Банк задач по математике

Задача 67.1

Пусть $A$ — алгебра над полем $K$ и

K=K_{0} \subset K_{1} \subset K_{1} \subset \ldots \subset K_{s}

башня подполей в $A$ .

Доказать, что

(A: K)=\left(A: K_{s}\right)\left(K_{s}: K_{s-1}\right) \ldots \left(K_{1}: K_{0}\right)

?

Задача 67.2

(а)(б)(в)(г)

Пусть $A$ — алгебра над полем $K$ и $a \in A$ .

Доказать, что:

?

(а)

если элемент $a$ не является алгебраическим над $K$ , то подалгебра $K[a]$ изоморфна кольцу многочленов $K[x]$ ;

(б)

если $a$ — алгебраический элемент над $K$ , то

K[a] \simeq K[x] /\left\langle \mu _{a}(x)\right\rangle ,

где $\mu_{a}(x)$ — некоторый однозначно определенный унитарный многочлен (минимальный многочлен элемента $a$ ) над $K$ ;

(в)

если $A$ — поле, то для всякого алгебраического над $K$ элемента $a \in A$ многочлен $\mu_{a}(x)$ неприводим в $K[x]$ ;

(г)

если все элементы из $A$ алгебраичны над $K$ и для всякого $a \in A$ многочлен $\mu_{a}(x)$ неприводим, то $A$ — поле.

Задача 67.3

Найти минимальные многочлены для элементов:

?

(а)

$\sqrt{2}$ над $\mathbb {Q}$ ;

(б)

$\sqrt[7]{5}$ над $\mathbb {Q}$ ;

(в)

$\sqrt[105]{9}$ над $\mathbb {Q}$ ;

(г)

$2-3 i$ над $\mathbb {R}$ ;

(д)

$2-3 i$ над $\mathbb {C}$ ;

(е)

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ над $\mathbb {Q}$ ;

(ж)

$1+\sqrt{2}$ над $\mathbb {Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ .

Задача 67.4

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

если $A$ — конечномерная алгебра над $K$ , то всякий элемент из $A$ алгебраичен над $K$ ;

(б)

если $a_{1}, \ldots , a_{s} \in A$ — алгебраические элементы над $K$ , то подалгебра $K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right]$ конечномерна над $K$ .

Задача 67.5

Доказать, что если $A$ — поле и $a_{1}, \ldots , a_{s} \in A$ — алгебраические элементы над $K$ , то расширение $K\left(a_{1}, \ldots , a_{s}\right)$ совпадает с алгеброй $K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right]$ .

?

Задача 67.6

Доказать, что множество всех элементов $K$ -алгебры $A$ , алгебраических над $K$ , является подалгеброй в $A$ , а если $A$ — поле, то подполем.

?

Задача 67.7

Доказать, что если в башне полей

K=K_{0} \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \ldots \subset K_{s}=L

каждый этаж $K_{i-1} \subset K_{i}(i=1, \ldots , s)$ является алгебраическим расширением, то $L / K$ — алгебраическое расширение.

?

Задача 67.8

Доказать, что всякий многочлен с коэффициентами из поля $K$ имеет корень в некотором расширении $L / K$ .

?

Задача 67.9

(а)(б)

Пусть $K$ — поле. Доказать, что:

?

(а)

для произвольного многочлена из $K[x]$ существует поле разложения этого многочлена над $K$ ;

(б)

для любого конечного множества многочленов из $K[x]$ существует поле разложения над $K$ .

Задача 67.10

Пусть $K$ — поле, $g(x) \in K[x], h(x) \in K[x], f(x)=g(h(x))$ , и $\alpha$ — корень многочлена $g(x)$ в некотором расширении $L / K$ . Доказать, что многочлен $f$ неприводим над $K$ тогда и только тогда, когда $g(x)$ неприводим над $K$ и $h(x)-\alpha$ неприводим над $K[\alpha ]$ .

?

Задача 67.11

(а)(б)(в)

Пусть $K$ — поле, $a \in K$ . Доказать, что:

?

(а)

если $p$ — простое число, то многочлен $x^{p}-a$ либо неприводим, либо имеет корень в $K$ ;

(б)

если многочлен $x^{n}-1$ разлагается в $K[x]$ на линейные множители, то многочлен $x^{n}-a \in K[x]$ либо неприводим, либо для некоторого делителя $d \neq 1$ числа $n$ многочлен $x^{d}-a$ имеет корень в $K$ ;

(в)

предположение о разложимости $x^{n}-1$ на линейные множители существенно для справедливости утверждения б).

