, о) и 63.2, ж);

(б)

63.2, з) и 63.2, и).

Задача 63.7

Какие из колец, указанных в задачах 63.1-63.5, содержат делители нуля?

?
Задача 63.8

Найти обратимые элементы в кольцах с единицей из задач 63.1-63.5.

?
Задача 63.9

Доказать, что одно из колец задач 63.3, д) и 63.3, е) изоморфно, а другое не изоморфно кольцу многочленов Rx\mathbb {R}^{x}.

?
Задача 63.10

Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения.

?
Задача 63.11

Найти все обратимые элементы, все делители нуля и все нильпотентные элементы в кольцах:

?
(а)

Zn\mathbf{Z}_{n};

(б)

Zpn\mathbf{Z}_{p^{n}}, где pp — простое число;

(в)

K[x]/(fK[x])K[x] /(f K[x]), где KK — поле;

(г)

верхних треугольных матриц над полем;

(д)

M2(R)\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R});

(е)

всех функций, определённых на некотором множестве SS и принимающих значения в поле KK;

(ж)

всех степенных рядов от одной переменной;

(з)

Z\mathbb {Z};

(и)

Zi\mathbb {Z}^{i}.

Задача 63.12

Доказать, что группа обратимых элементов \mathbb {Z}^{\sqrt{3}}^{*} бесконечна.

?
Задача 63.13

Пусть RR — конечное кольцо. Доказать, что:

?
(а)

если RR не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы;

(б)

если RR имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим;

(в)

если RR имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля.

Задача 63.14

Доказать, что в кольце с единицей и без делителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым.

?
Задача 63.15

Пусть RR — кольцо с единицей, x,y∈Rx, y \in R. Доказать, что:

?
(а)

если произведения xyx y и yxy x обратимы, то элементы xx и yy также обратимы;

(б)

если RR без делителей нуля и произведение xyx y обратимо, то xx и yy обратимы;

(в)

без дополнительных предположений о кольце RR из обратимости произведения xyx y не следует обратимость элементов xx и yy;

(г)

если обратим элемент 1+ab1+a b, то обратим и элемент 1+ba1+b a.

Задача 63.16

Пусть RR — прямая сумма колец R1,…,RkR_{1}, \ldots , R_{k}.

?
(а)

При каких условиях RR коммутативно; имеет единицу; не имеет делителей нуля?

(б)

Найти в RR все обратимые элементы; все делители нуля; все нильпотентные элементы.

Задача 63.17

Доказать, что:

?
(а)

если числа kk и ll взаимно просты, то Zkl=Zk⊕Zl\mathbf{Z}_{k l}=\mathbf{Z}_{k} \oplus \mathbf{Z}_{l};

(б)

если n=p1k1…psksn=p_{1}^{k_{1}} \ldots p_{s}^{k_{s}}, где p1,…,psp_{1}, \ldots , p_{s} — различные простые числа, то

Zn=Zp1k1⊕…⊕Zpsks \mathbf{Z}_{n}=\mathbf{Z}_{p_{1}^{k_{1}}} \oplus \ldots \oplus \mathbf{Z}_{p_{s}^{k_{s}}}
(в)

если числа kk и ll взаимно просты, то φ(kl)=φ(k)φ(l)\varphi (k l)=\varphi (k) \varphi (l), где φ\varphi функция Эйлера.

Задача 63.18

Найти все делители нуля в C⊕C\mathbb {C} \oplus \mathbb {C}.

?
Задача 63.19

Доказать, что:

?
(а)

делитель нуля в произвольной (ассоциативной) алгебре не является обратимым;

(б)

в конечномерной алгебре с единицей всякий элемент, не являющийся делителем нуля, обратим;

(в)

конечномерная алгебра без делителей нуля является телом (алгеброй с делением).

Задача 63.20

Доказать, что:

?
(а)

конечномерная алгебра с единицей и без делителей нуля над полем C\mathbb {C} изоморфна C\mathbb {C};

(б)

над полем C\mathbb {C} не существует конечномерных алгебр с делением, отличных от C\mathbb {C}.

Задача 63.21

Перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над C\mathbb {C} :

?
(а)

с единицей;

(б)

не обязательно с единицей.

Задача 63.22

Перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над R\mathbb {R} :

?
(а)

с единицей;

(б)

не обязательно с единицей.

Задача 63.23

Пусть \quaternions\quaternions — тело кватернионов.

?
(а)

Является ли \quaternions\quaternions алгеброй над полем C\mathbb {C}, если умножение на скаляр α∈C\alpha \in \mathbb {C} понимать как левое умножение на α∈\quaternions\alpha \in \quaternions?

(б)

Доказать, что отображения

1↦[1001],i↦[i00−i],j↦[01−10],k↦[0ii0] 1 \mapsto \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \quad i \mapsto \left[\begin{smallmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{smallmatrix}\right], \quad j \mapsto \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \quad k \mapsto \left[\begin{smallmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{smallmatrix}\right]

являются изоморфизмами \quaternions\quaternions как алгебры над полем R\mathbb {R} на некоторую подалгебру в алгебре матриц M2(C)\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C}) над R\mathbb {R}.

(в)

Доказать, что отображение z↦(z00zˉ)z \mapsto \left(\begin{array}{cc}z & 0 \\ 0 & \bar{z}\end{array}\right) является изоморфным вложением поля C\mathbb {C} в алгебру \quaternions\quaternions, реализованную в виде подалгебры алгебры M2(C)\mathrm{M}_{2}(\mathbb {C}) над R(\mathbb {R}( см. б)).

(г)

Решить в \quaternions\quaternions уравнение x2=−1x^{2}=-1.

Задача 63.24

Тензорной алаеброй T(V)\mathbb {T}(V) векторного пространства VV над полем KK называется (бесконечномерное) векторное пространство

T(V)=⨁k=0∞Tk(V) \mathbb {T}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty } \mathbb {T}_{k}(V)

где T0(V)=K,Tk(V)=V⊗…⊗V⏟k раз \mathbb {T}_{0}(V)=K, \mathbb {T}_{k}(V)=\underbrace{V \otimes \ldots \otimes V}_{k \text{ раз }} при k>0k>0, с умножением

f⋅g=f⊗g, где f∈Tk(V),g∈Tm(V). f \cdot g=f \otimes g, \quad \text{ где } \quad f \in T_{k}(V), \quad g \in T_{m}(V).

Доказать, что:

?
(а)

T(V)\mathbb {T}(V) — ассоциативная алгебра с единицей над полем KK;

(б)

в T(V)\mathbb {T}(V) нет делителей нуля.

Задача 63.25

Алаеброй Грассмана Λ(V)\Lambda (V) векторного пространства VV над полем KK называется векторное пространство

Λ(V)=⨁k=0∞Λk(V) \Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty } \Lambda ^{k}(V)

где Λ0(V)=K\Lambda^{0}(V)=K, с умножением

f⋅g=f∧g, где f∈Λk(V),g∈Λm(V) f \cdot g=f \wedge g, \quad \text{ где } \quad f \in \Lambda ^{k}(V), \quad g \in \Lambda ^{m}(V)

для любых k,m>0k, m>0. Доказать, что:

?
(а)

Λ(V)\Lambda (V) является ассоциативной алгеброй с единицей над полем KK;

(б)

каждый элемент из I=⨁k⩾1Λk(V)I=\bigoplus_{k \geqslant 1} \Lambda^{k}(V) является нильпотентным;

(в)

каждый элемент из Λ(V)\Lambda (V), не лежащий в II, обратим.

Задача 63.26

Симметрической алгеброй S(V)S(V) векторного пространства VV над полем KK называется векторное пространство

S(V)=⨁k=0∞Sk(V) S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty } S^{k}(V)

где S0(V)=kS^{0}(V)=k, с умножением

f⋅g=Sym⁡(f⊗g), где f∈Sk(V),g∈Sm(V) f \cdot g=\operatorname {Sym}(f \otimes g), \quad \text{ где } \quad f \in S^{k}(V), \quad g \in S^{m}(V)

для любых k,m>0k, m>0. Доказать, что:

?
(а)

S(V)S(V) является ассоциативной, коммутативной алгеброй над KK;

(б)

если x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n} — базис пространства VV, то S(V)S(V) изоморфно алгебре многочленов от x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n}.

Задача 63.27

Пусть AA и BB — алгебры над полем KK. Тензорное произведение алгебр C=A⊗KBC=A \otimes_{K} B определяется как тензорное произведение векторных пространств AA и BB над KK с умножением

(a′⊗b′)⋅(a′′⊗b′′)=a′a′′⊗b′b′′ \left(a^{\prime } \otimes b^{\prime }\right) \cdot \left(a^{\prime \prime } \otimes b^{\prime \prime }\right)=a^{\prime } a^{\prime \prime } \otimes b^{\prime } b^{\prime \prime }

Доказать изоморфизм алгебр над полем KK :

?
(а)

C⊗KC≃C⊕C(K=R)\mathbb {C} \otimes_{K} \mathbb {C} \simeq \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \quad (K=\mathbb {R});

(б)

Mn(K)⊗KMm(K)≃Mmn(K)\mathbf{M}_{n}(K) \otimes_{K} \mathbf{M}_{m}(K) \simeq \mathbf{M}_{m n}(K);

(в)

Mn(K)⊗KA≃Mn(A)\mathbf{M}_{n}(K) \otimes_{K} A \simeq \mathbf{M}_{n}(A), где AA — произвольная ассоциативная алгебра над KK;

(г)

K[X1,…,Xn]⊗KK[Y1,…,Ym]≃K[X1,…,Xn,Y1,…,Ym];K\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right] \otimes_{K} K\left[Y_{1}, \ldots , Y_{m}\right] \simeq K\left[X_{1}, \ldots , X_{n}, Y_{1}, \ldots , Y_{m}\right] ;

(д)

\quaternions⊗RC≃M2(C)\quaternions \otimes_{\mathbb {R}} \mathbb {C} \simeq \mathbf{M}_{2}(\mathbb {C});

(е)

S(V)⊗KΛ(V)≃T(V)\mathbf{S}(V) \otimes_{K} \Lambda (V) \simeq \mathbb {T}(V) при dim⁡V=2\operatorname {dim} V=2;

(ж)

Q(p)⊗Q(q)≃Q(p+q)\mathbb {Q}(\sqrt{p}) \otimes \mathbb {Q}(\sqrt{q}) \simeq \mathbb {Q}(\sqrt{p}+\sqrt{q}), где pp и qq — различные простые числа.

Задача 63.28

Пусть KK — поле характеристики нуль, R=K[x1,…,xn]R=K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right] кольцо многочленов и pi,qip_{i}, q_{i} — линейные операторы на RR как векторном пространстве над KK, причём для f∈Rf \in R

pi(f)=xif,qi(f)=∂∂xif p_{i}(f)=x_{i} f, \quad q_{i}(f)=\frac{\partial }{\partial x_{i}} f

Обозначим через An(K)A_{n}(K) подалгебру в алгебре линейных операторов в RR, порождённую p1,…,pn,q1,…,qnp_{1}, \ldots , p_{n}, q_{1}, \ldots , q_{n}. Она называется алаеброй Вейля или алгеброй дифференциальных операторов.

Доказать, что:

?
(а)

qjpi−piqj=δij,pipj=pjpi,qiqj=qjqiq_{j} p_{i}-p_{i} q_{j}=\delta_{i j}, \quad p_{i} p_{j}=p_{j} p_{i}, \quad q_{i} q_{j}=q_{j} q_{i};

(б)

базис An(K)A_{n}(K) как векторного пространства образуют одночлены

p1l1…pnlnq1t1…qntn,li,tj⩾0 p_{1}^{l_{1}} \ldots p_{n}^{l_{n}} q_{1}^{t_{1}} \ldots q_{n}^{t_{n}}, \quad l_{i}, t_{j} \geqslant 0
Задача 63.29

Пусть f=f(p1,…,pn,q1,…,qn)f=f\left(p_{1}, \ldots , p_{n}, q_{1}, \ldots , q_{n}\right) — элемент алгебры Вейля An(K)A_{n}(K) (см. задачу 63.28.) Доказать, что

pif=fpi+∂f∂qi,qif=fqi−∂f∂pi p_{i} f=f p_{i}+\frac{\partial f}{\partial q_{i}}, \quad q_{i} f=f q_{i}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}
?
Задача 63.30

Доказать, что алгебра верхних нильтреугольных матриц порядка nn является нильпотентной алгеброй индекса nn.

?
Задача 63.31

Доказать, что:

?
(а)

в кольце всех функций на отрезке [0,1][0,1] делителями нуля являются функции, принимающие нулевое значение, и только они;

(б)

в кольце непрерывных функций на отрезке [0,1][0,1] делителями нуля являются ненулевые функции, принимающие нулевое значение на некотором отрезке [a,b][a, b], где 0⩽a<b⩽10 \leqslant a<b \leqslant 1.

§
64 · Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца[96/70%]
Задача 64.1

Найти все идеалы кольца:

?
(а)

Z\mathbb {Z};

(б)

K[x]K[x], где KK — поле.

Задача 64.2

Доказать, что кольца:

?
(а)

Zx\mathbb {Z}^{x};

(б)

K[x,y]K[x, y], где KK — поле; не являются кольцами главных идеалов.

Задача 64.3

Доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает со всем кольцом.

?
Задача 64.4

Доказать, что в кольце матриц Mn(R)\mathbf{M}_{n}(R) с элементами из произвольного кольца RR идеалами являются в точности множества матриц, элементы которых принадлежат фиксированному идеалу кольца RR.

?
Задача 64.5

Найти все идеалы кольца верхних треугольных матриц порядка 2 с целыми элементами.

?
Задача 64.6

Пусть II и JJ — множества матриц вида

[0gh002k000],[0l2m002n000] \left[\begin{smallmatrix} 0 & g & h \\ 0 & 0 & 2 k \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 0 & l & 2 m \\ 0 & 0 & 2 n \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]

с целыми коэффициентами g,h,k,…g, h, k, \ldots Доказать, что II является идеалом в кольце RR верхних треугольных матриц над Z,J\mathbb {Z}, J есть идеал кольца II, но JJ не является идеалом кольца RR.

?
Задача 64.7

Найти все левые идеалы алгебры M2(Z2)\mathbf{M}_{2}\left(\mathbf{Z}_{2}\right).

?
Задача 64.8

Найти все идеалы двумерной алгебры LL над полем R\mathbb {R} с базисом (1,e)(1, e), где 1 — единица в LL, и:

?
(а)

e2=0e^{2}=0;

(б)

e2=1e^{2}=1.

Задача 64.9

Доказать, что если идеал кольца содержит обратимый элемент, то он совпадает со всем кольцом.

?
Задача 64.10

Образуют ли идеал необратимые элементы колец:

?
(а)

Z\mathbb {Z};

(б)

Cx\mathbb {C}^{x};

(в)

Rx\mathbb {R}^{x};

(г)

Zn\mathbf{Z}_{n}.

Задача 64.11

Доказать, что кольцо целых чисел не содержит минимальных идеалов.

?
Задача 64.12

Найти максимальные идеалы в кольцах:

?
(а)

Z\mathbb {Z};

(б)

Cx\mathbb {C}^{x};

(в)

Rx\mathbb {R}^{x};

(г)

Zn\mathbf{Z}_{n}.

Задача 64.13

Доказать, что множество ISI_{S} непрерывных функций, обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве S⊆[a,b]S \subseteq [a, b], является идеалом в кольце функций, непрерывных на [a,b][a, b].

Верно ли, что всякий идеал этого кольца имеет вид ISI_{S} для некоторого S⊆[a,b]S \subseteq [a, b]?

?
Задача 64.14

Пусть RR — кольцо непрерывных функций на отрезке [0,1][0,1], Ic={f(x)∈R∣f(c)=0}(0⩽c⩽1)I_{c}=\left\{ f(x) \in R \mid f(c)=0\right\} (0 \leqslant c \leqslant 1). Доказать, что:

?
(а)

IcI_{c} — максимальный идеал RR;

(б)

всякий максимальный идеал RR совпадает с IcI_{c} для некоторого cc.

