Банк задач по математике

Задача 68.1

Доказать, что всякое конечное расширение конечного поля является простым.

?

Задача 68.2

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

конечное расширение конечного поля нормально;

(б)

любые два конечных расширения конечного поля $F$ одной степени $F$ -изоморфны.

Задача 68.3

(а)(б)(в)(г)

Доказать, что:

?

(а)

для любого числа $q$ , являющегося степенью простого числа, существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из $q$ элементов;

(б)

вложение поля $\mathbb {F}_{q}$ в поле $\mathbb {F}_{q^{\prime }}$ существует тогда и только тогда, когда $q^{\prime }$ есть степень $q$ ;

(в)

если $K$ и $L$ — конечные расширения конечного поля $F$ , то $F$ -вложение поля $K$ в $L$ существует тогда и только тогда, когда $(K: L) \mid (L: F) ;$

(г)

если многочлен $f(x)$ над конечным полем $F$ разлагается в произведение неприводимых множителей степеней $n_{1}, \ldots , n_{s}$ , то степень поля разложения многочлена $f(x)$ над $F$ равна наименьшему общему кратному чисел $n_{1}, \ldots , n_{s}$ .

Задача 68.4

(а)(б)

Пусть $F$ — конечное поле из нечётного числа $q$ элементов. Элемент $a \in F^{*}$ называется квадратичным вычетом в $F$ , если двучлен $x^{2}-a$ имеет корень в $F$ .

Доказать, что:

?

(а)

число квадратичных вычетов равно $(q-1) / 2$ ;

(б)

а является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда $a^{(q-1) / 2}=1$ , и не является квадратичным вычетом при $a^{(q-1) / 2}=-1$ .

Задача 68.5

(а)(б)(в)(г)

Разложить на неприводимые множители:

?

(а)

$x^{5}+x^{3}+x^{2}+1 \quad$ в $\quad \mathbb {F}_{2}[x]$ ;

(б)

$x^{3}+2 x^{2}+4 x+1 \quad$ в $\quad \mathbb {F}_{5}[x]$ ;

(в)

$x^{4}+x^{3}+x+2$ в $\mathbb {F}_{3}[x]$ ;

(г)

$x 45+3 x^{3}+2 x^{2}+x+4$ в $\mathbb {F}_{5}[x]$ .

Задача 68.6

(а)(б)

Для элемента $a \in F^{*}$ положим $\left(\frac{a}{F}\right)$ равным 1, если $a$ квадратичный вычет в $F$ , и -1 в противном случае.

Доказать, что:

?

(а)

отображение $F^{*} \rightarrow \left\{ -1,1\right\}$ , при котором $a \mapsto \left(\frac{a}{F}\right)$ , является гомоморфизмом групп;

(б)

$\left(\frac{a}{F}\right)=\operatorname {sgn} \sigma_{a}$ , где $\sigma_{a}: x \mapsto a x$ — перестановка на множестве элементов поля $F$ .

Задача 68.7

(а)(б)(в)(г)

Пусть $a$ и $b$ — взаимно простые числа и $\sigma : x \rightarrow a x$ — перестановка на множестве классов вычетов по модулю $b$ .

Доказать, что:

?

(а)

если $b$ чётно, то

\operatorname {sgn} \sigma = \begin{cases} 1 \quad \text{ при } b \equiv 2 \quad (\bmod 4) \\ (-1)^{(a-1) / 2} \quad \text{ при } b \equiv 0 \quad (\bmod 4) \end{cases}

(б)

если $b$ нечётно, $b=\prod_{i=1}^{s} p_{i}(p_{1}, \ldots , p_{s}$ — простые числа), то

\operatorname {sgn} \sigma =\prod _{i=1}^{s}\left(\frac{n}{p_{i}}\right)

где $\left(\frac{a}{p_{i}}\right)=\left(\frac{a}{\mathbf{Z}_{p_{i}}}\right)$ (символ Лежандра) (в этом случае $\operatorname {sgn} \sigma$ обозначается через $\left(\frac{a}{b}\right)$ и называется символом Якоби);

(в)

$\left(\frac{a}{b_{1} b_{2}}\right)=\left(\frac{a}{b_{1}}\right)\left(\frac{a}{b_{2}}\right),\left(\frac{a_{1} a_{2}}{b}\right)=\left(\frac{a_{1}}{b}\right)\left(\frac{a_{2}}{b}\right) ;$

(г)

$\left(\frac{-1}{b}\right)=(-1)^{(b-1) / 2}$ .