Задача 67.12

Доказать, что над полем $K$ характеристики $p \neq 0$ многочлен $f(x)=x^{p}-x-a$ либо неприводим, либо разлагается в произведение линейных множителей, и указать это разложение, если $f(x)$ имеет корень $x_{0}$ .

?

Задача 67.13

Найти степень поля разложения над $\mathbb {Q}$ для многочленов:

?

(а)

$a x+b \quad (a, b \in \mathbb {Q}, \quad a \neq 0)$ ;

(б)

$x^{2}-2 ; \quad$

(в)

$x^{3}-1 ; \quad$

(г)

$x^{3}-2 ; \quad$

(д)

$x^{4}-2$ ;

(е)

$x^{p}-1 \quad (p-$ простое число);

(ж)

$x^{n}-1 \quad (n \in \mathbb {N})$ ;

(з)

$x^{p}-a \quad (a \in \mathbb {Q}$ и не является $p$ -й степенью в $\mathbb {Q}, p$ — простое число);

(и)

$\left(x^{2}-a_{1}\right) \ldots \left(x^{2}-a_{n}\right) \quad (a_{1}, \ldots , a_{n}$ принадлежит $\mathbb {Q}^{*}$ и все различны).

Задача 67.14

Доказать, что конечное расширение $L / K$ является простым тогда и только тогда, когда множество промежуточных полей между $K$ и $L$ конечно, и привести пример конечного расширения, не являющегося простым.

?

Задача 67.15

Пусть $L / K$ — алгебраическое расширение. Доказать, что расширение $L(x) / K(x)$ также алгебраическое и

(L(x): K(x))=(L: K)

?

Задача 67.16

Пусть $L / K$ — расширение. Элементы $a_{1}, \ldots , a_{s} \in L$ называются алгебраически независимыми над $K$ , если $f\left(a_{1}, \ldots , a_{s}\right) \neq 0$ для всякого ненулевого многочлена $f\left(x_{1}, \ldots , x_{s}\right) \in K\left[x_{1}, \ldots , x_{s}\right]$ .

Доказать, что элементы $a_{1}, \ldots , a_{s} \in L$ алгебраически независимы над $K$ тогда и только тогда, когда расширение $K\left(a_{1}, \ldots , a_{s}\right)$ $K$ -изоморфно полю рациональных функций $K\left(x_{1}, \ldots , x_{s}\right)$ .

?

Задача 67.17

Пусть $L / K$ — расширение и $a_{1}, \ldots , a_{s} ; b_{1}, \ldots , b_{n}$ — две максимальные алгебраически независимые над $K$ системы элементов из $L$ . Доказать, что $m=n$ (степень трансчендентности $L$ над $K$ ).

?

Задача 67.18

Доказать, что:

?

(а)

в конечномерной коммутативной $K$ -алгебре $A$ имеется лишь конечное число максимальных идеалов, и их пересечение совпадает с множеством $N(A)$ всех нильпотентных элементов алгебры $A$ (нильрадикал алгебры $A$ );

(б)

$A^{\mathrm{red}}=A / N(A)$ — редуиированная алгебра (не содержит отличных от 0 нильпотентных элементов);

(в)

алгебра $A / N(A)$ изоморфна прямому произведению полей $K_{1}, \ldots , K_{s}$ , являющихся расширениями поля $K$ ;

(г)

$s \leqslant (A: K)$ ;

(д)

набор расширений $K_{i}$ определён для алгебры $A$ однозначно с точностью до изоморфизма [^fn1];

(е)

если $B$ — подалгебра в $A$ , то всякая компонента $B$ является расширением в одной или нескольких компонентах $A$ ;

(ж)

если $I$ — идеал в $A$ , то компоненты алгебры $A / I$ содержатся среди компонент алгебры $A$ .

Задача 67.19

Пусть $K$ — поле, $f(x) \in K[x], p_{1}(x)^{k_{1}} \ldots p_{s}(x)^{k_{s}}$ — разложение $f(x)$ в произведение степеней различных неприводимых многочленов над $K, A=K[x] /\langle f(x)\rangle$ . Доказать, что

A^{\mathrm{red}}=A / N(A) \simeq \prod _{i=1}^{s} k[x] /\left\langle p_{l}(x)\right\rangle

?

Задача 67.20

(а)(б)

Пусть $A-K$ -алгебра и $L-$ расширение поля $K$ .