Задача 64.15

Доказать, что коммутативное кольцо с единицей (отличной от нуля), не имеющее идеалов, отличных от нуля и всего кольца, является полем. Существенно ли для этого утверждения наличие единицы?

?
Задача 64.16

Доказать, что кольцо с ненулевым умножением и без собственных односторонних идеалов является телом.

?
Задача 64.17

Доказать, что кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором всякая убывающая цепочка левых идеалов конечна, является телом.

?
Задача 64.18

Пусть KK — коммутативное кольцо без делителей нуля и отображение δ:K\{0}→N\delta : K \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb {N} удовлетворяет условию: для любых элементов a,b∈Ka, b \in K, где b≠0b \neq 0, существуют элементы q,r∈Kq, r \in K такие, что a=bq+ra=b q+r и δ(r)<δ(b)\delta (r)<\delta (b) или r=0r=0.

Доказать, что существует отображение δ1:K\{0}→N\delta_{1}: K \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb {N}, удовлетворяющее как этому условию, так и условию: для любых a,b∈Ka, b \in K, где ab≠0,δ1(ab)⩾δ(b)a b \neq 0, \delta_{1}(a b) \geqslant \delta (b).

?
Задача 64.19

Доказать, что:

?
(а)

кольцо целых гауссовых чисел вида x+iy(x,y∈Z)x+i y(x, y \in \mathbb {Z}) евклидово;

(б)

кольцо комплексных чисел вида x+iy3(x,y∈Z)x+i y \sqrt{3}(x, y \in \mathbb {Z}) не является евклидовым;

(в)

кольцо комплексных чисел вида x+iy32\frac{x+i y \sqrt{3}}{2}, где xx и yy — целые числа одинаковой чётности, евклидово.

Задача 64.20

В кольце Zi\mathbb {Z}^{i} разделить a=40+ia=40+i на b=3−ib=3-i с остатком относительно функции δ(x+iy)=x2+y2\delta (x+i y)=x^{2}+y^{2} из задачи 64.18.

?
Задача 64.21

В кольце Zi\mathbb {Z}^{i} найти наибольший общий делитель чисел 20+9i20+9 i и 11+2i11+2 i.

?
Задача 64.22

Доказать, что всякую прямоугольную матрицу с элементами из евклидова кольца с помощью элементарных преобразований её строк и столбцов можно привести к виду

[e10…00…00e2…00…0…………………00…er0…000…00…0…………………00…00…0], \left[\begin{smallmatrix} e_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e_{2} & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & e_{r} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right],

где e1∣e2∣…∣er,ei≠0(i=1,2…,r)e_{1}\left|e_{2}\right| \ldots \mid e_{r}, e_{i} \neq 0(i=1,2 \ldots , r).

?
Задача 64.23

Доказать, что в задаче 64.22 для i=1,…,ri=1, \ldots , r произведение e1…eie_{1} \ldots e_{i} совпадает с наибольшим общим делителем всех миноров размера ii исходной матрицы.

?
Задача 64.24

Доказать, что любое кольцо, заключённое между кольцом главных идеалов RR и его полем частных QQ, само является кольцом главных идеалов.

?
Задача 64.25

Доказать, что кольцо многочленов R[x]R[x] над коммутативным кольцом RR с единицей и без делителей нуля является кольцом главных идеалов тогда и только тогда, когда RR — поле.

?
Задача 64.26

Найти все идеалы в алгебре рядов C[[x]]\mathbb {C}[[x]] от одной переменной xx.

?
Задача 64.27

Доказать, что алгебра Вейля An(K)A_{n}(K) (см. задачу 63.28) проста, если KK — поле нулевой характеристики.

?
Задача 64.28

Пусть AA — коммутативное кольцо с единицей. Доказать, что:

?
(а)

если I1I_{1} и I2I_{2} — идеалы в AA и I1+I2=AI_{1}+I_{2}=A, то для любых элементов x1,x2∈Ax_{1}, x_{2} \in A существует такой элемент x∈Ax \in A, что x−x1∈I1x-x_{1} \in I_{1}, x−x2∈I2x-x_{2} \in I_{2};

(б)

если I1,…,InI_{1}, \ldots , I_{n} — идеалы в AA и Ii+Ij=AI_{i}+I_{j}=A для всех i≠ji \neq j, то для любых элементов x1,…,xn∈Ax_{1}, \ldots , x_{n} \in A существует такой элемент x∈Ax \in A, что x−xk∈Ik(k=1,…,n)x-x_{k} \in I_{k}(k=1, \ldots , n).

Задача 64.29

Пусть RR и SS — кольца с единицей и φ:R→S\varphi : R \rightarrow S — гомоморфизм.

?
(а)

Верно ли, что образ единицы кольца RR является единицей кольца SS?

(б)

Верно ли утверждение а), если гомоморфизм φ\varphi сюръективен?

Задача 64.30

Пусть KK — поле и K[x1,…,xn]K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right] — алгебра многочленов. Предположим, что f1,…,fn∈K[x1,…,xn]f_{1}, \ldots , f_{n} \in K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right].

Доказать, что:

?
(а)

отображение φ\varphi, при котором

φ(g(x1,…,xn))=g(f1,…,fn) \varphi \left(g\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)\right)=g\left(f_{1}, \ldots , f_{n}\right)

является эндоморфизмом KK-алгебры K[x1,…,xn]K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right];

(б)

если φ\varphi — автоморфизм K[x1,…,xn]K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right], то якобиан

J=det⁡(∂fi∂xj) J=\operatorname {det}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right)

не равен нулю;

(в)

если h=h(x2,…,xn)h=h\left(x_{2}, \ldots , x_{n}\right), то отображение Ψ\Psi, при котором

Ψ(g(x1,…,xn))=g(x1+h,x2,…,xn), \Psi \left(g\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)\right)=g\left(x_{1}+h, x_{2}, \ldots , x_{n}\right),

является автоморфизмом K[x1,…,xn]K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right].

Задача 64.31

Пусть KK — поле и K[[x1…xn]]K\left[\left[x_{1} \ldots x_{n}\right]\right] — алгебра степенных рядов от x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n}. Предположим, что f1,…,fn∈K[[x1…xn]]f_{1}, \ldots , f_{n} \in K\left[\left[x_{1} \ldots x_{n}\right]\right] имеют нулевые свободные члены.

Доказать, что:

?
(а)

отображение φ\varphi, при котором

φ(g(x1,…,xn))=g(f1,…,fn) \varphi \left(g\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)\right)=g\left(f_{1}, \ldots , f_{n}\right)

является эндоморфизмом K[[x1,…,xn]]K\left[\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]\right];

(б)

отображение φ\varphi является автоморфизмом тогда и только тогда, когда якобиан

J=det⁡(∂fi∂xj) J=\operatorname {det}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right)

имеет ненулевой свободный член.

Задача 64.32

Пусть KK — поле нулевой характеристики и h=h(q1)∈An(K)h=h\left(q_{1}\right) \in A_{n}(K). Доказать, что отображение φ\varphi, при котором

φ(f(p1,…,pn,q1,…,qn))=f(p1+h,p2,…,pn,q1,…,qn) \varphi \left(f\left(p_{1}, \ldots , p_{n}, q_{1}, \ldots , q_{n}\right)\right)=f\left(p_{1}+h, p_{2}, \ldots , p_{n}, q_{1}, \ldots , q_{n}\right)

является автоморфизмом KK-алгебры An(K)A_{n}(K).

?
Задача 64.33

Пусть φ\varphi — автоморфизм C\mathbb {C}-алгебры Mn(C)\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C}). Доказать, что:

?
(а)

левый аннулятор матрицы φ(Enn)\varphi \left(E_{n n}\right) имеет размерность n(n−1)n(n-1);

(б)

жорданова форма матрицы φ(Enn)\varphi \left(E_{n n}\right) равна E11E_{11};

(в)

существует такая обратимая матрица YY, что

Y−1φ(Enn)Y=Enn Y^{-1} \varphi \left(E_{n n}\right) Y=E_{n n}
(г)

отображение A→Y−1φ(A)YA \rightarrow Y^{-1} \varphi (A) Y является автоморфизмом Mn(C)\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C}), переводящим Mn−1(C)\mathbf{M}_{n-1}(\mathbb {C}) в себя;

(д)

существует такая обратимая матрица XX, что φ(A)=XAX−1\varphi (A)=X A X^{-1} для любой матрицы A∈Mn(C)A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C}).

Задача 64.34

Пусть KK — поле.

?
(а)

Доказать, что линейное отображение

φ:Mn(K)⊗KMm(K)→Mnm(K) \varphi : \mathbf{M}_{n}(K) \otimes _{K} \mathbf{M}_{m}(K) \rightarrow \mathbf{M}_{n m}(K)

где 1⩽i,j⩽n,1⩽r,s⩽m1 \leqslant i, j \leqslant n, 1 \leqslant r, s \leqslant m и

φ(Eij⊗Ers)=Ei+n(r−1),j+n(s−1) \varphi \left(E_{i j} \otimes E_{r s}\right)=E_{i+n(r-1), j+n(s-1)}

является изоморфизмом KK-алгебр.

(б)

Доказать, что линейное отображение

Ψ:Mn(K)→Mn(K)⊗KMn(K) \Psi : \mathbf{M}_{n}(K) \rightarrow \mathbf{M}_{n}(K) \otimes _{K} \mathbf{M}_{n}(K)

где

Ψ(Eij)=Eij⊗Eij \Psi \left(E_{i j}\right)=E_{i j} \otimes E_{i j}

является гомоморфизмом KK-алгебр. Найти Ker⁡Ψ\operatorname {Ker} \Psi.

Задача 64.35

Доказать, что образ коммутативного кольца при гомоморфизме является коммутативным кольцом.

?
Задача 64.36

Доказать, что отображение φ:f(x)→f(c)(c∈R)\varphi : f(x) \rightarrow f(c)(c \in \mathbb {R}) является гомоморфизмом кольца вещественных функций, определённых на R\mathbb {R}, на поле R\mathbb {R}.

?
Задача 64.37

Найти все гомоморфизмы колец:

?
(а)

Z→2Z\mathbb {Z} \rightarrow 2 \mathbb {Z};

(б)

2Z→2Z2 \mathbb {Z} \rightarrow 2 \mathbb {Z};

(в)

2Z→3Z2 \mathbb {Z} \rightarrow 3 \mathbb {Z};

(г)

Z→M2(Z2)\mathbb {Z} \rightarrow \mathbf{M}_{2}\left(\mathbf{Z}_{2}\right).

Задача 64.38

Найти все гомоморфизмы:

?
(а)

группы Z\mathbb {Z} в группу Q\mathbb {Q};

(б)

кольца Z\mathbb {Z} в поле Q\mathbb {Q}.

Задача 64.39

Доказать, что любой гомоморфизм поля в кольцо является или нулевым, или изоморфным отображением на некоторое подполе.

?
Задача 64.40

Пусть KK — поле и R=K[x1,…,xn]R=K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right] — алгебра многочленов от x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n} над полем KK. Построить биекцию между пространством строк KnK^{n} и множеством всех гомоморфизмов KK-алгебр R→KR \rightarrow K.

?
Задача 64.41

Доказать, что:

?
(а)

F[x]/⟨x−α⟩≃FF[x] /\langle x-\alpha \rangle \simeq F (FF — поле);

(б)

Rx/⟨x2+1⟩≃C\mathbb {R}^{x} /\left\langle x^{2}+1\right\rangle \simeq \mathbb {C};

(в)

Rx/⟨x2+x+1⟩≃C\mathbb {R}^{x} /\left\langle x^{2}+x+1\right\rangle \simeq \mathbb {C}.

Задача 64.42

При каких aa и bb факторкольца Z2[x]/⟨x2+ax+b⟩\mathbf{Z}_{2}[x] /\left\langle x^{2}+a x+b\right\rangle :

?
(а)

изоморфны между собой;

(б)

являются полями?

Задача 64.43

Изоморфны ли факторкольца

Zx/⟨x3+1⟩,Zx/⟨x3+2x2+x+1⟩? \mathbb {Z}^{x} /\left\langle x^{3}+1\right\rangle , \quad \mathbb {Z}^{x} /\left\langle x^{3}+2 x^{2}+x+1\right\rangle ?
?
Задача 64.44

Изоморфны ли факторкольца

Zx/⟨x2−2⟩,Zx/⟨x2−3⟩? \mathbb {Z}^{x} /\left\langle x^{2}-2\right\rangle , \quad \mathbb {Z}^{x} /\left\langle x^{2}-3\right\rangle ?
?
Задача 64.45

Пусть aa и bb — различные элементы поля FF. Доказать, что F[x]F[x]-модули

F[x]/⟨x−a⟩,F[x]/⟨x−b⟩≃F F[x] /\langle x-a\rangle , \quad F[x] /\langle x-b\rangle \simeq F

не изоморфны, но соответствующие факторкольца изоморфны.

?
Задача 64.46

Доказать, что если a≠ba \neq b и c≠dc \neq d — элементы поля FF, то факторкольца

F[x]/⟨(x−a)(x−b)⟩F,F[x]/⟨(x−c)(x−d)⟩ F[x] /\langle (x-a)(x-b)\rangle F, \quad F[x] /\langle (x-c)(x-d)\rangle

изоморфны.

?
Задача 64.47

Какие из следующих алгебр изоморфны над C\mathbb {C} :

A1=Cx,y/⟨x−y,xy−1⟩,A2=Cx/⟨(x−1)2⟩A3=C⊕C,A4=Cx,y,A5=Cx/⟨x2⟩? \begin{array}{ccc} A_{1}=\mathbb {C}^{x, y} /\langle x-y, x y-1\rangle , & A_{2}=\mathbb {C}^{x} /\left\langle (x-1)^{2}\right\rangle \\ A_{3}=\mathbb {C} \oplus \mathbb {C}, & A_{4}=\mathbb {C}^{x, y}, & A_{5}=\mathbb {C}^{x} /\left\langle x^{2}\right\rangle ? \end{array}
?
Задача 64.48

Изоморфны ли алгебры AA и BB над полем C\mathbb {C} :

?
(а)

A=Cx,y/⟨xn−y⟩,B=Cx,y/⟨x−ym⟩A=\mathbb {C}^{x, y} /\left\langle x^{n}-y\right\rangle , \quad B=\mathbb {C}^{x, y} /\left\langle x-y^{m}\right\rangle;

(б)

A=Cx,y/⟨x2−y2⟩,B=Cx,y/⟨(x−y)2⟩A=\mathbb {C}^{x, y} /\left\langle x^{2}-y^{2}\right\rangle , \quad B=\mathbb {C}^{x, y} /\left\langle (x-y)^{2}\right\rangle?

Задача 64.49

Изоморфны ли следующие алгебры над полем R\mathbb {R} :

?
(а)

A=Rx/⟨x2+x+1⟩,B=Rx/⟨2x2−3x+3⟩A=\mathbb {R}^{x} /\left\langle x^{2}+x+1\right\rangle , \quad B=\mathbb {R}^{x} /\left\langle 2 x^{2}-3 x+3\right\rangle;

(б)

A=Rx/⟨x2+2x+1⟩,B=Rx/⟨x2−3x+2⟩A=\mathbb {R}^{x} /\left\langle x^{2}+2 x+1\right\rangle , \quad B=\mathbb {R}^{x} /\left\langle x^{2}-3 x+2\right\rangle?

Задача 64.50

Доказать, что элемент ff алгебры K[x]/⟨xn+1⟩K[x] /\left\langle x^{n+1}\right\rangle (KK — поле) обратим тогда и только тогда, когда f(0)≠0f(0) \neq 0.

?
Задача 64.51

Пусть KK — поле и f∈K[x]f \in K[x] имеет степень nn. Доказать, что размерность KK-алгебры K[x]/fK[x]K[x] / f K[x] равна nn.

