Поля

Какие из колец в задачах 63.1-63.3 являются полями?

Какие из следующих множеств матриц образуют поле относительно обычных матричных операций:

Пусть $K$ — поле и $F$ — поле дробей алгебры формальных степенных рядов $K[[x]]$. Доказать, что каждый элемент из $F$ представляется в виде $x^{-s} h$, где $s \geqslant 0$ и $h \in K[[x]]$.

Доказать, что порядок единицы поля в его аддитивной группе либо бесконечен, либо является простым числом.

Для каких чисел $n=2,3,4,5,6,7$ существует поле из $n$ элементов?

Доказать, что поле из $p^{2}$ элементов, где $p$ — простое число, имеет единственное собственное подполе.

Доказать, что поля $\mathbb {Q}$ и $\mathbb {R}$ не имеют автоморфизмов, отличных от тождественного.

Найти все автоморфизмы поля $\mathbb {C}$, при которых каждое вещественное число переходит в себя.

Имеет ли поле $\mathbb {Q}(\sqrt{2})$ автоморфизмы, отличные от тождественного?

Доказать, что в поле $F$ характеристики $p$ :

Доказать, что если комплексное число $z$ не является вещественным, то кольцо $\mathbb {R}^{z}$ совпадает с полем $\mathbb {C}$.

При каких $m, n \in \mathbb {Z} \backslash \left\{ 0\right\}$ поля $\mathbb {Q}(\sqrt{m})$ и $\mathbb {Q}(\sqrt{n})$ изоморфны?

Доказать, что для любого автоморфизма $\varphi$ поля $K$ множество элементов, неподвижных относительно $\varphi$, является подполем.

Доказать, что любые два поля из четырёх элементов изоморфны.

Существует ли поле, строго содержащее поле комплексных чисел?

Доказать, что любое конечное поле имеет положительную характеристику.

Существует ли бесконечное поле положительной характеристики?

Решить в поле $\mathbb {Q}(\sqrt{2})$ уравнения:

Решить систему уравнений

Решить систему уравнений

в поле вычетов по модулю 5 и по модулю 7.

Найти такой многочлен $f(x)$ степени не выше 3 с коэффициентами из $\mathbf{Z}_{5}$, что

Найти все многочлены $f(x)$ с коэффициентами из $\mathbf{Z}_{5}$, что

Какие из уравнений:

В поле вычетов по модулю 11 решить уравнения:

Доказать, что в поле из $n$ элементов выполняется тождество $x^{n}=x$.

В поле $\mathbf{Z}_{p}$ решить уравнение $x^{p}=a$.

Доказать, что если $x^{n}=x$ для всех элементов $x$ поля $K$, то $K$ конечно, и его характеристика делит $n$.

Найти все порождающие элементы в мультипликативной группе поля:

Пусть $a, b$ элементы поля порядка $2^{n}$, где $n$ нечётно. Доказать, что если $a^{2}+a b+b^{2}=0$, то $a=b=0$.

Пусть $F$ — поле, причём группа $F^{*}$ циклическая. Доказать, что $F$ конечно.

В поле рациональных функций с вещественными коэффициентами решить уравнения:

Доказать, что в поле $\mathbf{Z}_{p}$ выполняются равенства:

Пусть $n \geqslant 2$ и $\zeta_{1}, \ldots , \zeta_{m}$ — все корни $n$-й степени из 1 в поле $K$. Доказать, что:

Пусть $m_{k} m_{k-1} \ldots m_{0}$ и $n_{k} n_{k-1} \ldots n_{0}$ — записи натуральных чисел $m$ и $n$ в системе счисления с основанием $s$, где $s$ — простое число.

Доказать, что:

Нормированием поля $K$ называется функция $\left\| x\right\| , x \in K$, принимающая вещественные неотрицательные значения, причём: $\left\| x\right\| =0$ тогда и только тогда, когда $x=0$; $\left\| x y\right\| =\left\| x\right\| \left\| y\right\|$; $\left\| x+y\right\| \leqslant \left\| x\right\| +\left\| y\right\|$. Доказать, что следующие функции в $\mathbb {Q}$ являются нормированиями:

Пусть $\left\| x\right\|$ — нормирование $\mathbb {Q}$, причём существует такое $y$, что $\left\| y\right\| \neq 0,1$. Тогда $\left\| x\right\|$ имеет либо вид б), либо вид в) из задачи 66.35.

Пусть $K$ — поле и $K(x)$ — поле рациональных функций от одной переменной $x$. Доказать, что следующие функции в $K(x)$ являются нормированиями:

Доказать, что:

Последовательность $x_{n}, n \geqslant 1$, элементов из $\mathbb {Q}_{p}$ сходится относительно метрики $\left\| f\right\|$ из задачи 66.37, в) тогда и только тогда, когда

При каких $t \in \mathbb {Q}_{p}$ сходятся ряды:

Пусть $a \in \mathbb {Q}_{p}$ и $x_{n}=a^{p^{n}}$. Сушествует ли $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$?

Пусть $f(x) \in \mathbb {Z}_{p}[x], a_{0} \in \mathbb {Z}_{p}$, причём $\left\| f\left(a_{0}\right) / f^{\prime }\left(a_{0}\right)^{2}\right\|_{p}<1$. Положим

Доказать, что существует $a=\lim a_{n}$, причём $f(a)=0$ и $\left\| a-a_{0}\right\|_{p}<1$.

Доказать, что любой автоморфизм в $\mathbb {Q}_{p}$ тождествен.

Пусть $f(x) \in \mathbb {Z}_{p}[x]$ имеет степень $n$ и старший коэффициент $f(x)$ равен 1. Пусть образ $\overline{f(x)}$ многочлена $f(x)$ в $\mathbb {Z} / p \mathbb {Z}^{x}$ разложим, $\bar{f}(x)=g(x) h(x)$, где $g(x), h(x)$ взаимно просты, имеют старший коэффициент 1, причём

Тогда $f(x)=u(x) v(x)$, где $\operatorname {deg} u(x)=r, \operatorname {deg} h(x)=n-r$, старшие коэффициенты $u(x), v(x)$ равны 1, причём образы $u(x), v(x)$ в $\mathbb {Z} / p \mathbb {Z}^{x}$ равны соответственно $g(x)$ и $h(x)$.

Пусть $f(x) \in \mathbb {Z}_{p}[x]$ и $a \in \mathbf{Z}_{p}$, причём в $\mathbf{Z}_{p}$

Тогда существует такой элемент $b \in \mathbb {Z}_{p}$, что $f(b)=0$ и образ $b$ в $\mathbf{Z}_{p}$ равен $a$.

Пусть $m$ — натуральное число, не делящееся на $p, a \in 1+p \mathbf{Z}_{p}$. Тогда существует такое $b \in \mathbb {Z}_{p}$, что $b^{m}=a$.

Пусть поля $\mathbb {Q}_{p}$ и $\mathbb {Q}_{p^{\prime }}$ изоморфны. Доказать, что $p=p^{\prime }$.

Кольцо $\mathbb {Z}_{p}$ компактно в $\mathbb {Q}_{p}$ относительно $p$-адической топологии.