Доказать, что:

?

(а)

если $f_{1}, \ldots f_{n}$ — различные $K$ -гомоморфизмы $A \rightarrow L$ , то $f_{1}, \ldots , f_{n}$ линейно независимы как элементы векторного пространства над $L$ всех $K$ -линейных отображений $A \rightarrow L$ ;

(б)

число различных $K$ -гомоморфизмов $A \rightarrow L$ не превосходит $(A: L)$ .

Найти все автоморфизмы полей $\mathbb {Q}(\sqrt{2}), \mathbb {Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}), \mathbb {Q}(\sqrt[3]{2})$ .

Задача 67.21

(а)(б)

Пусть $A$ — конечномерная $K$ -алгебра и $L$ — расширение поля $K$ . Положим $A_{L}=L \otimes_{K} A$ . Пусть $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ — базис $A$ над $K$ . Доказать, что:

?

(а)

$\left(1 \otimes e_{1}, \ldots , 1 \otimes e_{n}\right)-$ базис $A_{L}$ над $L$ ;

(б)

при естественном вложении $A$ в $A_{L}$ образ $A$ является $K$ -подалгеброй в $A_{L}$ .

Задача 67.22

Пусть $A$ — конечномерная $K$ -алгебра, $L$ — расширение поля $K$ . Доказать, что:

?

(а)

если $B$ — подалгебра в $A$ , то $B_{L}$ — подалгебра в $A_{L}$ ;

(б)

если $I$ — идеал алгебры $A$ и $I_{L}$ — соответствующий идеал в $A_{L}$ , то $(A / I)_{L} \simeq A_{L} / I_{L}$ ;

(в)

если $A=\prod_{i=1}^{s} A_{i}$ , то $A_{L} \simeq \prod_{i=1}^{s}\left(A_{i}\right)_{L}$ ;

(г)

если $K_{1}, \ldots , K_{s}$ — множество компонент алгебры $A$ , то множество компонент алгебр $A_{L}$ совпадает с объединением множеств компонент алгебр $\left(K_{1}\right)_{L}, \ldots ,\left(K_{s}\right)_{L}$ ;

(д)

если $F$ — расширение поля $L$ , то $\left(A_{L}\right)_{F} \cong A_{F}$ .

Задача 67.23

(а)(б)(в)

Пусть $A$ — конечномерная $K$ -алгебра, $L$ — расширение поля $K, B$ — некоторая $L$ -алгебра. Доказать, что:

?

(а)

каждый $K$ -гомоморфизм $A \rightarrow B$ однозначно продолжается до $L$ -гомоморфизма $A_{L} \rightarrow B_{L}$ ;

(б)

множество $K$ -гомоморфизмов $A \rightarrow L$ находится в биективном соответствии со множеством компонент алгебры $A_{L}$ , изоморфных $L$ ;

(в)

число различных $K$ -гомоморфизмов $A \rightarrow L$ не превосходит $(A: K)$ ( ср. с задачей 67.20, б) )

.

Задача 67.24

Пусть $F$ и $L$ — расширения поля $K$ и $F$ конечное. Доказать, что существует расширение $E / K$ , для которого имеются вложения $F$ в $E$ и $L$ в $E$ , оставляющие на месте все элементы из $K$ .

?

Задача 67.25

(а)(б)

Пусть $A$ — конечномерная $K$ -алгебра и $A=K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right]$ . Доказать, что следующие свойства расширения $L / K$ равносильны:

?

(а)

все компоненты $A_{L}$ изоморфны $L$ ;

(б)

$L$ — поле расщепления для минимального многочлена любого элемента $a \in A$ (расщепляющее поле $K$ -алгебры $A$ ).

Задача 67.26

Доказать, что если $L$ — расщепляющее поле $K$ -алгебры $A$ и $B$ — подалгебра в $A$ , то любой $K$ -гомоморфизм $B \rightarrow L$ продолжается до $K$ -гомоморфизма $A \rightarrow L$ .

?

Задача 67.27

(а)(б)(в)

Расщепляющее поле $L$ для конечномерной $K$ -алгебры $A$ называется полем разложения для $A$ , если никакое его собственное подполе, содержащее $K$ , не является расщепляющим для $A$ . Доказать, что:

?