?
Задача 64.52

Пусть KK — поле. Доказать, что:

?
(а)

если многочлены f,g∈K[x]f, g \in K[x] взаимно просты, то

K[x]/fgK[x]≃K[x]/fK[x]⊕K[x]/gK[x] K[x] / f g K[x] \simeq K[x] / f K[x] \oplus K[x] / g K[x]
(б)

если f=p1k1…psksf=p_{1}^{k_{1}} \ldots p_{s}^{k_{s}}, где p1,…,psp_{1}, \ldots , p_{s} — взаимно простые неприводимые многочлены, то

K[x]/fK[x]≃K[x]/p1k1K[x]⊕…⊕K[x]/psksK[x]. K[x] / f K[x] \simeq K[x] / p_{1}^{k_{1}} K[x] \oplus \ldots \oplus K[x] / p_{s}^{k_{s}} K[x].
Задача 64.53

Доказать, что факторкольцо R/IR / I коммутативного кольца с единицей является полем тогда и только тогда, когда II — максимальный идеал в RR.

?
Задача 64.54

Доказать, что идеал II коммутативного кольца RR простой тогда и только тогда, когда II — ядро гомоморфизма RR в некоторое поле.

?
Задача 64.55

Доказать, что:

?
(а)

факторкольцо Zi/⟨2⟩\mathbb {Z}^{i} /\langle 2\rangle не является полем;

(б)

факторкольцо Zi/⟨3⟩\mathbb {Z}^{i} /\langle 3\rangle является полем из девяти элементов;

(в)

Zi/⟨n⟩\mathbb {Z}^{i} /\langle n\rangle является полем тогда и только тогда, когда nn — простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел.

Задача 64.56

При каких a∈F7a \in \mathbb {F}_{7} факторкольцо F7[x]/⟨x2+a⟩\mathbb {F}_{7}[x] /\left\langle x^{2}+a\right\rangle является полем?

?
Задача 64.57

Доказать, что при любом целом n>1n>1 факторкольцо Zx/⟨n⟩\mathbb {Z}^{x} /\langle n\rangle изоморфно Zn[x]\mathbf{Z}_{n}[x].

?
Задача 64.58

Пусть f(x)f(x) — неприводимый многочлен степени nn из кольца Zp[x]\mathbf{Z}_{p}[x]. Доказать, что факторкольцо Zp[x]/⟨f(x)⟩\mathbf{Z}_{p}[x] /\langle f(x)\rangle является конечным полем, и найти число его элементов.

?
Задача 64.59

Доказать, что:

?
(а)

всякое кольцо изоморфно подкольцу некоторого кольца с единицей;

(б)

nn-мерная алгебра с единицей над полем FF изоморфна подалгебре алгебры с единицей размерности n+1n+1;

(в)

nn-мерная алгебра с единицей над полем KK изоморфна некоторой подалгебре алгебры Mn(K)\mathbf{M}_{n}(K);

(г)

nn-мерная алгебра над KK изоморфна подалгебре алгебры Mn+1(K)\mathbf{M}_{n+1}(K).

Задача 64.60

Пусть I1,…,IsI_{1}, \ldots , I_{s} — идеалы в алгебре с единицей AA, Ii+Ij=AI_{i}+I_{j}=A при i≠ji \neq j. Доказать, что отображение

f:A/⋂k=1sIk↦A/I1⊕…⊕A/Is f: A / \bigcap _{k=1}^{s} I_{k} \mapsto A / I_{1} \oplus \ldots \oplus A / I_{s}

задаваемое формулой

f(a+⋂k=1sIk)=(a+I1,…,a+Is) f\left(a+\bigcap _{k=1}^{s} I_{k}\right)=\left(a+I_{1}, \ldots , a+I_{s}\right)

является изоморфизмом алгебр.

?
Задача 64.61

Установить изоморфизм Qx/⟨x2−1⟩≃Q⊕Q\mathbb {Q}^{x} /\left\langle x^{2}-1\right\rangle \simeq \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q}.

?
Задача 64.62

Доказать, что

Qx/⟨x2−2⟩≃Q2. \mathbb {Q}^{x} /\left\langle x^{2}-2\right\rangle \simeq \mathbb {Q}^{\sqrt{2}}.
?
Задача 64.63

Пусть II — максимальный идеал в Zx\mathbb {Z}^{x}. Доказать, что Zx/I\mathbb {Z}^{x} / I — конечное поле.

?
Задача 64.64

Пусть VV — векторное пространство над полем KK нулевой характеристики. Доказать, что

S(V)≃T(V)/I, S(V) \simeq \mathbb {T}(V) / I,

где II — идеал в T(V)T(V), порождённый всеми элементами

x⊗y−y⊗x, где x,y∈V. x \otimes y-y \otimes x, \quad \text{ где } \quad x, y \in V.
?
Задача 64.65

Пусть VV — векторное пространство над полем KK нулевой характеристики. Доказать, что

Λ(V)≃T(V)/I \Lambda (V) \simeq \mathbb {T}(V) / I

где II — идеал в T(V)\mathbb {T}(V), порождённый всеми элементами

x⊗y+y⊗x, где x,y∈V. x \otimes y+y \otimes x, \quad \text{ где } \quad x, y \in V.
?
Задача 64.66

Пусть VV — векторное пространство размерности 2n2 n с базисом p1…pn,q1…qnp_{1} \ldots p_{n}, q_{1} \ldots q_{n} над полем KK нулевой характеристики. Доказать, что

An(K)≃T(V)/I, A_{n}(K) \simeq T(V) / I,

где II — идеал в T(V)T(V), порождённый всеми элементами

pi⊗qj−qj⊗pi−δij,pi⊗pj−pj⊗pi,qi⊗qj−qj⊗qi p_{i} \otimes q_{j}-q_{j} \otimes p_{i}-\delta _{i j}, \quad p_{i} \otimes p_{j}-p_{j} \otimes p_{i}, \quad q_{i} \otimes q_{j}-q_{j} \otimes q_{i}
?
Задача 64.67

Пусть (e1,…,en)(e_{1}, \ldots , e_{n}) — базис векторного пространства VV над полем KK характеристики, отличной от 2, и Λ(V)\Lambda (V) — внешняя (или грассманова алгебра) над векторным пространством VV.

Доказать, что:

?
(а)

dim⁡Λ(V)=2n\operatorname {dim} \Lambda (V)=2^{n};

(б)

если x1,…,xn+1∈Λ1(V)⊕…⊕Λn(V)x_{1}, \ldots , x_{n+1} \in \Lambda^{1}(V) \oplus \ldots \oplus \Lambda^{n}(V), то x1…xn+1=0x_{1} \ldots x_{n+1}=0;

(в)

формула

φ(ei)=∑j=1naijej+ωi,i=1,…,n \varphi \left(e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n} a_{i j} e_{j}+\omega _{i}, \quad i=1, \ldots , n

где ωi∈Λ1(V)⊕…⊕Λn(V)\omega_{i} \in \Lambda^{1}(V) \oplus \ldots \oplus \Lambda^{n}(V), задает автоморфизм тогда и только тогда, когда det⁡(aij)≠0\operatorname {det}\left(a_{i j}\right) \neq 0.

Задача 64.68

Пусть RR — кольцо с единицей. Левым аннулятором подмножества M⊆RM \subseteq R называется множество

{x∈R∣xm=0 для всякого m∈M}. \left\{ x \in R \mid x m=0 \quad \text{ для всякого } \quad m \in M\right\} .

Доказать, что:

?
(а)

левый аннулятор любого подмножества является в RR левым идеалом;

(б)

левый аннулятор правого идеала кольца RR, порождённого идемпотентом, также порождается (как левый идеал) некоторым идемпотентом.

Задача 64.69

Доказать, что сумма левых идеалов, порождённых попарно ортогональными идемпотентами, также порождается идемпотентом.

?
Задача 64.70

Пусть Ik(k=1,…,n)I_{k}(k=1, \ldots , n) — множество матриц порядка nn над полем KK, состоящее из матриц, у которых вне kk-го столбца все элементы равны 0.

Доказать, что:

?
(а)

IkI_{k} — левый идеал Mn(K)\mathbf{M}_{n}(K);

(б)

IkI_{k} — минимальный подмодуль в Mn(K)\mathbf{M}_{n}(K), рассматриваемый как левый модуль над собой;

(в)

Mn(K)=I1⊕…⊕In\mathbf{M}_{n}(K)=I_{1} \oplus \ldots \oplus I_{n};

(г)

модуль M2(K)\mathrm{M}_{2}(K) обладает разложением в прямую сумму минимальных подмодулей, отличным от разложения в);

(д)

между двумя этими разложениями модуля M2(K)\mathbf{M}_{2}(K) существует модульный изоморфизм.

Задача 64.71

Пусть RR — алгебра всех линейных операторов в конечномерном векторном пространстве VV и JLJ_{L} — множество всех операторов из RR, образ которых лежит в подпространстве LL. Доказать, что JLJ_{L} является правым идеалом в RR.

Обратно, пусть JJ — левый идеал в RR. Доказать, что существует, и притом единственное такое подпространство LL в VV, что J=JLJ=J_{L}.

?
Задача 64.72

Пусть RR — алгебра всех линейных операторов в конечномерном векторном пространстве VV и ILI_{L} — множество всех операторов из RR, ядро которых содержит подпространство LL. Доказать, что ILI_{L} является левым идеалом в RR.

Обратно, пусть II — левый идеал в RR. Доказать, что существует, и притом единственное такое подпространство LL в VV, что I=ILI=I_{L}.

?
Задача 64.73

Доказать, что множества матриц:

?
(а)

I={(x2xy2y)(x,y∈K)},J={(x0y0)(x,y∈K)}I=\left\{ \left(\begin{array}{ll}x & 2 x \\ y & 2 y\end{array}\right) \quad (x, y \in K)\right\} , \quad J=\left\{ \left(\begin{array}{ll}x & 0 \\ y & 0\end{array}\right) \quad (x, y \in K)\right\};

(б)

I={(−x3x−y3y)(x,y∈K)},J={(0x0y)(x,y∈K)};I=\left\{ \left(\begin{array}{ll}-x & 3 x \\ -y & 3 y\end{array}\right) \quad (x, y \in K)\right\} , \quad J=\left\{ \left(\begin{array}{ll}0 & x \\ 0 & y\end{array}\right) \quad (x, y \in K)\right\} ; являются подмодулями кольца M2(K)\mathbf{M}_{2}(K) как левого модуля над собой и M2(K)/I≃J\mathbf{M}_{2}(K) / I \simeq J.

Задача 64.74

Пусть R=I1⊕I2R=I_{1} \oplus I_{2} — разложение кольца с единицей ee в прямую сумму двусторонних идеалов I1,I2I_{1}, I_{2} и e=e1+e2e=e_{1}+e_{2}, где e1∈I1e_{1} \in I_{1}, e2∈I2e_{2} \in I_{2}. Доказать, что e1e_{1} и e2e_{2} — единицы колец I1I_{1} и I2I_{2}.

?
Задача 64.75

Доказать, что кольца Zmn\mathbf{Z}_{m n} и Zm⊕Zn\mathbf{Z}_{m} \oplus \mathbf{Z}_{n} изоморфны тогда и только тогда, когда mm и nn взаимно просты.

?
Задача 64.76

Кольцо называется вполне приводилыл справа, если оно является прямой суммой правых идеалов, являющихся простыми модулями над этим кольцом. При каких nn кольцо вычетов Zn\mathbf{Z}_{n} вполне приводимо?

?
Задача 64.77

Доказать, что алгебра всех верхних треугольных матриц порядка n⩾2n \geqslant 2 над полем не является вполне приводимой.

?
Задача 64.78

Доказать, что в коммутативном вполне приводимом кольце с единицей число идемпотентов и число идеалов конечны.

?
Задача 64.79

Доказать, что во всякой вполне приводимой алгебре пересечение всех максимальных идеалов равно нулю.

?
Задача 64.80

Доказать, что всякое коммутативное вполне приводимое кольцо с единицей изоморфно прямой сумме полей.

?
Задача 64.81

Модуль называется вполне приводимыл, если его можно разложить в прямую сумму минимальных подмодулей. Какие циклические группы вполне приводимы как модули над кольцом Z\mathbb {Z}?

?
Задача 64.82

Кольцо называется вполие приводимыл слева, если оно вполне приводимо как левый модуль над собой. Доказать, что если кольцо RR вполне приводимо слева и II — его левый идеал, то R=I⊕JR=I \oplus J для некоторого левого идеала JJ кольца RR.

?
Задача 64.83

Доказать, что всякий левый идеал вполне приводимого слева кольца RR :

?
(а)

вполне приводим как левый модуль над RR;

(б)

порождается идемпотентом.

Задача 64.84

Пусть RR — вполне приводимое слева кольцо с единицей.

Доказать, что:

?
(а)

если RR не содержит идемпотентов, отличных от 0 и 1, то RR тело;

(б)

если RR не содержит делителей нуля, то RR — тело.

Верны ли эти утверждения для колец, в которых существование единицы заранее не предположено?

Задача 64.85

Доказать, что если xy=0x y=0 для любых двух элементов xx, yy левого идеала II вполне приводимого слева кольца RR с единицей, то I={0}I=\left\{ 0\right\}.

?
Задача 64.86

Доказать, что если II — идеал кольца RR с единицей, то факторкольцо R/IR / I тоже имеет единицу.

?
Задача 64.87

Доказать, что факторкольцо коммутативного нётерова кольца также нётерово.

?
Задача 64.88

Доказать, что кольцо вычетов Zp1…pm\mathbf{Z}_{p_{1} \ldots p_{m}}, где p1,…,pmp_{1}, \ldots , p_{m} различные простые числа, является прямой суммой полей.

?
Задача 64.89

Найти все подмодули в векторном пространстве с базисом (e1,…,en)\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right) как модули над кольцом всех диагональных матриц, если

diag⁡(λ1,…,λn)∘(α1e1+…+αnen)=λ1α1e1+…+λnαnen \operatorname {diag}\left(\lambda _{1}, \ldots , \lambda _{n}\right) \circ \left(\alpha _{1} e_{1}+\ldots +\alpha _{n} e_{n}\right)=\lambda _{1} \alpha _{1} e_{1}+\ldots +\lambda _{n} \alpha _{n} e_{n}
?
Задача 64.90

Пусть RR — коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, рассматриваемое как модуль над собой. Доказать, что RR изоморфно любому своему ненулевому подмодулю тогда и только тогда, когда RR — кольцо главных идеалов.

?
Задача 64.91

Доказать, что правило

h(x)∘f=h(xr)f h(x) \circ f=h\left(x^{r}\right) f

где h(x)h(x) — фиксированный многочлен, превращает кольцо многочленов F[x]F[x] над полем FF в свободный модуль ранга rr над F[x]F[x].

?
Задача 64.92

Пусть в кольце RR нет делителей нуля и MM — свободный RR-модуль. Доказать, что если r∈R\0r \in R \backslash 0 и m∈M\0m \in M \backslash 0, то rm≠0r m \neq 0.

?
Задача 64.93

Пусть RR — кольцо с единицей, причём все RR-модули свободны. Доказать, что RR является телом.

?
Задача 64.94

Пусть KK поле нулевой характеристики. Доказать, что алгебра полиномов K[x1,…,xn]K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right] является простым модулем над алгеброй Вейля An(K)A_{n}(K) (см. задачу 63.28).

?
Задача 64.95

Пусть KK — поле нулевой характеристики. Доказать, что каждый ненулевой модуль над алгеброй Вейля An(K)A_{n}(K) имеет бесконечную размерность над KK.

?
Задача 64.96

Пусть KK — алгебра вещественных функций на отрезке [−π,π][-\pi , \pi ], представимых многочленами от cos⁡x,sin⁡x\cos x, \sin x с вещественными коэффициентами.

Доказать, что:

?
(а)

KK является областью;

(б)

K≃RX,Y/(X2+Y2−1)K \simeq \mathbb {R}^{X, Y} /\left(X^{2}+Y^{2}-1\right);

(в)

поле частных для KK изоморфно полю рациональных функций R(T)\mathbb {R}(T).

§
65 · Специальные классы алгебр[18/72%]
Задача 65.1

Доказать, что кольцо многочленов от одного переменного над коммутативным нётеровым кольцом с единицей является нётеровым.