Задача 68.8

Пусть $G$ — аддитивно записанная конечная абелева группа нечётного порядка, $\sigma$ — автоморфизм группы $G,\left(\frac{\sigma }{G}\right)=\operatorname {sgn} \sigma$ , где $\sigma$ рассматривается как перестановка на множестве $G$ . Доказать, что если $G$ представляется в виде объединения $\left\{ 0\right\} \cup S \cup \left\{ -S\right\}$ непересекающихся подмножеств, то

\left(\frac{\sigma }{G}\right)=(-1)^{\left|\sigma (S) \cap (-S)\right|}

?

Задача 68.9

Пусть $\sigma$ — автоморфизм группы $G$ нечётного порядка, $G_{1}$ — подгруппа в $G$ , инвариантная относительно $\sigma , G_{2}=G / G_{1}$ и $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ — автоморфизмы $G_{1}$ и $G_{2}$ , индуцированные $\sigma$ . Доказать, что

\left(\frac{\sigma }{G}\right)=\left(\frac{\sigma _{1}}{G_{1}}\right)\left(\frac{\sigma _{2}}{G_{2}}\right),

и получить отсюда утверждение задачи 68.7, б)).

?

Задача 68.10

Доказать, что если $N$ — количество чисел $x$ из промежутка $1 \leqslant x \leqslant (b-1) / 2$ , для которых $a x \equiv r(\bmod b)$ , $-(b-1) / 2 \leqslant r \leqslant 1$ , то

\left(\frac{a}{b}\right)=(-1)^{N}

?

Задача 68.11

Доказать, что $\left(\frac{2}{b}\right)=(-1)^{\left(b^{2}-1\right) / 8}$ .

?

Задача 68.12

Доказать, что для любых взаимно простых нечётных чисел $a$ и $b$

\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{a}\right)=(-1)^{(a-1) / 2 \cdot (b-1) / 2}

?

Задача 68.13

Пусть $V$ — конечномерное пространство над конечным полем $F$ нечётного порядка, $\mathcal{A}$ — невырожденный линейный оператор на $V$ . Доказать, что

\left(\frac{\mathcal{A}}{V}\right)=\left(\frac{\operatorname {det} \mathcal{A}}{F}\right).

?

Задача 68.14

Пусть $F$ — конечное расширение поля $\mathbb {F}_{q}$ степени $n$ . Доказать, что в $F$ как векторном пространстве над $\mathbb {F}_{q}$ существует базис вида $x, x^{q}, \ldots , x^{q^{m-1}}$ для некоторого $x \in F$ .

?

Задача 68.15

Доказать, что элементы $x_{1}, \ldots , x_{n} \in \mathbb {F}_{q^{n}}$ образуют базис над $\mathbb {F}_{q}$ тогда и только тогда, когда

\operatorname {det}\left[\begin{smallmatrix} x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ x_{1}^{q} & x_{2}^{q} & \ldots & x_{n}^{q} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{q^{n-1}} & x_{2}^{q^{n-1}} & \ldots & x_{n}^{q^{n-1}} \end{smallmatrix}\right] \neq 0

?

Задача 68.16

Пусть $a \in \mathbb {F}_{q^{n}}$ . Элементы $a, a^{q}, \ldots , a^{q^{n-1}}$ образуют базис $\mathbb {F}_{q^{n}}$ как векторного пространства над $\mathbb {F}_{q}$ тогда и только тогда, когда в $\mathbb {F}_{q^{n}}[x]$ многочлены $x^{n}-1$ и

a x^{n-1}+a^{q} x^{n-2}+\ldots +a^{q^{n-2}} x+a^{q^{n-1}}

взаимно просты.

?

Конечные поля