(а)

если $A=K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right]$ , то $L$ — поле разложения для $A$ тогда и только тогда, когда $L$ — поле разложения для минимальных многочленов элементов $a_{1}, \ldots , a_{s}$ ;

(б)

любые два поля разложения $K$ -алгебры $A$ изоморфны над $K$ ;

(в)

для поля разложения $K$ -алгебры $A$ существует $K$ -вложение в любое расщепляющее поле для $A$ .

Задача 67.28

Пусть $A$ — конечномерная $K$ -алгебра, $L$ — поле расщепления для $A$ . Доказать, что число компонент $L$ -алгебры $A_{L}$ одно и то же для всех расщепляющих полей алгебры $A$ (сепарабельная степень $(A: K)_{s}$ алгебры $A$ ).

?

Задача 67.29

(а)(б)

Пусть $A$ - $K$ -алгебра и $L$ — расширение поля $K$ . Доказать, что:

?

(а)

число компонент алгебры $A_{L}$ не превосходит $(A: K)_{s}$ ;

(б)

число различных $K$ -гомоморфизмов $A \rightarrow L$ не превосходит $(A: K)_{s}$ и равенство имеет место тогда и только тогда, когда $L$ расщепляющее поля для $A$ .

Задача 67.30

Доказать, что следующие свойства конечного расширения $L / K$ равносильны:

?

(а)

все компоненты алгебры $L_{L}$ изоморфны $L$ ;

(б)

$L$ имеет $(L: K)$ $K$ -автоморфизмов;

(в)

для любых $K$ -вложений $\varphi_{i}: L \rightarrow L^{\prime }(i=1,2)$ поля $L$ в любое расширение $L^{\prime } / K$ имеем $\varphi_{1}(L)=\varphi_{2}(L)$ ;

(г)

всякий неприводимый многочлен из $K[x]$ , имеющий корень в $L$ , разлагается над $L$ в произведение линейных множителей;

(д)

$L$ — поле разложения некоторого многочлена из $K[x]$ . (Расширение $L / K$ , удовлетворяющее этим условиям, называется нормальныл.)

Задача 67.31

(а)(б)(в)

Пусть $K \subset L \subset F$ — башня конечных расширений поля $K$ .

Доказать, что:

?

(а)

если расширение $F / K$ нормальное, то расширение $F / L$ также нормальное;

(б)

если расширения $L / K$ и $F / L$ нормальные, то расширение $F / K$ не обязательно нормальное;

(в)

всякое расширение степени 2 нормально.

Задача 67.32

(а)(б)(в)

Пусть $A$ — конечномерная $K$ -алгебра и $a \in A$ . Характеристический многочлен, определитель и след линейного оператора $t \mapsto a t$ на $A$ обозначаются соответственно через

\chi _{A / K}(a, x), \quad N_{A / K}(a), \quad \operatorname {tr}_{A / K}(a)

и называются соответственно характеристическим многочленом, нормой и следом элемента $a$ алгебры $A$ над $K$ .

Доказать, что если $K \subset L \subset F$ — башня конечных расширений полей и $a \in F$ , то:

?

(а)

$\chi_{F / K}(a, x)=N_{L(x) / K(x)}\left(\chi_{F / L}(a, x)\right), \quad$ где $\chi_{F / L}(a, x)$ рассматривается как элемент поля рациональных функций $K(x)$ ;

(б)

$N_{F / K}(a)=N_{L / K}\left(N_{F / L}(a)\right)$ ;

(в)

$\operatorname {tr}_{F / K}(a)=\operatorname {tr}_{L / K}\left(\operatorname {tr}_{F / L}(a)\right)$ .

Задача 67.33

(а)(б)

Пусть $L / K$ — конечное расширение и $a \in L$ .

Доказать, что:

?

(а)

минимальный многочлен элемента $a$ равен $\pm \chi_{K(a) / K}(a, x)$ ;

(б)

$\chi_{L / K}(a, x)$ является (с точностью до знака) степенью минимального многочлена элемента $a$ .

Задача 67.34

Пусть $L / K$ — конечное расширение. Доказать, что $K$ -билинейная форма на $L$

(x, y) \mapsto \operatorname {tr}_{L / K}(x y)

либо невырожденная, либо $\operatorname {tr}_{L / K}(x)=0$ для всех $x \in L$ .

?

Задача 67.35

(а)(б)(в)(г)

Доказать, что следующие свойства конечномерной $K$ -алгебры $A$ равносильны:

?