?
Задача 65.2

Доказать, что алгебра многочленов от конечного числа переменных над полем нётерова.

?
Задача 65.3

Алгебра A(α,β)A(\alpha , \beta ) обобщенных кватернионов над полем FF характеристики, отличной от 2, где α,β∈F∗\alpha , \beta \in F^{*}, определяется как векторное пространство над FF с базисом (1,i,j,k)(1, i, j, k) и таблицей умножения

1⋅1=1,1⋅i=i⋅1=i1⋅j=j⋅1=j,1⋅k=k⋅1=ki2=−α,j2=−β,ij=−ji=k \begin{gathered} 1 \cdot 1=1, \quad 1 \cdot i=i \cdot 1=i \\ 1 \cdot j=j \cdot 1=j, \quad 1 \cdot k=k \cdot 1=k \\ i^{2}=-\alpha , \quad j^{2}=-\beta , \quad i j=-j i=k \end{gathered}

Доказать, что:

?
(а)

A(α,β)A(\alpha , \beta ) - (ассоциативная) центральная простая алгебра над полем FF;

(б)

отображение

x=x0+x1i+x2j+x3k↦x0−x1i−x2j−x3k=xˉ x=x_{0}+x_{1} i+x_{2} j+x_{3} k \mapsto x_{0}-x_{1} i-x_{2} j-x_{3} k=\bar{x}

является инволюцией (т.е. для любых x,y∈A(α,β)x, y \in A(\alpha , \beta ) выполняются равенства x+y‾=xˉ+yˉ,xy‾=yx‾,xˉ‾=x);\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y}, \overline{x y}=\overline{y x}, \overline{\bar{x}}=x) ;

(в)

для любого x∈A(α,β)x \in A(\alpha , \beta )

x2−(tr⁡x)x+N(x)=0 x^{2}-(\operatorname {tr} x) x+N(x)=0

где tr⁡x=x+xˉ\operatorname {tr} x=x+\bar{x} и N(x)=xxˉN(x)=x \bar{x} — элементы поля F;F ;

(г)

алгебра A(α,β)A(\alpha , \beta ) является телом тогда и только тогда, когда норменное уравнение N(x)=0N(x)=0 имеет в ней только нулевое решение;

(д)

алгебра A(α,β)A(\alpha , \beta ) является либо телом, либо изоморфна алгебре матриц M2(F)\mathbf{M}_{2}(F) — в соответствии с существованием или отсутствием в ней делителей нуля;

(е)

если норменное уравнение имеет в алгебре A(α,β)A(\alpha , \beta ) ненулевое решение, то оно имеет решение и во множестве ненулевых чистых кватернионов;

(ж)

подалгебра F(a)F(a), порождённая элементом aa алгебры A(α,β)A(\alpha , \beta ), является коммутативной алгеброй размерности ⩽2\leqslant 2 над FF, и если aa не является делителем нуля, то F(a)F(a) — поле, изоморфное полю разложения многочлена x2−(tr⁡a)x+N(a)x^{2}-(\operatorname {tr} a) x+N(a);

(з)

(теорема Витта) норма N(x)N(x) является квадратичной формой ранга 3 на пространстве чистых кватернионов, и, обратно, каждой квадратичной форме ранга 3 на трехмерном векторном пространстве WW над полем FF соответствует алгебра обобщённых кватернионов, определяемая как векторное пространство F⊕WF \oplus W с правилами умножения

1⋅w=w⋅1w1⋅w2=−Q(w1,w2)⋅1+[w1,w2] \begin{gathered} 1 \cdot w=w \cdot 1 \\ w_{1} \cdot w_{2}=-Q\left(w_{1}, w_{2}\right) \cdot 1+\left[w_{1}, w_{2}\right] \end{gathered}

где QQ — билинейная форма на WW, ассоциированная с данной квадратичной формой, [w1,w2]\left[w_{1}, w_{2}\right] — векторное произведение элементов пространства WW;

(и)

приведённая конструкция устанавливает биективное соответствие между кватернионными алгебрами над полем FF (с точностью до изоморфизма) и классами эквивалентности квадратичных форм ранга 3 на трехмерном векторном пространстве над FF. (Формы Q:W×W→FQ: W \times W \rightarrow F и Q′:W′×W′→FQ^{\prime }: W^{\prime } \times W^{\prime } \rightarrow F называются эквивалентиыми, если существуют изоморфизм α:W→W′\alpha : W \rightarrow W^{\prime } и элемент λ∈F∗\lambda \in F^{*} такие, что Q′(α(x),α(y))=λQ(x,y)Q^{\prime }(\alpha (x), \alpha (y))=\lambda Q(x, y) для любых x,y∈Wx, y \in W.)

Задача 65.4

Конечномерная алгебра называется полупростой, если она не содержит ненулевых нильпотентных идеалов.

Доказать, что:

?
(а)

факторалгебра Cx/⟨f(x)⟩\mathbb {C}^{x} /\langle f(x)\rangle полупроста тогда и только тогда, когда многочлен f(x)f(x) не имеет кратных корней;

(б)

алгебра, порождённая полем C\mathbb {C} и матрицей AA в алгебре Mn(C)\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C}), полупроста тогда и только тогда, когда минимальный многочлен матрицы AA не имеет кратных корней;

(в)

конечномерная алгебра над полем полупроста тогда и только тогда, когда она вполне приводима слева;

(г)

коммутативная полупростая алгебра с единицей изоморфна прямой сумму полей;

(д)

если все идемпотенты полупростой алгебры лежат в центре, то алгебра является прямой суммой нескольких тел.

Задача 65.5

Пусть H=(hij)H=\left(h_{i j}\right) — симметрическая (n×n)(n \times n)-матрица над полем FF. Алгеброй Клиффорда называется 2n2^{n}-мерное пространство C(F,H)\mathbb {C}(F, H) над FF с базисом, составленным из символов

ei1…ik(1⩽i1<i2<…<ik⩽n) и e0=1, e_{i_{1} \ldots i_{k}} \quad \left(1 \leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k} \leqslant n\right) \quad \text{ и } \quad e_{0}=1,

и с умножением, определяемым правилами

eiei=hii,e0ei=eie0=ei,eiej+ejei=hij,ei1…ik=ei1…eik(1⩽i1<…<ik⩽n). \begin{gathered} e_{i} e_{i}=h_{i i}, \quad e_{0} e_{i}=e_{i} e_{0}=e_{i}, \quad e_{i} e_{j}+e_{j} e_{i}=h_{i j}, \\ e_{i_{1} \ldots i_{k}}=e_{i_{1}} \ldots e_{i_{k}} \quad \left(1 \leqslant i_{1}<\ldots <i_{k} \leqslant n\right). \end{gathered}

Если VV - nn-мерное векторное пространство с базисом (e1,…,en)(e_{1}, \ldots , e_{n}) и квадратичной формой QQ, то алгебра Клиффорда CQ(F)\mathbb {C}_{Q}(F) квадратичной формы QQ определяется как алгебра C(F,H)\mathbb {C}(F, H), где hij=Q(ei,ej)h_{i j}=Q\left(e_{i}, e_{j}\right).

?
(а)

Доказать, что если H=0H=0, то C(F,H)≃Λ(V)\mathbb {C}(F, H) \simeq \Lambda (V).

(б)

Чётной алаеброй Клиффорда C+(F,H)\mathbb {C}^{+}(F, H) (или CQ+(F)\mathbb {C}_{Q}^{+}(F)) называется подалгебра алгебры Клиффорда, порождённая элементами ei1…ei2me_{i_{1}} \ldots e_{i_{2 m}} (m=0,1,…,[n/2])(m=0,1, \ldots ,[n / 2]). Доказать, что чётная алгебра Клиффорда квадратичной формы

Q(x1,x2,x3)=h11x12+h12x1x2+h22x22 Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=h_{11} x_{1}^{2}+h_{12} x_{1} x_{2}+h_{22} x_{2}^{2}

не распадающаяся в FF на линейные множители, является квадратичным расширением поля FF, изоморфным полю разложения

F(h122−4h11h22) F\left(\sqrt{h_{12}^{2}-4 h_{11} h_{22}}\right)

формы QQ.

(в)

Доказать, что при char F≠2F \neq 2 чётная алгебра Клиффорда квадратичной формы QQ на трехмерном векторном пространстве VV изоморфна алгебре обобщённых кватернионов формы Q(2)Q^{(2)} на трехмерном векторном пространстве W=Λ2VW=\Lambda^{2} V (см. задачу 65.3).

(г)

В условиях задачи в) доказать, что квадратичная форма

N(x)=xxˉ N(x)=x \bar{x}

на пространстве чистых кватернионов эквивалентна форме λQ(λ∈F∗)\lambda Q\left(\lambda \in F^{*}\right).

Задача 65.6

Пусть A=A0⊕A1A=A_{0} \oplus A_{1} - 2-градуированная ассоциативная алгебра над полем KK, т.е. AiAj⊂Ai+jA_{i} A_{j} \subset A_{i+j} (сложение индексов по модулю 2). Определим в AA новую операцию, полагая

[x,y]=xy−(−1)ijyx [x, y]=x y-(-1)^{i j} y x

где x∈Ai,y∈Ajx \in A_{i}, y \in A_{j}.

?
(а)

Доказать, что для любых однородных элементов x∈Ai,y∈Ajx \in A_{i}, y \in A_{j}, z∈Az \in A имеем

[x,y]=(−1)ij[y,x][x,[y,z]]+[y,[z,x]]+(−1)ij+1[z,[x,y]]=0 \begin{gathered} {[x, y]=(-1)^{i j}[y, x]} \\ {[x,[y, z]]+[y,[z, x]]+(-1)^{i j+1}[z,[x, y]]=0} \end{gathered}

Алгебра с 2-градуировкой, для которой однородные элементы удовлетворяют данным соотношениям, называется супералгеброй Ли.

(б)

Пусть VV - nn-мерное векторное пространство с базисом (e1,…,en)\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right) над полем KK характеристики, не равной 2, и Λ(V)\Lambda (V) — внешняя алгебра на V,IV, I — тождественный оператор на V,L0=K⋅IV, L_{0}=K \cdot I и L1L_{1} — линейная оболочка операторов φi\varphi_{i} и ψi\psi_{i}, где

φi(w)=w∧eiψi(ei1∧…∧eip)={(−1)p−kei1∧…∧e^ik∧…∧eip, если ik=i0, если ik≠i для всех k=1,…,p \begin{gathered} \varphi _{i}(w)=w \wedge e_{i} \\ \psi _{i}\left(e_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge e_{i_{p}}\right)= \begin{cases} (-1)^{p-k} e_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge \widehat{e}_{i_{k}} \wedge \ldots \wedge e_{i_{p}}, \quad \text{ если } \quad i_{k}=i \\ 0, \quad \text{ если } i_{k} \neq i \text{ для всех } k=1, \ldots , p \end{cases} \end{gathered}

Доказать, что L=L0⊕L1L=L_{0} \oplus L_{1} является супералгеброй Ли относительно операции, введенной в а).

Задача 65.7

Пусть KK — расширение поля Q\mathbb {Q} степени nn.

Доказать, что:

?
(а)

для любого многочлена f(x)∈Qxf(x) \in \mathbb {Q}^{x} степени nn найдется матрица AA порядка nn, для которой f(A)=0f(A)=0;

(б)

алгебра Mn(Q)\mathbf{M}_{n}(\mathbb {Q}) содержит подалгебру, изоморфную KK;

(в)

если LL — подалгебра в Mn(Q)\mathbf{M}_{n}(\mathbb {Q}), являющаяся полем, то

[L:Q]⩽n. [L: Q] \leqslant n.
Задача 65.8

Имеет ли делители нуля C\mathbb {C}-алгебра аналитических функций, определённых в области U⊆CU \subseteq \mathbb {C}?

?
Задача 65.9

Функция комплексного переменного называется иелой, если она аналитична на всей комплексной плоскости. Доказать, что всякий конечно порождённый идеал алгебры целых функций является главным.

?
Задача 65.10

Дифференцированием кольца RR называется отображение D:R→RD: R \rightarrow R, удовлетворяющее условиям

D(x+y)=D(x)+D(y)D(xy)=D(x)y+xD(y),x,y∈R \begin{gathered} D(x+y)=D(x)+D(y) \\ D(x y)=D(x) y+x D(y), \quad x, y \in R \end{gathered}

Найти все дифференцирования колец:

?
(а)

Z\mathbb {Z};

(б)

Zx\mathbb {Z}^{x};

(в)

Z[x1,x2,…,xn]\mathbb {Z}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right].

Задача 65.11

Множество LL с операцией сложения, относительно которой LL является коммутативной группой, и операцией умножения о, связанной со сложением законами дистрибутивности, называется кольчом Ли, если для любых x,y,z∈Lx, y, z \in L выполняется равенства

x∘x=0,(x∘y)∘z+(y∘z)∘x+(z∘x)∘y=0( тождество Якоби ). \begin{gathered} x \circ x=0, \\ (x \circ y) \circ z+(y \circ z) \circ x+(z \circ x) \circ y=0 \quad (\text{ тождество Якоби }). \end{gathered}

Доказать, что:

?
(а)

в кольце Ли выполняется тождество x∘y=−y∘xx \circ y=-y \circ x;

(б)

векторы трехмерного пространства образуют кольцо Ли относительно сложения и векторного умножения;

(в)

всякое кольцо RR является кольцом Ли относительно сложения и операции x∘y=xy−yxx \circ y=x y-y x;

(г)

множество всех дифференцирований кольца RR является кольцом Ли относительно сложения и операции D1∘D2=D1D2−D2D1D_{1} \circ D_{2}=D_{1} D_{2}-D_{2} D_{1}.

Задача 65.12

Пусть KK — поле и DD — дифференцирование KK-алгебры матриц Mn(K)\mathrm{M}_{n}(K). Доказать, что существует такая матрица A∈Mn(K)A \in \mathbf{M}_{n}(K), что D(X)=AX−XAD(X)=A X-X A для всех XX.

?
Задача 65.13

Пусть KK — поле нулевой характеристики и DD — дифференцирование алгебры Вейля An(K)A_{n}(K). Доказать, что существует такой элемент f∈An(K)f \in A_{n}(K), что D(g)=fg−gfD(g)=f g-g f для любого g∈An(K)g \in A_{n}(K).

?
Задача 65.14

Доказать, что полугрупповое кольцо R[S]R[S] упорядоченной полугруппы SS не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда кольцо RR не имеет делителей нуля.

?
Задача 65.15

Пусть pp — простое число и Zp\mathbb {Z}_{p} — кольцо целых pp-адических чисел, т.е. множество всех формальных рядов ∑i⩾0aipi\sum_{i \geqslant 0} a_{i} p^{i}, где ai∈Za_{i} \in \mathbb {Z} и 0⩽ai<p0 \leqslant a_{i}<p. При этом

∑i⩾0aipi+∑i⩾0bipi=∑i⩾0cipi,(∑i⩾0aipi)(∑i⩾0bipi)=∑i⩾0dipi, \begin{gathered} \sum _{i \geqslant 0} a_{i} p^{i}+\sum _{i \geqslant 0} b_{i} p^{i}=\sum _{i \geqslant 0} c_{i} p^{i}, \\ \left(\sum _{i \geqslant 0} a_{i} p^{i}\right)\left(\sum _{i \geqslant 0} b_{i} p^{i}\right)=\sum _{i \geqslant 0} d_{i} p^{i}, \end{gathered}

если для любого n⩾0n \geqslant 0 в Zpn\mathbf{Z}_{p^{n}}

∑i=0n−1aipi+∑i=0n−1bipi=∑i=0n−1cipi(∑i=0n−1aipi)(∑i=0n−1bipi)=∑i=0n−1dipi \begin{aligned} \sum _{i=0}^{n-1} a_{i} p^{i}+\sum _{i=0}^{n-1} b_{i} p^{i} & =\sum _{i=0}^{n-1} c_{i} p^{i} \\ \left(\sum _{i=0}^{n-1} a_{i} p^{i}\right)\left(\sum _{i=0}^{n-1} b_{i} p^{i}\right) & =\sum _{i=0}^{n-1} d_{i} p^{i} \end{aligned}

Доказать, что:

?
(а)

Zp\mathbb {Z}_{p} — кольцо без делителей нуля, содержащее Z\mathbb {Z};

(б)

элемент ∑i⩾0aipi\sum_{i \geqslant 0} a_{i} p^{i} обратим в Zp\mathbb {Z}_{p} тогда и только тогда, когда a0=1,2,…,p−1a_{0}=1,2, \ldots , p-1;

(в)

естественный гомоморфизм групп обратимых элементов Zp∗→Zpn∗\mathbb {Z}_{p}^{*} \rightarrow \mathbf{Z}_{p^{n}}^{*} сюръективен при любом n;n ;

(г)

каждый идеал в Zp\mathbb {Z}_{p} главный и имеет вид (pn),n⩾0;\left(p^{n}\right), n \geqslant 0 ;

(д)

найти все простые элементы в Zp\mathbb {Z}_{p}.