(а)

для всякого расширения $L / K$ алгебра $A_{L}$ редуцированная (задача 67.18);

(б)

$(A: K)_{s}=(A: K)$ ( задача 67.28)

;

(в)

для некоторого расширения $L / K$ существует $(A: K)$ гомоморфизмов $K$ -алгебр $A \rightarrow L$ ;

(г)

билинейная форма $(x, y) \mapsto \operatorname {tr}_{A / K}(x y)$ на $A$ невырождена. (Алгебра $A$ , удовлетворяющая этим условиям, называется cenapaбельной.)

Задача 67.36

Пусть $L$ — расширение поля $K$ . Доказать, что конечномерная $K$ -алгебра $A$ сепарабельна тогда и только тогда, когда сепарабельна $L$ -алгебра $A_{L}$ .

?

Задача 67.37

Доказать, что всякая подалгебра и всякая факторалгебра сепарабельной $K$ -алгебры являются сепарабельными $K$ -алгебрами.

?

Задача 67.38

Пусть $A$ — сепарабельная $K$ -алгебра, $(A: K)=n, \varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — различные $K$ -гомоморфизмы алгебры $A$ в некоторое её расщепляющее поле $L$ . Доказать, что для всякого элемента $a \in A$

\begin{gathered} \operatorname {tr}_{A / K}(a)=\sum _{i=1}^{n} \varphi _{i}(a), \quad N_{A / K}(a)=\prod _{i=1}^{n} \varphi _{i}(a), \\ \chi _{A / K}(a, x)=\prod _{i=1}^{n}\left(\varphi _{i}(a)-x\right). \end{gathered}

?

Задача 67.39

(а)(б)

Конечное расширение $L / K$ называется сепарабельныл, если $L$ — сепарабельная $K$ -алгебра.

?

(а)

Доказать, что сепарабельное расширение полей является простым.

(б)

Являются ли числа

a=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad b=\sqrt{2}+i

примитивными элементами расширения $\mathbb {Q}(\sqrt{2}, i) / \mathbb {Q}$ ?

Задача 67.40

Доказать, что конечномерная $K$ -алгебра сепарабельна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением сепарабельных расширений поля $K$ .

?

Задача 67.41

Пусть $K=K_{0} \subset K_{1} \subset \ldots \subset K_{s}=L$ — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение $L / K$ сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение $K_{i} / K_{i-1}(i=1, \ldots , s)$ сепарабельно.

?

Задача 67.42

(а)(б)

Пусть $K$ — поле. Многочлен $f(x) \in K[x]$ называется cenaрабельным, если ни в каком расширении поля $K$ он не имеет кратных корней.

Доказать, что:

?

(а)

если $K$ имеет характеристику 0, то всякий неприводимый многочлен из $K[x]$ сепарабелен;

(б)

если $K$ имеет характеристику $p \neq 0$ , то всякий неприводимый многочлен $f(x) \in K[x]$ сепарабелен тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде $g\left(x^{p}\right)$ , где $g(x) \in K[x]$ .

Привести пример несепарабельного неприводимого многочлена над каким-либо полем.

Задача 67.43

Пусть $A$ — конечномерная $K$ -алгебра. Элемент $a \in A$ называется сепарабельным над полем $K$ , если $K[a]$ — сепарабельная $K$ -алгебра. Доказать, что элемент сепарабелен тогда и только тогда, когда сепарабелен его минимальный многочлен.

?

Задача 67.44

(а)(б)

Пусть $K \subset L \subset F$ — башня конечных расширений полей.

Доказать, что:

?

(а)

если элемент $a \in F$ сепарабелен над $K$ , то $a$ сепарабелен над $L$ ;

(б)

утверждение, обратное к а), верно, если расширение $L / K$ сепарабельно.

Задача 67.45

Пусть $A$ — сепарабельная $K$ -алгебра, $f(x) \in K[x]$ — сепарабельный многочлен.

Доказать, что алгебра $B=A[x] /\langle f(x)\rangle$ сепарабельна.

?

Задача 67.46

(а)(б)(в)

Пусть $A=K\left[a_{1}, \ldots , a_{s}\right]$ — конечномерная $K$ -алгебра. Доказать, что следующие условия утверждения равносильны:

?

(а)

$A$ — сепарабельная $K$ -алгебра;

(б)

всякий элемент $a \in A$ сепарабелен;

(в)

элементы $a_{1}, \ldots , a_{s}$ сепарабельны.

Задача 67.47

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

конечное расширение $K / F$ поля $F$ сепарабельно тогда и только тогда, когда либо $K$ имеет характеристику 0, либо характеристика $K$ равна $p>0$ и $K^{p}=K$ ;

(б)

всякое конечное расширение конечного поля сепарабельно.

Задача 67.48

Конечное расширение полей $L / K$ характеристики $p>0$ называется чисто несепарабельныл, если в $L \backslash K$ нет сепарабельных элементов над $K$ . Доказать, что $L / K$ является чисто несепарабельным расширение тогда и только тогда, когда $L^{p^{k}} \subseteq K$ для некоторого $k \geqslant 1$ .

?

Задача 67.49

Пусть $K \subset K_{0} \subset K_{1} \ldots \subset K_{s}=L$ — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение $L / K$ чисто несепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение $K_{i} / K_{i-1}(i=1, \ldots , s)$ чисто несепарабельно.

?

Задача 67.50

Доказать, что степень чисто несепарабельного расширения поля характеристики $p>0$ является степенью числа $p$ , а его сепарабельная степень равна 1.

?

Задача 67.51

(а)(б)(в)(г)

Пусть $L / K$ — конечное расширение полей.

Доказать, что:

?

(а)

множество $K_{s}$ всех сепарабельных над $K$ элементов из $L$ является полем, сепарабельным над $K$ ;

(б)

$L / K_{s}$ — чисто несепарабельное расширение;

(в)

$\left(K_{s}: K\right)=(L: K)_{s}$ ;

(г)

$(L: K)=(L: K)_{s} \cdot (L: K)_{i}$ , где $(L: K)_{i}=\left(L: K_{s}\right)$ несепарабельная степень расширения $L / K$ .

Задача 67.52

(а)(б)

Пусть $K \subset L \subset F$ — башня конечных расширений полей. Доказать, что:

?

(а)

$(F: K)_{s}=(F: L)_{s} \cdot (L: K)_{s}$ ;

(б)

$(F: K)_{i}=(F: L)_{i} \cdot (L: K)_{i}$ .

Задача 67.53

(а)(б)(в)

Пусть $L / K$ — конечное расширение полей, $n=(L: K)_{s}$ и $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — множество всех $K$ -вложений поля $L$ в какое-либо расщепляющее поле расширения $L / K$ .

Доказать, что при любом $a \in L$ :

?

(а)

$\operatorname {tr}_{L / K}(a)=(L: K)_{i} \sum_{j=1}^{n} \varphi_{j}(a)$ ;

(б)

$N_{L / K}(a)=\left(\prod_{j=1}^{n} \varphi_{j}(a)\right)^{(L: K)_{i}}$ ;

(в)

$\chi_{L / K}(a, x)=\left(\prod_{j=1}^{n}\left(\varphi_{j}(a)-x\right)\right)^{(L: K)_{i}}$ .

Задача 67.54

(а)(б)

Нормальное конечное сепарабельное расширение полей $L / K$ называется расширением Галуа, а группа $K$ -автоморфизмов такого расширения называется его группой Галуа и обозначается через $G(L / K)$ .

Доказать, что:

?

(а)

$G(L / K)$ транзитивно действует на множестве корней из поля $L$ минимального многочлена любого элемента поля $L$ ;

(б)

порядок группы $G(L / K)$ равен степени расширения $L / K$ .

Задача 67.55

(а)(б)(в)(г)

Найти группу Галуа расширения:

?

(а)

$\mathbb {C} / \mathbb {R} ; \quad$

(б)

$\mathbb {Q}(\sqrt{2}) / \mathbb {Q}$ ;

(в)

$L / K$ , где $(L: K)=2$ ;

(г)

$\mathbb {Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) / \mathbb {Q}$ .

Задача 67.56

Группой Галуа над полем $K$ сепарабельного многочлена $f(x) \in K[x]$ называется группа Галуа поля разложения этого многочлена над $K$ (как некоторая группа перестановок на множестве корней $f(x))$ . Найти группы Галуа над полем $\mathbb {Q}$ многочленов:

?

(а)

$a x+b \quad (a, b \in \mathbb {Q}, \quad a \neq 0)$ ;

(б)

$x^{2}-2$ ;

(в)

$x^{3}-1$ ;

(г)

$x^{3}-2$ ;

(д)

$x^{4}-2$ ;

(е)

$x^{p}-1 \quad (p-$ простое число);

(ж)

$x^{n}-1 \quad (n \in \mathbb {N})$ ;

(з)

$x^{p}-a \quad (a \in \mathbb {Q}$ и не является $p$ -й степенью в $\mathbb {Q}, p$ — простое число);

(и)

$\left(x^{2}-a_{1}\right) \ldots \left(x^{2}-a_{n}\right) \quad (a_{1}, \ldots , a_{n}$ принадлежит $\mathbb {Q}^{*}$ и все различны).