Задача 65.16
?
(а)

Доказать, что поле pp-адических чисел Qp\mathbb {Q}_{p}, т.е. поле частных Zp\mathbb {Z}_{p}, состоит из элементов вида pmhp^{m} h, где m∈Z,h∈Zpm \in \mathbb {Z}, h \in \mathbb {Z}_{p}.

(б)

Показать, что Q\mathbb {Q} содержится в Qp\mathbb {Q}_{p} в качестве подполя.

(в)

Доказать, что элемент pm(∑i⩾0aipi)p^{m}\left(\sum_{i \geqslant 0} a_{i} p^{i}\right) из Qp\mathbb {Q}_{p}, где 0⩽ai⩽p−10 \leqslant a_{i} \leqslant p-1, лежит в Q\mathbb {Q} тогда и только тогда, когда, начиная с некоторого NN, элементы ai,i⩾Na_{i}, i \geqslant N, образуют периодическую последовательность.

(г)

Найти в Q5\mathbb {Q}_{5} образы элементов 2/72 / 7 и 1/31 / 3.

Задача 65.17

Пусть KK — поле, pp — неприводимый многочлен от одной переменной XX с коэффициентами в KK. Построить по аналогии с задачей 65.15 кольцо K[X]pK[X]_{p} и его поле частных K(X)pK(X)_{p}. Показать, что если pp имеет степень 1, то K[X]p≃K[[X]]K[X]_{p} \simeq K[[X]].

?
Задача 65.18

Найти все подкольца поля рациональных чисел Q\mathbb {Q}, содержащие единицу.

?
§
66 · Поля[48/65%]
Задача 66.1

Какие из колец в задачах 63.1-63.3 являются полями?

?
Задача 66.2

Какие из следующих множеств матриц образуют поле относительно обычных матричных операций:

?
(а)

{(xynyx);x,y∈Q},\left\{ \left(\begin{array}{cc}x & y \\ n y & x\end{array}\right) ; \quad x, y \in \mathbb {Q}\right\} , \quad где nn — фиксированное целое число;

(б)

{(xynyx);x,y∈R},\left\{ \left(\begin{array}{cc}x & y \\ n y & x\end{array}\right) ; \quad x, y \in \mathbb {R}\right\} , \quad где n−n- фиксированное целое число;

(в)

{(xynyx);x,y∈Zp},\left\{ \left(\begin{array}{cc}x & y \\ n y & x\end{array}\right) ; \quad x, y \in \mathbf{Z}_{p}\right\} , \quad где p=2,3,5,7?p=2,3,5,7?

Задача 66.3

Пусть KK — поле и FF — поле дробей алгебры формальных степенных рядов K[[x]]K[[x]]. Доказать, что каждый элемент из FF представляется в виде x−shx^{-s} h, где s⩾0s \geqslant 0 и h∈K[[x]]h \in K[[x]].

?
Задача 66.4

Доказать, что порядок единицы поля в его аддитивной группе либо бесконечен, либо является простым числом.

?
Задача 66.5

Для каких чисел n=2,3,4,5,6,7n=2,3,4,5,6,7 существует поле из nn элементов?

?
Задача 66.6

Доказать, что поле из p2p^{2} элементов, где pp — простое число, имеет единственное собственное подполе.

?
Задача 66.7

Доказать, что поля Q\mathbb {Q} и R\mathbb {R} не имеют автоморфизмов, отличных от тождественного.

?
Задача 66.8

Найти все автоморфизмы поля C\mathbb {C}, при которых каждое вещественное число переходит в себя.

?
Задача 66.9

Имеет ли поле Q(2)\mathbb {Q}(\sqrt{2}) автоморфизмы, отличные от тождественного?

?
Задача 66.10

Доказать, что в поле FF характеристики pp :

?
(а)

справедливо тождество

(x+y)pm=xpm+ypm(m− натуральное число ); (x+y)^{p^{m}}=x^{p^{m}}+y^{p^{m}} \quad (m-\text{ натуральное число }) ;
(б)

если FF конечно, то отображение x↦xpx \mapsto x^{p} является автоморфизмом.

Задача 66.11

Доказать, что если комплексное число zz не является вещественным, то кольцо Rz\mathbb {R}^{z} совпадает с полем C\mathbb {C}.

?
Задача 66.12

При каких m,n∈Z\{0}m, n \in \mathbb {Z} \backslash \left\{ 0\right\} поля Q(m)\mathbb {Q}(\sqrt{m}) и Q(n)\mathbb {Q}(\sqrt{n}) изоморфны?

?
Задача 66.13

Доказать, что для любого автоморфизма φ\varphi поля KK множество элементов, неподвижных относительно φ\varphi, является подполем.

?
Задача 66.14

Доказать, что любые два поля из четырёх элементов изоморфны.

?
Задача 66.15

Существует ли поле, строго содержащее поле комплексных чисел?

?
Задача 66.16

Доказать, что любое конечное поле имеет положительную характеристику.

?
Задача 66.17

Существует ли бесконечное поле положительной характеристики?

?
Задача 66.18

Решить в поле Q(2)\mathbb {Q}(\sqrt{2}) уравнения:

?
(а)

x2+(4−22)x+3−22=0x^{2}+(4-2 \sqrt{2}) x+3-2 \sqrt{2}=0;

(б)

x2−x−3=0x^{2}-x-3=0;

(в)

x2+x−7+62=0x^{2}+x-7+6 \sqrt{2}=0;

(г)

x2−2x+1−2=0x^{2}-2 x+1-\sqrt{2}=0.

Задача 66.19

Решить систему уравнений

x+2z=1,y+2z=2,2x+z=1: x+2 z=1, \quad y+2 z=2, \quad 2 x+z=1:
?
(а)

в поле Z3\mathbf{Z}_{3};

(б)

в поле Z5\mathbf{Z}_{5}.

Задача 66.20

Решить систему уравнений

3x+y+2z=1,x+2y+3z=1,4x+3y+2z=1 3 x+y+2 z=1, \quad x+2 y+3 z=1, \quad 4 x+3 y+2 z=1

в поле вычетов по модулю 5 и по модулю 7.

?
Задача 66.21

Найти такой многочлен f(x)f(x) степени не выше 3 с коэффициентами из Z5\mathbf{Z}_{5}, что

f(0)=3,f(1)=3,f(2)=5,f(4)=4. f(0)=3, \quad f(1)=3, \quad f(2)=5, \quad f(4)=4.
?
Задача 66.22

Найти все многочлены f(x)f(x) с коэффициентами из Z5\mathbf{Z}_{5}, что

f(0)=f(1)=f(4)=1,f(2)=f(3)=3 f(0)=f(1)=f(4)=1, \quad f(2)=f(3)=3
?
Задача 66.23

Какие из уравнений:

?
(а)

x2=5x^{2}=5,

(б)

x7=7x^{7}=7,

(в)

x3=ax^{3}=a, имеют решения в поле Z11\mathbf{Z}_{11}?

Задача 66.24

В поле вычетов по модулю 11 решить уравнения:

?
(а)

x2+3x+7=0x^{2}+3 x+7=0;

(б)

x2+5x+1=0x^{2}+5 x+1=0;

(в)

x2+2x+3=0x^{2}+2 x+3=0;

(г)

x2+3x+5=0x^{2}+3 x+5=0.

Задача 66.25

Доказать, что в поле из nn элементов выполняется тождество xn=xx^{n}=x.

?
Задача 66.26

В поле Zp\mathbf{Z}_{p} решить уравнение xp=ax^{p}=a.

?
Задача 66.27

Доказать, что если xn=xx^{n}=x для всех элементов xx поля KK, то KK конечно, и его характеристика делит nn.

?
Задача 66.28

Найти все порождающие элементы в мультипликативной группе поля:

?
(а)

Z7\mathbf{Z}_{7};

(б)

Z11\mathbf{Z}_{11};

(в)

Z17\mathbf{Z}_{17}.

Задача 66.29

Пусть a,ba, b элементы поля порядка 2n2^{n}, где nn нечётно. Доказать, что если a2+ab+b2=0a^{2}+a b+b^{2}=0, то a=b=0a=b=0.

?
Задача 66.30

Пусть FF — поле, причём группа F∗F^{*} циклическая. Доказать, что FF конечно.

?
Задача 66.31

В поле рациональных функций с вещественными коэффициентами решить уравнения:

?
(а)

f4=1f^{4}=1;

(б)

f2−f−x=0f^{2}-f-x=0.

Задача 66.32

Доказать, что в поле Zp\mathbf{Z}_{p} выполняются равенства:

?
(а)

∑k=1p−1k−1=0(p>2)\sum_{k=1}^{p-1} k^{-1}=0 \quad (p>2);

(б)

∑k=1(p−1)/2k−2=0(p>3)\sum_{k=1}^{(p-1) / 2} k^{-2}=0 \quad (p>3).

Задача 66.33

Пусть n⩾2n \geqslant 2 и ζ1,…,ζm\zeta_{1}, \ldots , \zeta_{m} — все корни nn-й степени из 1 в поле KK. Доказать, что:

?
(а)

{ζ1,…,ζm}\left\{ \zeta_{1}, \ldots , \zeta_{m}\right\} — группа по умножению;

(б)

{ζ1,…,ζm}\left\{ \zeta_{1}, \ldots , \zeta_{m}\right\} — корни степени mm из 1 ;

(в)

mm делит nn;

(г)

если k∈Zk \in \mathbb {Z}, то

ζ1k+…+ζmk={0, если m не делит k,m, если m делит k. \zeta _{1}^{k}+\ldots +\zeta _{m}^{k}= \begin{cases} 0, \quad \text{ если } m \text{ не делит } k, \\ m, \quad \text{ если } m \text{ делит } k. \end{cases}
Задача 66.34

Пусть mkmk−1…m0m_{k} m_{k-1} \ldots m_{0} и nknk−1…n0n_{k} n_{k-1} \ldots n_{0} — записи натуральных чисел mm и nn в системе счисления с основанием ss, где ss — простое число.

Доказать, что:

?
(а)

числа (mn)\binom {m}{n} и (m0n0)(m1n1)…(mnnn)\binom {m_{0}}{n_{0}}\binom {m_{1}}{n_{1}} \ldots \binom {m_{n}}{n_{n}} при делении на ss дают одинаковые остатки;

(б)

(mn)\binom {m}{n} делится на ss тогда и только тогда, когда при некотором ii выполняется неравенство mi<nim_{i}<n_{i}.

Задача 66.35

Нормированием поля KK называется функция ∥x∥,x∈K\left\| x\right\| , x \in K, принимающая вещественные неотрицательные значения, причём: ∥x∥=0\left\| x\right\| =0 тогда и только тогда, когда x=0x=0; ∥xy∥=∥x∥∥y∥\left\| x y\right\| =\left\| x\right\| \left\| y\right\|; ∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥\left\| x+y\right\| \leqslant \left\| x\right\| +\left\| y\right\|. Доказать, что следующие функции в Q\mathbb {Q} являются нормированиями:

?
(а)

∥x∥={1,x≠00,x=0\left\| x\right\| = \begin{cases} 1, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}

(б)

∥x∥=∣x∣s\left\| x\right\| =|x|^{s}, где ss — фиксированное число, 0<s⩽10<s \leqslant 1;

(в)

∥x∥=∣x∣ps,p\left\| x\right\| =|x|_{p}^{s}, p — простое число, ss — фиксированное положительное число, меньшее 1, причём если x=prmn−1x=p^{r} m n^{-1}, где m,nm, n целые числа, не делящиеся на pp, то ∣x∣p=p−r|x|_{p}=p^{-r}.

Задача 66.36

Пусть ∥x∥\left\| x\right\| — нормирование Q\mathbb {Q}, причём существует такое yy, что ∥y∥≠0,1\left\| y\right\| \neq 0,1. Тогда ∥x∥\left\| x\right\| имеет либо вид б), либо вид в) из задачи 66.35.

?
Задача 66.37

Пусть KK — поле и K(x)K(x) — поле рациональных функций от одной переменной xx. Доказать, что следующие функции в K(x)K(x) являются нормированиями:

?
(а)

∥f∥={1, если f≠0,0, если f=0;\left\| f\right\| = \begin{cases} 1, & \text{ если } & f \neq 0, \\ 0, & \text{ если } & f=0 ; \end{cases}

(б)

∥hg−1∥=cdeg⁡h−deg⁡g\left\| h g^{-1}\right\| =c^{\operatorname {deg} h-\operatorname {deg} g}, где h,g∈K[x]h, g \in K[x] и 0<c<10<c<1;

(в)

если p(x)p(x) — неприводимый многочлен, h=p(x)ru(x)v(x)h=p(x)^{r} u(x) v(x), где u(x),v(x)u(x), v(x) — многочлены, не делящиеся на p(x)p(x), то ∣h∣=cr\left|h\right|=c^{r}, где 0<c<10<c<1.

Задача 66.38

Доказать, что:

?
(а)

пополнение Q\mathbb {Q} относительно нормирования из задачи 66.37, б) равно R\mathbb {R};

(б)

пополнение Q\mathbb {Q} относительно нормирования из задачи 66.37, в) равно Qp\mathbb {Q}_{p};

(в)

пополнение Z\mathbb {Z} относительно нормирования из задачи 66.37, б) равно Zp\mathbb {Z}_{p};

(г)

пополнение Cx\mathbb {C}^{x} относительно нормирования из задачи 66.37, в) с p=xp=x равно алгебре степенных рядов C[[x]]\mathbb {C}[[x]].

Задача 66.39

Последовательность xn,n⩾1x_{n}, n \geqslant 1, элементов из Qp\mathbb {Q}_{p} сходится относительно метрики ∥f∥\left\| f\right\| из задачи 66.37, в) тогда и только тогда, когда

lim⁡n→∞∥xn−xn+1∥p=0 \lim _{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}-x_{n+1}\right\| _{p}=0
?
Задача 66.40

При каких t∈Qpt \in \mathbb {Q}_{p} сходятся ряды:

?
(а)

et=∑tnn!e^{t}=\sum \frac{t^{n}}{n!};

(б)

ln⁡(1+x)=∑n⩾11n(−1)ntn\ln (1+x)=\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n}(-1)^{n} t^{n};

(в)

∑n⩾0xn\sum_{n \geqslant 0} x^{n}?

Задача 66.41

Пусть a∈Qpa \in \mathbb {Q}_{p} и xn=apnx_{n}=a^{p^{n}}. Сушествует ли lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}?

?
Задача 66.42

Пусть f(x)∈Zp[x],a0∈Zpf(x) \in \mathbb {Z}_{p}[x], a_{0} \in \mathbb {Z}_{p}, причём ∥f(a0)/f′(a0)2∥p<1\left\| f\left(a_{0}\right) / f^{\prime }\left(a_{0}\right)^{2}\right\|_{p}<1. Положим

an+1=an−f(an)f′(an) a_{n+1}=a_{n}-\frac{f\left(a_{n}\right)}{f^{\prime }\left(a_{n}\right)}

Доказать, что существует a=lim⁡ana=\lim a_{n}, причём f(a)=0f(a)=0 и ∥a−a0∥p<1\left\| a-a_{0}\right\|_{p}<1.

?
Задача 66.43

Доказать, что любой автоморфизм в Qp\mathbb {Q}_{p} тождествен.

?
Задача 66.44

Пусть f(x)∈Zp[x]f(x) \in \mathbb {Z}_{p}[x] имеет степень nn и старший коэффициент f(x)f(x) равен 1. Пусть образ f(x)‾\overline{f(x)} многочлена f(x)f(x) в Z/pZx\mathbb {Z} / p \mathbb {Z}^{x} разложим, fˉ(x)=g(x)h(x)\bar{f}(x)=g(x) h(x), где g(x),h(x)g(x), h(x) взаимно просты, имеют старший коэффициент 1, причём

deg⁡g(x)=r,deg⁡h(x)=n−r \operatorname {deg} g(x)=r, \quad \operatorname {deg} h(x)=n-r

Тогда f(x)=u(x)v(x)f(x)=u(x) v(x), где deg⁡u(x)=r,deg⁡h(x)=n−r\operatorname {deg} u(x)=r, \operatorname {deg} h(x)=n-r, старшие коэффициенты u(x),v(x)u(x), v(x) равны 1, причём образы u(x),v(x)u(x), v(x) в Z/pZx\mathbb {Z} / p \mathbb {Z}^{x} равны соответственно g(x)g(x) и h(x)h(x).

?
Задача 66.45

Пусть f(x)∈Zp[x]f(x) \in \mathbb {Z}_{p}[x] и a∈Zpa \in \mathbf{Z}_{p}, причём в Zp\mathbf{Z}_{p}

f(a)=0,f′(a)≠0 f(a)=0, \quad f^{\prime }(a) \neq 0

Тогда существует такой элемент b∈Zpb \in \mathbb {Z}_{p}, что f(b)=0f(b)=0 и образ bb в Zp\mathbf{Z}_{p} равен aa.

?
Задача 66.46

Пусть mm — натуральное число, не делящееся на p,a∈1+pZpp, a \in 1+p \mathbf{Z}_{p}. Тогда существует такое b∈Zpb \in \mathbb {Z}_{p}, что bm=ab^{m}=a.

?
Задача 66.47

Пусть поля Qp\mathbb {Q}_{p} и Qp′\mathbb {Q}_{p^{\prime }} изоморфны. Доказать, что p=p′p=p^{\prime }.

?
Задача 66.48

Кольцо Zp\mathbb {Z}_{p} компактно в Qp\mathbb {Q}_{p} относительно pp-адической топологии.

?
§
67 · Расширения полей. Теория Галуа[81/85%]
Задача 67.1

Пусть AA — алгебра над полем KK и

K=K0⊂K1⊂K1⊂…⊂Ks K=K_{0} \subset K_{1} \subset K_{1} \subset \ldots \subset K_{s}
  • башня подполей в AA.

Доказать, что

(A:K)=(A:Ks)(Ks:Ks−1)…(K1:K0) (A: K)=\left(A: K_{s}\right)\left(K_{s}: K_{s-1}\right) \ldots \left(K_{1}: K_{0}\right)
?
Задача 67.2

Пусть AA — алгебра над полем KK и a∈Aa \in A.

Доказать, что:

?
(а)

если элемент aa не является алгебраическим над KK, то подалгебра K[a]K[a] изоморфна кольцу многочленов K[x]K[x];

(б)

если aa — алгебраический элемент над KK, то

K[a]≃K[x]/⟨μa(x)⟩, K[a] \simeq K[x] /\left\langle \mu _{a}(x)\right\rangle ,

где μa(x)\mu_{a}(x) — некоторый однозначно определенный унитарный многочлен (минимальный многочлен элемента aa) над KK;

(в)

если AA — поле, то для всякого алгебраического над KK элемента a∈Aa \in A многочлен μa(x)\mu_{a}(x) неприводим в K[x]K[x];

(г)

если все элементы из AA алгебраичны над KK и для всякого a∈Aa \in A многочлен μa(x)\mu_{a}(x) неприводим, то AA — поле.

Задача 67.3

Найти минимальные многочлены для элементов:

?
(а)

2\sqrt{2} над Q\mathbb {Q};

(б)

57\sqrt[7]{5} над Q\mathbb {Q};

(в)

9105\sqrt[105]{9} над Q\mathbb {Q};

(г)

2−3i2-3 i над R\mathbb {R};

(д)

2−3i2-3 i над C\mathbb {C};

(е)

2+3\sqrt{2}+\sqrt{3} над Q\mathbb {Q};

(ж)

1+21+\sqrt{2} над Q(2+3)\mathbb {Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}).

Задача 67.4

Доказать, что:

?
(а)

если AA — конечномерная алгебра над KK, то всякий элемент из AA алгебраичен над KK;

(б)

если a1,…,as∈Aa_{1}, \ldots , a_{s} \in A — алгебраические элементы над KK, то подалгебра K[a1,…,as]K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right] конечномерна над KK.

Задача 67.5

Доказать, что если AA — поле и a1,…,as∈Aa_{1}, \ldots , a_{s} \in A — алгебраические элементы над KK, то расширение K(a1,…,as)K\left(a_{1}, \ldots , a_{s}\right) совпадает с алгеброй K[a1,…,as]K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right].

?
Задача 67.6

Доказать, что множество всех элементов KK-алгебры AA, алгебраических над KK, является подалгеброй в AA, а если AA — поле, то подполем.

?
Задача 67.7

Доказать, что если в башне полей

K=K0⊂K1⊂K2⊂…⊂Ks=L K=K_{0} \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \ldots \subset K_{s}=L

каждый этаж Ki−1⊂Ki(i=1,…,s)K_{i-1} \subset K_{i}(i=1, \ldots , s) является алгебраическим расширением, то L/KL / K — алгебраическое расширение.

?
Задача 67.8

Доказать, что всякий многочлен с коэффициентами из поля KK имеет корень в некотором расширении L/KL / K.

?
Задача 67.9

Пусть KK — поле. Доказать, что:

?
(а)

для произвольного многочлена из K[x]K[x] существует поле разложения этого многочлена над KK;

(б)

для любого конечного множества многочленов из K[x]K[x] существует поле разложения над KK.

Задача 67.10

Пусть KK — поле, g(x)∈K[x],h(x)∈K[x],f(x)=g(h(x))g(x) \in K[x], h(x) \in K[x], f(x)=g(h(x)), и α\alpha — корень многочлена g(x)g(x) в некотором расширении L/KL / K. Доказать, что многочлен ff неприводим над KK тогда и только тогда, когда g(x)g(x) неприводим над KK и h(x)−αh(x)-\alpha неприводим над K[α]K[\alpha ].

?
Задача 67.11

Пусть KK — поле, a∈Ka \in K. Доказать, что:

?
(а)

если pp — простое число, то многочлен xp−ax^{p}-a либо неприводим, либо имеет корень в KK;

(б)

если многочлен xn−1x^{n}-1 разлагается в K[x]K[x] на линейные множители, то многочлен xn−a∈K[x]x^{n}-a \in K[x] либо неприводим, либо для некоторого делителя d≠1d \neq 1 числа nn многочлен xd−ax^{d}-a имеет корень в KK;

(в)

предположение о разложимости xn−1x^{n}-1 на линейные множители существенно для справедливости утверждения б).

Задача 67.12

Доказать, что над полем KK характеристики p≠0p \neq 0 многочлен f(x)=xp−x−af(x)=x^{p}-x-a либо неприводим, либо разлагается в произведение линейных множителей, и указать это разложение, если f(x)f(x) имеет корень x0x_{0}.

?
Задача 67.13

Найти степень поля разложения над Q\mathbb {Q} для многочленов:

?
(а)

ax+b(a,b∈Q,a≠0)a x+b \quad (a, b \in \mathbb {Q}, \quad a \neq 0);

(б)

x2−2;x^{2}-2 ; \quad

(в)

x3−1;x^{3}-1 ; \quad

(г)

x3−2;x^{3}-2 ; \quad

(д)

x4−2x^{4}-2;

(е)

xp−1(p−x^{p}-1 \quad (p- простое число);

(ж)

xn−1(n∈N)x^{n}-1 \quad (n \in \mathbb {N});

(з)

xp−a(a∈Qx^{p}-a \quad (a \in \mathbb {Q} и не является pp-й степенью в Q,p\mathbb {Q}, p — простое число);

(и)

(x2−a1)…(x2−an)(a1,…,an\left(x^{2}-a_{1}\right) \ldots \left(x^{2}-a_{n}\right) \quad (a_{1}, \ldots , a_{n} принадлежит Q∗\mathbb {Q}^{*} и все различны).

Задача 67.14

Доказать, что конечное расширение L/KL / K является простым тогда и только тогда, когда множество промежуточных полей между KK и LL конечно, и привести пример конечного расширения, не являющегося простым.

?
Задача 67.15

Пусть L/KL / K — алгебраическое расширение. Доказать, что расширение L(x)/K(x)L(x) / K(x) также алгебраическое и

(L(x):K(x))=(L:K) (L(x): K(x))=(L: K)
?
Задача 67.16

Пусть L/KL / K — расширение. Элементы a1,…,as∈La_{1}, \ldots , a_{s} \in L называются алгебраически независимыми над KK, если f(a1,…,as)≠0f\left(a_{1}, \ldots , a_{s}\right) \neq 0 для всякого ненулевого многочлена f(x1,…,xs)∈K[x1,…,xs]f\left(x_{1}, \ldots , x_{s}\right) \in K\left[x_{1}, \ldots , x_{s}\right].

Доказать, что элементы a1,…,as∈La_{1}, \ldots , a_{s} \in L алгебраически независимы над KK тогда и только тогда, когда расширение K(a1,…,as)K\left(a_{1}, \ldots , a_{s}\right) KK-изоморфно полю рациональных функций K(x1,…,xs)K\left(x_{1}, \ldots , x_{s}\right).

?
Задача 67.17

Пусть L/KL / K — расширение и a1,…,as;b1,…,bna_{1}, \ldots , a_{s} ; b_{1}, \ldots , b_{n} — две максимальные алгебраически независимые над KK системы элементов из LL. Доказать, что m=nm=n (степень трансчендентности LL над KK).

?
Задача 67.18

Доказать, что:

?
(а)

в конечномерной коммутативной KK-алгебре AA имеется лишь конечное число максимальных идеалов, и их пересечение совпадает с множеством N(A)N(A) всех нильпотентных элементов алгебры AA (нильрадикал алгебры AA);

(б)

Ared=A/N(A)A^{\mathrm{red}}=A / N(A) — редуиированная алгебра (не содержит отличных от 0 нильпотентных элементов);

(в)

алгебра A/N(A)A / N(A) изоморфна прямому произведению полей K1,…,KsK_{1}, \ldots , K_{s}, являющихся расширениями поля KK;

(г)

s⩽(A:K)s \leqslant (A: K);

(д)

набор расширений KiK_{i} определён для алгебры AA однозначно с точностью до изоморфизма [^fn1];

(е)

если BB — подалгебра в AA, то всякая компонента BB является расширением в одной или нескольких компонентах AA;

(ж)

если II — идеал в AA, то компоненты алгебры A/IA / I содержатся среди компонент алгебры AA.

Задача 67.19

Пусть KK — поле, f(x)∈K[x],p1(x)k1…ps(x)ksf(x) \in K[x], p_{1}(x)^{k_{1}} \ldots p_{s}(x)^{k_{s}} — разложение f(x)f(x) в произведение степеней различных неприводимых многочленов над K,A=K[x]/⟨f(x)⟩K, A=K[x] /\langle f(x)\rangle. Доказать, что

Ared=A/N(A)≃∏i=1sk[x]/⟨pl(x)⟩ A^{\mathrm{red}}=A / N(A) \simeq \prod _{i=1}^{s} k[x] /\left\langle p_{l}(x)\right\rangle
?
Задача 67.20

Пусть A−KA-K-алгебра и L−L- расширение поля KK.

Доказать, что:

?
(а)

если f1,…fnf_{1}, \ldots f_{n} — различные KK-гомоморфизмы A→LA \rightarrow L, то f1,…,fnf_{1}, \ldots , f_{n} линейно независимы как элементы векторного пространства над LL всех KK-линейных отображений A→LA \rightarrow L;

(б)

число различных KK-гомоморфизмов A→LA \rightarrow L не превосходит (A:L)(A: L).

Найти все автоморфизмы полей Q(2),Q(2+3),Q(23)\mathbb {Q}(\sqrt{2}), \mathbb {Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}), \mathbb {Q}(\sqrt[3]{2}).

Задача 67.21

Пусть AA — конечномерная KK-алгебра и LL — расширение поля KK. Положим AL=L⊗KAA_{L}=L \otimes_{K} A. Пусть (e1,…,en)\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right) — базис AA над KK. Доказать, что:

?
(а)

(1⊗e1,…,1⊗en)−\left(1 \otimes e_{1}, \ldots , 1 \otimes e_{n}\right)- базис ALA_{L} над LL;

(б)

при естественном вложении AA в ALA_{L} образ AA является KK-подалгеброй в ALA_{L}.

Задача 67.22

Пусть AA — конечномерная KK-алгебра, LL — расширение поля KK. Доказать, что:

?
(а)

если BB — подалгебра в AA, то BLB_{L} — подалгебра в ALA_{L};

(б)

если II — идеал алгебры AA и ILI_{L} — соответствующий идеал в ALA_{L}, то (A/I)L≃AL/IL(A / I)_{L} \simeq A_{L} / I_{L};

(в)

если A=∏i=1sAiA=\prod_{i=1}^{s} A_{i}, то AL≃∏i=1s(Ai)LA_{L} \simeq \prod_{i=1}^{s}\left(A_{i}\right)_{L};

(г)

если K1,…,KsK_{1}, \ldots , K_{s} — множество компонент алгебры AA, то множество компонент алгебр ALA_{L} совпадает с объединением множеств компонент алгебр (K1)L,…,(Ks)L\left(K_{1}\right)_{L}, \ldots ,\left(K_{s}\right)_{L};

(д)

если FF — расширение поля LL, то (AL)F≅AF\left(A_{L}\right)_{F} \cong A_{F}.

Задача 67.23

Пусть AA — конечномерная KK-алгебра, LL — расширение поля K,BK, B — некоторая LL-алгебра. Доказать, что:

?
(а)

каждый KK-гомоморфизм A→BA \rightarrow B однозначно продолжается до LL-гомоморфизма AL→BLA_{L} \rightarrow B_{L};

(б)

множество KK-гомоморфизмов A→LA \rightarrow L находится в биективном соответствии со множеством компонент алгебры ALA_{L}, изоморфных LL;

(в)

число различных KK-гомоморфизмов A→LA \rightarrow L не превосходит (A:K)(A: K)( ср. с задачей 67.20, б) )

. .
Задача 67.24

Пусть FF и LL — расширения поля KK и FF конечное. Доказать, что существует расширение E/KE / K, для которого имеются вложения FF в EE и LL в EE, оставляющие на месте все элементы из KK.

?
Задача 67.25

Пусть AA — конечномерная KK-алгебра и A=K[a1,…,as]A=K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right]. Доказать, что следующие свойства расширения L/KL / K равносильны:

?
(а)

все компоненты ALA_{L} изоморфны LL;

(б)

LL — поле расщепления для минимального многочлена любого элемента a∈Aa \in A (расщепляющее поле KK-алгебры AA).

Задача 67.26

Доказать, что если LL — расщепляющее поле KK-алгебры AA и BB — подалгебра в AA, то любой KK-гомоморфизм B→LB \rightarrow L продолжается до KK-гомоморфизма A→LA \rightarrow L.

?
Задача 67.27

Расщепляющее поле LL для конечномерной KK-алгебры AA называется полем разложения для AA, если никакое его собственное подполе, содержащее KK, не является расщепляющим для AA. Доказать, что:

?
(а)

если A=K[a1,…,as]A=K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right], то LL — поле разложения для AA тогда и только тогда, когда LL — поле разложения для минимальных многочленов элементов a1,…,asa_{1}, \ldots , a_{s};

(б)

любые два поля разложения KK-алгебры AA изоморфны над KK;

(в)

для поля разложения KK-алгебры AA существует KK-вложение в любое расщепляющее поле для AA.