Задача 67.57

Пусть $G$ — конечная группа автоморфизмов поля $L$ и $K=L^{G}$ — поле неподвижных элементов. Доказать, что $L / K$ — расширение Галуа и $G(L / K)=G$ .

?

Задача 67.58

Доказать, что если элементы $a_{1}, \ldots , a_{n}$ алгебраически независимы над полем $K$ , то группа Галуа многочлена

x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n}

над полем рациональных функций $K\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ есть $\mathbf{S}_{n}$ .

?

Задача 67.59

Доказать, что всякая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения полей.

?

Задача 67.60

Пусть $L / K$ — расширение Галуа и $G$ — его группа Галуа. Доказать, что сопоставление всякой подгруппе $H \subset G$ подполя $L^{H}$ неподвижных элементов определяет биективное соответствие между всеми подгруппами группы $G$ и всеми промежуточными подполями расширения $L / K$ , при котором промежуточное подполе $F$ соответствует подгруппе $H=G(L / F)$ ; при этом расширение $F / K$ нормально тогда и только тогда, когда подгруппа $H$ нормальна в $G$ , и в этом случае каноническое отображение $G \rightarrow G(F / K)$ определяет изоморфизм $G(F / K) \simeq G / H$ .

?

Задача 67.61

Используя основную теорему теории Галуа и существование вещественного корня у всякого многочлена нечётной степени с вещественными коэффициентами, доказать алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел.

?

Задача 67.62

Доказать, что группа Галуа всякого конечного расширения $L / \mathbb {F}_{p}$ циклическая и порождается автоморфизмом $x \mapsto x^{p}(x \in L)$ .

?

Задача 67.63

Доказать, что группа Галуа над полем $K$ сепарабельного многочлена $f(x) \in K[x]$ , рассматриваемая как подгруппа в $\mathbf{S}_{n}$ , содержится в группе чётных перестановок тогда и только тогда, когда дискриминант

D=\prod _{i>j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}

многочлена $f(x)$ , где $x_{1}, \ldots , x_{n}$ — корни $f(x)$ в его поле разложения, является квадратом в поле $K$ .

?

Задача 67.64

Пусть $L / K$ — расширение Галуа с циклической группой Галуа $\langle \varphi \rangle_{n}$ . Доказать, что существует такой элемент $a \in L$ , что элементы $a, \varphi (a), \ldots , \varphi^{n-1}(a)$ образуют базис $L$ над $K$ .

?

Задача 67.65

Пусть $L / K$ — сепарабельное расширение степени $n$ и $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — различные $K$ -вложения $L$ в некоторое расщепляющее для $L$ поле. Доказать, что элемент $a \in L$ является примитивным элементом в $L / K$ тогда и только тогда, когда образы $\varphi_{1}(a), \ldots , \varphi_{n}(a)$ различны.

?

Задача 67.66

Найти группу автоморфизмов $K$ -алгебры, являющейся прямым произведением $n$ полей, изоморфных $K$ .

?

Задача 67.67

Пусть $L / K$ — расширение Галуа с группой Галуа $G, L=\prod L_{\sigma }$ , где $L_{\sigma }$ — компонента алгебры $L_{L}$ , проекция на которую индуцирует на $L$ автоморфизм $\sigma$ , и $e_{\sigma }$ — единица компоненты $L_{\sigma }$ . Доказать, что для продолжений автоморфизмов из $G$ до $L$ -автоморфизмов алгебры $L_{L}$ справедливы равенства

\tau \left(e_{\sigma }\right)=e_{\sigma \tau ^{-1}}, \quad \sigma , \tau \in G

?

Задача 67.68

Пусть $L$ — расщепляющее поле для сепарабельной $K$ -алгебры $A$ и $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — множество всех $K$ -гомоморфизмов $A \rightarrow L$ . Доказать, что элементы $y_{1}, \ldots , y_{n} \in A$ образуют базис $A$ над $K$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {det}\left(\varphi_{i}\left(y_{j}\right)\right) \neq 0$ .

?

Задача 67.69

Доказать, что в расширении Галуа $L / K$ с группой Галуа $G$ существует такой элемент $a \in L$ , что множество $\left\{ \sigma (a) \mid \sigma \in G\right\}$ является базисом поля $L$ над $K$ .

?

Задача 67.70

Найти поле инвариантов $K\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)^{A_{n}}$ для группы $\mathbf{A}_{n}$ , действующей на поле рациональных функций посредством перестановок переменных.

?

Задача 67.71

Пусть $\varepsilon$ — первообразный комплексный корень степени $n$ из 1 и группа $G=\langle \sigma \rangle_{n}$ действует на поле $\mathbb {C}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ по правилу

\sigma \left(x_{1}\right)=\varepsilon ^{i} x_{i} \quad (i=1, \ldots , n)

Найти поле инвариантов $\mathbb {C}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)^{G}$ .

?

Задача 67.72

Найти поле инвариантов для группы $G$ , действующей на поле $\mathbb {C}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ посредством циклической перестановки переменных.

?

Задача 67.73

Пусть поле $K$ содержит все корни степени $n$ из 1 и элемент $a \in K$ не является степенью с показателем $d>1$ ни для какого делителя $d$ числа $n$ . Найти группу Галуа над $K$ многочлена $x^{n}-a$ .

?

Задача 67.74

Пусть поле $K$ содержит все корни степени $n$ из 1 и $L / K-$ расширение Галуа с циклической группой Галуа порядка $n$ . Доказать, что $L=K(\sqrt[n]{a})$ для некоторого элемента $a \in K$ .

?

Задача 67.75

Пусть поле $K$ содержит все корни степени $n$ из 1. Доказать, что конечное расширение $L / K$ является расширением Галуа с абелевой группой Галуа периода $n$ тогда и только тогда, когда

L=K\left(\theta _{1}, \ldots , \theta _{s}\right)

где

\theta _{i}^{n}=a_{i} \in K \quad (i=1, \ldots , s)

(т.е. $L$ является полем разложения над $K$ многочлена $\prod_{i=1}^{s}\left(x_{i}^{n}-a_{i}\right)^{s}$ ).

?

Задача 67.76

Пусть поле $K$ содержит все корни степени $n$ из 1 и $L=K\left(\theta_{1}, \ldots , \theta_{s}\right)$ , где

\theta _{i}^{n}=a_{i} \in K^{*} \quad (i=1, \ldots , s).

Доказать, что

G(L / K) \simeq \left\langle \left(K^{*}\right)^{n}, a_{1}, \ldots , a_{s}\right\rangle /\left(K^{*}\right)^{n}

?

Задача 67.77

Пусть поле $K$ содержит все корни степени $n$ из 1. Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до $K$ -изоморфизма) расширений Галуа с абелевой группой Галуа периода $n$ и множеством всех конечных подгрупп группы $K^{*} /\left(K^{*}\right)^{n}$ .

?

Задача 67.78

Доказать, что всякое расширение Галуа $L / K$ степени $p$ поля $K$ характеристики $p>0$ имеет вид $L=K(\theta )$ , где $\theta$ — корень многочлена $x^{p}-x-a(a \in K)$ , и, обратно, всякое такое расширение является расширением Галуа степени 1 или $p$ .

?

Задача 67.79

Пусть $K$ — поле характеристики $p>0$ . Доказать, что конечное расширение $L / K$ является расширением Галуа периода $p$ тогда и только тогда, когда $L=K\left(\theta_{1}, \ldots , \theta_{s}\right)$ , где $\theta_{i}$ — корень многочлена $x^{p}-x-a_{i}\left(a_{i} \in K ; i=1, \ldots , s\right)$ .

?

Задача 67.80

Пусть $K$ — поле характеристики $p>0$ и $L=K\left(\theta_{1}, \ldots , \theta_{s}\right)$ , где $\theta_{i}$ — корень многочлена $x^{p}-x-a_{i}\left(a_{i} \in K, i=1, \ldots , s\right)$ . Доказать, что

G(L / K) \simeq \left\langle \rho (K), a_{1}, \ldots , a_{s}\right\rangle / K

где $\rho : K \rightarrow K$ — аддитивный гомоморфизм $x \mapsto x^{p}-x$ .

?

Задача 67.81

Пусть $K$ — поле характеристики $p>0$ . Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до $K$ -изоморфизма) расширений Галуа $L / K$ с абелевой группой Галуа периода $p$ и множеством всех конечных подгрупп группы $K / \rho (K)$ .

?

Расширения полей. Теория Галуа