Задача 67.28

Пусть AA — конечномерная KK-алгебра, LL — поле расщепления для AA. Доказать, что число компонент LL-алгебры ALA_{L} одно и то же для всех расщепляющих полей алгебры AA (сепарабельная степень (A:K)s(A: K)_{s} алгебры AA).

?
Задача 67.29

Пусть AA - KK-алгебра и LL — расширение поля KK. Доказать, что:

?
(а)

число компонент алгебры ALA_{L} не превосходит (A:K)s(A: K)_{s};

(б)

число различных KK-гомоморфизмов A→LA \rightarrow L не превосходит (A:K)s(A: K)_{s} и равенство имеет место тогда и только тогда, когда LL расщепляющее поля для AA.

Задача 67.30

Доказать, что следующие свойства конечного расширения L/KL / K равносильны:

?
(а)

все компоненты алгебры LLL_{L} изоморфны LL;

(б)

LL имеет (L:K)(L: K) KK-автоморфизмов;

(в)

для любых KK-вложений φi:L→L′(i=1,2)\varphi_{i}: L \rightarrow L^{\prime }(i=1,2) поля LL в любое расширение L′/KL^{\prime } / K имеем φ1(L)=φ2(L)\varphi_{1}(L)=\varphi_{2}(L);

(г)

всякий неприводимый многочлен из K[x]K[x], имеющий корень в LL, разлагается над LL в произведение линейных множителей;

(д)

LL — поле разложения некоторого многочлена из K[x]K[x]. (Расширение L/KL / K, удовлетворяющее этим условиям, называется нормальныл.)

Задача 67.31

Пусть K⊂L⊂FK \subset L \subset F — башня конечных расширений поля KK.

Доказать, что:

?
(а)

если расширение F/KF / K нормальное, то расширение F/LF / L также нормальное;

(б)

если расширения L/KL / K и F/LF / L нормальные, то расширение F/KF / K не обязательно нормальное;

(в)

всякое расширение степени 2 нормально.

Задача 67.32

Пусть AA — конечномерная KK-алгебра и a∈Aa \in A. Характеристический многочлен, определитель и след линейного оператора t↦att \mapsto a t на AA обозначаются соответственно через

χA/K(a,x),NA/K(a),tr⁡A/K(a) \chi _{A / K}(a, x), \quad N_{A / K}(a), \quad \operatorname {tr}_{A / K}(a)

и называются соответственно характеристическим многочленом, нормой и следом элемента aa алгебры AA над KK.

Доказать, что если K⊂L⊂FK \subset L \subset F — башня конечных расширений полей и a∈Fa \in F, то:

?
(а)

χF/K(a,x)=NL(x)/K(x)(χF/L(a,x)),\chi_{F / K}(a, x)=N_{L(x) / K(x)}\left(\chi_{F / L}(a, x)\right), \quad где χF/L(a,x)\chi_{F / L}(a, x) рассматривается как элемент поля рациональных функций K(x)K(x);

(б)

NF/K(a)=NL/K(NF/L(a))N_{F / K}(a)=N_{L / K}\left(N_{F / L}(a)\right);

(в)

tr⁡F/K(a)=tr⁡L/K(tr⁡F/L(a))\operatorname {tr}_{F / K}(a)=\operatorname {tr}_{L / K}\left(\operatorname {tr}_{F / L}(a)\right).

Задача 67.33

Пусть L/KL / K — конечное расширение и a∈La \in L.

Доказать, что:

?
(а)

минимальный многочлен элемента aa равен ±χK(a)/K(a,x)\pm \chi_{K(a) / K}(a, x);

(б)

χL/K(a,x)\chi_{L / K}(a, x) является (с точностью до знака) степенью минимального многочлена элемента aa.

Задача 67.34

Пусть L/KL / K — конечное расширение. Доказать, что KK-билинейная форма на LL

(x,y)↦tr⁡L/K(xy) (x, y) \mapsto \operatorname {tr}_{L / K}(x y)

либо невырожденная, либо tr⁡L/K(x)=0\operatorname {tr}_{L / K}(x)=0 для всех x∈Lx \in L.

?
Задача 67.35

Доказать, что следующие свойства конечномерной KK-алгебры AA равносильны:

?
(а)

для всякого расширения L/KL / K алгебра ALA_{L} редуцированная (задача 67.18);

(б)

(A:K)s=(A:K)(A: K)_{s}=(A: K)( задача 67.28)

;

(в)

для некоторого расширения L/KL / K существует (A:K)(A: K) гомоморфизмов KK-алгебр A→LA \rightarrow L;

(г)

билинейная форма (x,y)↦tr⁡A/K(xy)(x, y) \mapsto \operatorname {tr}_{A / K}(x y) на AA невырождена. (Алгебра AA, удовлетворяющая этим условиям, называется cenapaбельной.)

Задача 67.36

Пусть LL — расширение поля KK. Доказать, что конечномерная KK-алгебра AA сепарабельна тогда и только тогда, когда сепарабельна LL-алгебра ALA_{L}.

?
Задача 67.37

Доказать, что всякая подалгебра и всякая факторалгебра сепарабельной KK-алгебры являются сепарабельными KK-алгебрами.

?
Задача 67.38

Пусть AA — сепарабельная KK-алгебра, (A:K)=n,φ1,…,φn(A: K)=n, \varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n} — различные KK-гомоморфизмы алгебры AA в некоторое её расщепляющее поле LL. Доказать, что для всякого элемента a∈Aa \in A

tr⁡A/K(a)=∑i=1nφi(a),NA/K(a)=∏i=1nφi(a),χA/K(a,x)=∏i=1n(φi(a)−x). \begin{gathered} \operatorname {tr}_{A / K}(a)=\sum _{i=1}^{n} \varphi _{i}(a), \quad N_{A / K}(a)=\prod _{i=1}^{n} \varphi _{i}(a), \\ \chi _{A / K}(a, x)=\prod _{i=1}^{n}\left(\varphi _{i}(a)-x\right). \end{gathered}
?
Задача 67.39

Конечное расширение L/KL / K называется сепарабельныл, если LL — сепарабельная KK-алгебра.

?
(а)

Доказать, что сепарабельное расширение полей является простым.

(б)

Являются ли числа

a=−12+i22,b=2+i a=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad b=\sqrt{2}+i

примитивными элементами расширения Q(2,i)/Q\mathbb {Q}(\sqrt{2}, i) / \mathbb {Q}?

Задача 67.40

Доказать, что конечномерная KK-алгебра сепарабельна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением сепарабельных расширений поля KK.

?
Задача 67.41

Пусть K=K0⊂K1⊂…⊂Ks=LK=K_{0} \subset K_{1} \subset \ldots \subset K_{s}=L — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение L/KL / K сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение Ki/Ki−1(i=1,…,s)K_{i} / K_{i-1}(i=1, \ldots , s) сепарабельно.

?
Задача 67.42

Пусть KK — поле. Многочлен f(x)∈K[x]f(x) \in K[x] называется cenaрабельным, если ни в каком расширении поля KK он не имеет кратных корней.

Доказать, что:

?
(а)

если KK имеет характеристику 0, то всякий неприводимый многочлен из K[x]K[x] сепарабелен;

(б)

если KK имеет характеристику p≠0p \neq 0, то всякий неприводимый многочлен f(x)∈K[x]f(x) \in K[x] сепарабелен тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде g(xp)g\left(x^{p}\right), где g(x)∈K[x]g(x) \in K[x].

Привести пример несепарабельного неприводимого многочлена над каким-либо полем.

Задача 67.43

Пусть AA — конечномерная KK-алгебра. Элемент a∈Aa \in A называется сепарабельным над полем KK, если K[a]K[a] — сепарабельная KK-алгебра. Доказать, что элемент сепарабелен тогда и только тогда, когда сепарабелен его минимальный многочлен.

?
Задача 67.44

Пусть K⊂L⊂FK \subset L \subset F — башня конечных расширений полей.

Доказать, что:

?
(а)

если элемент a∈Fa \in F сепарабелен над KK, то aa сепарабелен над LL;

(б)

утверждение, обратное к а), верно, если расширение L/KL / K сепарабельно.

Задача 67.45

Пусть AA — сепарабельная KK-алгебра, f(x)∈K[x]f(x) \in K[x] — сепарабельный многочлен.

Доказать, что алгебра B=A[x]/⟨f(x)⟩B=A[x] /\langle f(x)\rangle сепарабельна.

?
Задача 67.46

Пусть A=K[a1,…,as]A=K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right] — конечномерная KK-алгебра. Доказать, что следующие условия утверждения равносильны:

?
(а)

AA — сепарабельная KK-алгебра;

(б)

всякий элемент a∈Aa \in A сепарабелен;

(в)

элементы a1,…,asa_{1}, \ldots , a_{s} сепарабельны.

Задача 67.47

Доказать, что:

?
(а)

конечное расширение K/FK / F поля FF сепарабельно тогда и только тогда, когда либо KK имеет характеристику 0, либо характеристика KK равна p>0p>0 и Kp=KK^{p}=K;

(б)

всякое конечное расширение конечного поля сепарабельно.

Задача 67.48

Конечное расширение полей L/KL / K характеристики p>0p>0 называется чисто несепарабельныл, если в L\KL \backslash K нет сепарабельных элементов над KK. Доказать, что L/KL / K является чисто несепарабельным расширение тогда и только тогда, когда Lpk⊆KL^{p^{k}} \subseteq K для некоторого k⩾1k \geqslant 1.

?
Задача 67.49

Пусть K⊂K0⊂K1…⊂Ks=LK \subset K_{0} \subset K_{1} \ldots \subset K_{s}=L — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение L/KL / K чисто несепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение Ki/Ki−1(i=1,…,s)K_{i} / K_{i-1}(i=1, \ldots , s) чисто несепарабельно.

?
Задача 67.50

Доказать, что степень чисто несепарабельного расширения поля характеристики p>0p>0 является степенью числа pp, а его сепарабельная степень равна 1.

?
Задача 67.51

Пусть L/KL / K — конечное расширение полей.

Доказать, что:

?
(а)

множество KsK_{s} всех сепарабельных над KK элементов из LL является полем, сепарабельным над KK;

(б)

L/KsL / K_{s} — чисто несепарабельное расширение;

(в)

(Ks:K)=(L:K)s\left(K_{s}: K\right)=(L: K)_{s};

(г)

(L:K)=(L:K)s⋅(L:K)i(L: K)=(L: K)_{s} \cdot (L: K)_{i}, где (L:K)i=(L:Ks)(L: K)_{i}=\left(L: K_{s}\right) несепарабельная степень расширения L/KL / K.

Задача 67.52

Пусть K⊂L⊂FK \subset L \subset F — башня конечных расширений полей. Доказать, что:

?
(а)

(F:K)s=(F:L)s⋅(L:K)s(F: K)_{s}=(F: L)_{s} \cdot (L: K)_{s};

(б)

(F:K)i=(F:L)i⋅(L:K)i(F: K)_{i}=(F: L)_{i} \cdot (L: K)_{i}.

Задача 67.53

Пусть L/KL / K — конечное расширение полей, n=(L:K)sn=(L: K)_{s} и φ1,…,φn\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n} — множество всех KK-вложений поля LL в какое-либо расщепляющее поле расширения L/KL / K.

Доказать, что при любом a∈La \in L :

?
(а)

tr⁡L/K(a)=(L:K)i∑j=1nφj(a)\operatorname {tr}_{L / K}(a)=(L: K)_{i} \sum_{j=1}^{n} \varphi_{j}(a);

(б)

NL/K(a)=(∏j=1nφj(a))(L:K)iN_{L / K}(a)=\left(\prod_{j=1}^{n} \varphi_{j}(a)\right)^{(L: K)_{i}};

(в)

χL/K(a,x)=(∏j=1n(φj(a)−x))(L:K)i\chi_{L / K}(a, x)=\left(\prod_{j=1}^{n}\left(\varphi_{j}(a)-x\right)\right)^{(L: K)_{i}}.

Задача 67.54

Нормальное конечное сепарабельное расширение полей L/KL / K называется расширением Галуа, а группа KK-автоморфизмов такого расширения называется его группой Галуа и обозначается через G(L/K)G(L / K).

Доказать, что:

?
(а)

G(L/K)G(L / K) транзитивно действует на множестве корней из поля LL минимального многочлена любого элемента поля LL;

(б)

порядок группы G(L/K)G(L / K) равен степени расширения L/KL / K.

Задача 67.55

Найти группу Галуа расширения:

?
(а)

C/R;\mathbb {C} / \mathbb {R} ; \quad

(б)

Q(2)/Q\mathbb {Q}(\sqrt{2}) / \mathbb {Q};

(в)

L/KL / K, где (L:K)=2(L: K)=2;

(г)

Q(2+3)/Q\mathbb {Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) / \mathbb {Q}.

Задача 67.56

Группой Галуа над полем KK сепарабельного многочлена f(x)∈K[x]f(x) \in K[x] называется группа Галуа поля разложения этого многочлена над KK (как некоторая группа перестановок на множестве корней f(x))f(x)). Найти группы Галуа над полем Q\mathbb {Q} многочленов:

?
(а)

ax+b(a,b∈Q,a≠0)a x+b \quad (a, b \in \mathbb {Q}, \quad a \neq 0);

(б)

x2−2x^{2}-2;

(в)

x3−1x^{3}-1;

(г)

x3−2x^{3}-2;

(д)

x4−2x^{4}-2;

(е)

xp−1(p−x^{p}-1 \quad (p- простое число);

(ж)

xn−1(n∈N)x^{n}-1 \quad (n \in \mathbb {N});

(з)

xp−a(a∈Qx^{p}-a \quad (a \in \mathbb {Q} и не является pp-й степенью в Q,p\mathbb {Q}, p — простое число);

(и)

(x2−a1)…(x2−an)(a1,…,an\left(x^{2}-a_{1}\right) \ldots \left(x^{2}-a_{n}\right) \quad (a_{1}, \ldots , a_{n} принадлежит Q∗\mathbb {Q}^{*} и все различны).

Задача 67.57

Пусть GG — конечная группа автоморфизмов поля LL и K=LGK=L^{G} — поле неподвижных элементов. Доказать, что L/KL / K — расширение Галуа и G(L/K)=GG(L / K)=G.

?
Задача 67.58

Доказать, что если элементы a1,…,ana_{1}, \ldots , a_{n} алгебраически независимы над полем KK, то группа Галуа многочлена

xn+a1xn−1+…+an x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n}

над полем рациональных функций K(a1,…,an)K\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right) есть Sn\mathbf{S}_{n}.

?
Задача 67.59

Доказать, что всякая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения полей.

?
Задача 67.60

Пусть L/KL / K — расширение Галуа и GG — его группа Галуа. Доказать, что сопоставление всякой подгруппе H⊂GH \subset G подполя LHL^{H} неподвижных элементов определяет биективное соответствие между всеми подгруппами группы GG и всеми промежуточными подполями расширения L/KL / K, при котором промежуточное подполе FF соответствует подгруппе H=G(L/F)H=G(L / F); при этом расширение F/KF / K нормально тогда и только тогда, когда подгруппа HH нормальна в GG, и в этом случае каноническое отображение G→G(F/K)G \rightarrow G(F / K) определяет изоморфизм G(F/K)≃G/HG(F / K) \simeq G / H.

?
Задача 67.61

Используя основную теорему теории Галуа и существование вещественного корня у всякого многочлена нечётной степени с вещественными коэффициентами, доказать алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел.

?
Задача 67.62

Доказать, что группа Галуа всякого конечного расширения L/FpL / \mathbb {F}_{p} циклическая и порождается автоморфизмом x↦xp(x∈L)x \mapsto x^{p}(x \in L).

?
Задача 67.63

Доказать, что группа Галуа над полем KK сепарабельного многочлена f(x)∈K[x]f(x) \in K[x], рассматриваемая как подгруппа в Sn\mathbf{S}_{n}, содержится в группе чётных перестановок тогда и только тогда, когда дискриминант

D=∏i>j(xi−xj)2 D=\prod _{i>j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}

многочлена f(x)f(x), где x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n} — корни f(x)f(x) в его поле разложения, является квадратом в поле KK.

?
Задача 67.64

Пусть L/KL / K — расширение Галуа с циклической группой Галуа ⟨φ⟩n\langle \varphi \rangle_{n}. Доказать, что существует такой элемент a∈La \in L, что элементы a,φ(a),…,φn−1(a)a, \varphi (a), \ldots , \varphi^{n-1}(a) образуют базис LL над KK.

?
Задача 67.65

Пусть L/KL / K — сепарабельное расширение степени nn и φ1,…,φn\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n} — различные KK-вложения LL в некоторое расщепляющее для LL поле. Доказать, что элемент a∈La \in L является примитивным элементом в L/KL / K тогда и только тогда, когда образы φ1(a),…,φn(a)\varphi_{1}(a), \ldots , \varphi_{n}(a) различны.

?
Задача 67.66

Найти группу автоморфизмов KK-алгебры, являющейся прямым произведением nn полей, изоморфных KK.

?
Задача 67.67

Пусть L/KL / K — расширение Галуа с группой Галуа G,L=∏LσG, L=\prod L_{\sigma }, где LσL_{\sigma } — компонента алгебры LLL_{L}, проекция на которую индуцирует на LL автоморфизм σ\sigma, и eσe_{\sigma } — единица компоненты LσL_{\sigma }. Доказать, что для продолжений автоморфизмов из GG до LL-автоморфизмов алгебры LLL_{L} справедливы равенства

τ(eσ)=eστ−1,σ,τ∈G \tau \left(e_{\sigma }\right)=e_{\sigma \tau ^{-1}}, \quad \sigma , \tau \in G
?
Задача 67.68

Пусть LL — расщепляющее поле для сепарабельной KK-алгебры AA и φ1,…,φn\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n} — множество всех KK-гомоморфизмов A→LA \rightarrow L. Доказать, что элементы y1,…,yn∈Ay_{1}, \ldots , y_{n} \in A образуют базис AA над KK тогда и только тогда, когда det⁡(φi(yj))≠0\operatorname {det}\left(\varphi_{i}\left(y_{j}\right)\right) \neq 0.

?
Задача 67.69

Доказать, что в расширении Галуа L/KL / K с группой Галуа GG существует такой элемент a∈La \in L, что множество {σ(a)∣σ∈G}\left\{ \sigma (a) \mid \sigma \in G\right\} является базисом поля LL над KK.

?
Задача 67.70

Найти поле инвариантов K(x1,…,xn)AnK\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)^{A_{n}} для группы An\mathbf{A}_{n}, действующей на поле рациональных функций посредством перестановок переменных.

?
Задача 67.71

Пусть ε\varepsilon — первообразный комплексный корень степени nn из 1 и группа G=⟨σ⟩nG=\langle \sigma \rangle_{n} действует на поле C(x1,…,xn)\mathbb {C}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) по правилу

σ(x1)=εixi(i=1,…,n) \sigma \left(x_{1}\right)=\varepsilon ^{i} x_{i} \quad (i=1, \ldots , n)

Найти поле инвариантов C(x1,…,xn)G\mathbb {C}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)^{G}.

?
Задача 67.72

Найти поле инвариантов для группы GG, действующей на поле C(x1,…,xn)\mathbb {C}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) посредством циклической перестановки переменных.

?
Задача 67.73

Пусть поле KK содержит все корни степени nn из 1 и элемент a∈Ka \in K не является степенью с показателем d>1d>1 ни для какого делителя dd числа nn. Найти группу Галуа над KK многочлена xn−ax^{n}-a.

?
Задача 67.74

Пусть поле KK содержит все корни степени nn из 1 и L/K−L / K- расширение Галуа с циклической группой Галуа порядка nn. Доказать, что L=K(an)L=K(\sqrt[n]{a}) для некоторого элемента a∈Ka \in K.

?
Задача 67.75

Пусть поле KK содержит все корни степени nn из 1. Доказать, что конечное расширение L/KL / K является расширением Галуа с абелевой группой Галуа периода nn тогда и только тогда, когда

L=K(θ1,…,θs) L=K\left(\theta _{1}, \ldots , \theta _{s}\right)

где

θin=ai∈K(i=1,…,s) \theta _{i}^{n}=a_{i} \in K \quad (i=1, \ldots , s)

(т.е. LL является полем разложения над KK многочлена ∏i=1s(xin−ai)s\prod_{i=1}^{s}\left(x_{i}^{n}-a_{i}\right)^{s}).

?
Задача 67.76

Пусть поле KK содержит все корни степени nn из 1 и L=K(θ1,…,θs)L=K\left(\theta_{1}, \ldots , \theta_{s}\right), где

θin=ai∈K∗(i=1,…,s). \theta _{i}^{n}=a_{i} \in K^{*} \quad (i=1, \ldots , s).

Доказать, что

G(L/K)≃⟨(K∗)n,a1,…,as⟩/(K∗)n G(L / K) \simeq \left\langle \left(K^{*}\right)^{n}, a_{1}, \ldots , a_{s}\right\rangle /\left(K^{*}\right)^{n}
?
Задача 67.77

Пусть поле KK содержит все корни степени nn из 1. Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до KK-изоморфизма) расширений Галуа с абелевой группой Галуа периода nn и множеством всех конечных подгрупп группы K∗/(K∗)nK^{*} /\left(K^{*}\right)^{n}.

?
Задача 67.78

Доказать, что всякое расширение Галуа L/KL / K степени pp поля KK характеристики p>0p>0 имеет вид L=K(θ)L=K(\theta ), где θ\theta — корень многочлена xp−x−a(a∈K)x^{p}-x-a(a \in K), и, обратно, всякое такое расширение является расширением Галуа степени 1 или pp.

?
Задача 67.79

Пусть KK — поле характеристики p>0p>0. Доказать, что конечное расширение L/KL / K является расширением Галуа периода pp тогда и только тогда, когда L=K(θ1,…,θs)L=K\left(\theta_{1}, \ldots , \theta_{s}\right), где θi\theta_{i} — корень многочлена xp−x−ai(ai∈K;i=1,…,s)x^{p}-x-a_{i}\left(a_{i} \in K ; i=1, \ldots , s\right).

?
Задача 67.80

Пусть KK — поле характеристики p>0p>0 и L=K(θ1,…,θs)L=K\left(\theta_{1}, \ldots , \theta_{s}\right), где θi\theta_{i} — корень многочлена xp−x−ai(ai∈K,i=1,…,s)x^{p}-x-a_{i}\left(a_{i} \in K, i=1, \ldots , s\right). Доказать, что

G(L/K)≃⟨ρ(K),a1,…,as⟩/K G(L / K) \simeq \left\langle \rho (K), a_{1}, \ldots , a_{s}\right\rangle / K

где ρ:K→K\rho : K \rightarrow K — аддитивный гомоморфизм x↦xp−xx \mapsto x^{p}-x.

?
Задача 67.81

Пусть KK — поле характеристики p>0p>0. Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до KK-изоморфизма) расширений Галуа L/KL / K с абелевой группой Галуа периода pp и множеством всех конечных подгрупп группы K/ρ(K)K / \rho (K).

?
§
68 · Конечные поля[16/94%]
Задача 68.1

Доказать, что всякое конечное расширение конечного поля является простым.

?
Задача 68.2

Доказать, что:

?
(а)

конечное расширение конечного поля нормально;

(б)

любые два конечных расширения конечного поля FF одной степени FF-изоморфны.

Задача 68.3

Доказать, что:

?
(а)

для любого числа qq, являющегося степенью простого числа, существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из qq элементов;

(б)

вложение поля Fq\mathbb {F}_{q} в поле Fq′\mathbb {F}_{q^{\prime }} существует тогда и только тогда, когда q′q^{\prime } есть степень qq;

(в)

если KK и LL — конечные расширения конечного поля FF, то FF-вложение поля KK в LL существует тогда и только тогда, когда (K:L)∣(L:F);(K: L) \mid (L: F) ;

(г)

если многочлен f(x)f(x) над конечным полем FF разлагается в произведение неприводимых множителей степеней n1,…,nsn_{1}, \ldots , n_{s}, то степень поля разложения многочлена f(x)f(x) над FF равна наименьшему общему кратному чисел n1,…,nsn_{1}, \ldots , n_{s}.

Задача 68.4

Пусть FF — конечное поле из нечётного числа qq элементов. Элемент a∈F∗a \in F^{*} называется квадратичным вычетом в FF, если двучлен x2−ax^{2}-a имеет корень в FF.

Доказать, что:

?
(а)

число квадратичных вычетов равно (q−1)/2(q-1) / 2;

(б)

а является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда a(q−1)/2=1a^{(q-1) / 2}=1, и не является квадратичным вычетом при a(q−1)/2=−1a^{(q-1) / 2}=-1.

Задача 68.5

Разложить на неприводимые множители:

?
(а)

x5+x3+x2+1x^{5}+x^{3}+x^{2}+1 \quad в F2[x]\quad \mathbb {F}_{2}[x];

(б)

x3+2x2+4x+1x^{3}+2 x^{2}+4 x+1 \quad в F5[x]\quad \mathbb {F}_{5}[x];

(в)

x4+x3+x+2x^{4}+x^{3}+x+2 в F3[x]\mathbb {F}_{3}[x];

(г)

x45+3x3+2x2+x+4x 45+3 x^{3}+2 x^{2}+x+4 в F5[x]\mathbb {F}_{5}[x].

Задача 68.6

Для элемента a∈F∗a \in F^{*} положим (aF)\left(\frac{a}{F}\right) равным 1, если aa квадратичный вычет в FF, и -1 в противном случае.

Доказать, что:

?
(а)

отображение F∗→{−1,1}F^{*} \rightarrow \left\{ -1,1\right\}, при котором a↦(aF)a \mapsto \left(\frac{a}{F}\right), является гомоморфизмом групп;

(б)

(aF)=sgn⁡σa\left(\frac{a}{F}\right)=\operatorname {sgn} \sigma_{a}, где σa:x↦ax\sigma_{a}: x \mapsto a x — перестановка на множестве элементов поля FF.

Задача 68.7

Пусть aa и bb — взаимно простые числа и σ:x→ax\sigma : x \rightarrow a x — перестановка на множестве классов вычетов по модулю bb.

Доказать, что:

?
(а)

если bb чётно, то

sgn⁡σ={1 при b≡2( mod 4)(−1)(a−1)/2 при b≡0( mod 4) \operatorname {sgn} \sigma = \begin{cases} 1 \quad \text{ при } b \equiv 2 \quad (\bmod 4) \\ (-1)^{(a-1) / 2} \quad \text{ при } b \equiv 0 \quad (\bmod 4) \end{cases}
(б)

если bb нечётно, b=∏i=1spi(p1,…,psb=\prod_{i=1}^{s} p_{i}(p_{1}, \ldots , p_{s} — простые числа), то

sgn⁡σ=∏i=1s(npi) \operatorname {sgn} \sigma =\prod _{i=1}^{s}\left(\frac{n}{p_{i}}\right)

где (api)=(aZpi)\left(\frac{a}{p_{i}}\right)=\left(\frac{a}{\mathbf{Z}_{p_{i}}}\right) (символ Лежандра) (в этом случае sgn⁡σ\operatorname {sgn} \sigma обозначается через (ab)\left(\frac{a}{b}\right) и называется символом Якоби);

(в)

(ab1b2)=(ab1)(ab2),(a1a2b)=(a1b)(a2b);\left(\frac{a}{b_{1} b_{2}}\right)=\left(\frac{a}{b_{1}}\right)\left(\frac{a}{b_{2}}\right),\left(\frac{a_{1} a_{2}}{b}\right)=\left(\frac{a_{1}}{b}\right)\left(\frac{a_{2}}{b}\right) ;

(г)

(−1b)=(−1)(b−1)/2\left(\frac{-1}{b}\right)=(-1)^{(b-1) / 2}.

Задача 68.8

Пусть GG — аддитивно записанная конечная абелева группа нечётного порядка, σ\sigma — автоморфизм группы G,(σG)=sgn⁡σG,\left(\frac{\sigma }{G}\right)=\operatorname {sgn} \sigma, где σ\sigma рассматривается как перестановка на множестве GG. Доказать, что если GG представляется в виде объединения {0}∪S∪{−S}\left\{ 0\right\} \cup S \cup \left\{ -S\right\} непересекающихся подмножеств, то

(σG)=(−1)∣σ(S)∩(−S)∣ \left(\frac{\sigma }{G}\right)=(-1)^{\left|\sigma (S) \cap (-S)\right|}
?
Задача 68.9

Пусть σ\sigma — автоморфизм группы GG нечётного порядка, G1G_{1} — подгруппа в GG, инвариантная относительно σ,G2=G/G1\sigma , G_{2}=G / G_{1} и σ1,σ2\sigma_{1}, \sigma_{2} — автоморфизмы G1G_{1} и G2G_{2}, индуцированные σ\sigma. Доказать, что

(σG)=(σ1G1)(σ2G2), \left(\frac{\sigma }{G}\right)=\left(\frac{\sigma _{1}}{G_{1}}\right)\left(\frac{\sigma _{2}}{G_{2}}\right),

и получить отсюда утверждение задачи 68.7, б)).

?
Задача 68.10

Доказать, что если NN — количество чисел xx из промежутка 1⩽x⩽(b−1)/21 \leqslant x \leqslant (b-1) / 2, для которых ax≡r( mod b)a x \equiv r(\bmod b), −(b−1)/2⩽r⩽1-(b-1) / 2 \leqslant r \leqslant 1, то

(ab)=(−1)N \left(\frac{a}{b}\right)=(-1)^{N}
?
Задача 68.11

Доказать, что (2b)=(−1)(b2−1)/8\left(\frac{2}{b}\right)=(-1)^{\left(b^{2}-1\right) / 8}.

?
Задача 68.12

Доказать, что для любых взаимно простых нечётных чисел aa и bb

(ab)(ba)=(−1)(a−1)/2⋅(b−1)/2 \left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{a}\right)=(-1)^{(a-1) / 2 \cdot (b-1) / 2}
?
Задача 68.13

Пусть VV — конечномерное пространство над конечным полем FF нечётного порядка, A\mathcal{A} — невырожденный линейный оператор на VV. Доказать, что

(AV)=(det⁡AF). \left(\frac{\mathcal{A}}{V}\right)=\left(\frac{\operatorname {det} \mathcal{A}}{F}\right).
?
Задача 68.14

Пусть FF — конечное расширение поля Fq\mathbb {F}_{q} степени nn. Доказать, что в FF как векторном пространстве над Fq\mathbb {F}_{q} существует базис вида x,xq,…,xqm−1x, x^{q}, \ldots , x^{q^{m-1}} для некоторого x∈Fx \in F.

?
Задача 68.15

Доказать, что элементы x1,…,xn∈Fqnx_{1}, \ldots , x_{n} \in \mathbb {F}_{q^{n}} образуют базис над Fq\mathbb {F}_{q} тогда и только тогда, когда

det⁡[x1x2…xnx1qx2q…xnq……………x1qn−1x2qn−1…xnqn−1]≠0 \operatorname {det}\left[\begin{smallmatrix} x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ x_{1}^{q} & x_{2}^{q} & \ldots & x_{n}^{q} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{q^{n-1}} & x_{2}^{q^{n-1}} & \ldots & x_{n}^{q^{n-1}} \end{smallmatrix}\right] \neq 0
?
Задача 68.16

Пусть a∈Fqna \in \mathbb {F}_{q^{n}}. Элементы a,aq,…,aqn−1a, a^{q}, \ldots , a^{q^{n-1}} образуют базис Fqn\mathbb {F}_{q^{n}} как векторного пространства над Fq\mathbb {F}_{q} тогда и только тогда, когда в Fqn[x]\mathbb {F}_{q^{n}}[x] многочлены xn−1x^{n}-1 и

axn−1+aqxn−2+…+aqn−2x+aqn−1 a x^{n-1}+a^{q} x^{n-2}+\ldots +a^{q^{n-2}} x+a^{q^{n-1}}

взаимно просты.

?