Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца

Найти все идеалы кольца:

Доказать, что кольца:

Доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает со всем кольцом.

Доказать, что в кольце матриц $\mathbf{M}_{n}(R)$ с элементами из произвольного кольца $R$ идеалами являются в точности множества матриц, элементы которых принадлежат фиксированному идеалу кольца $R$.

Найти все идеалы кольца верхних треугольных матриц порядка 2 с целыми элементами.

Пусть $I$ и $J$ — множества матриц вида

с целыми коэффициентами $g, h, k, \ldots$ Доказать, что $I$ является идеалом в кольце $R$ верхних треугольных матриц над $\mathbb {Z}, J$ есть идеал кольца $I$, но $J$ не является идеалом кольца $R$.

Найти все левые идеалы алгебры $\mathbf{M}_{2}\left(\mathbf{Z}_{2}\right)$.

Найти все идеалы двумерной алгебры $L$ над полем $\mathbb {R}$ с базисом $(1, e)$, где 1 — единица в $L$, и:

Доказать, что если идеал кольца содержит обратимый элемент, то он совпадает со всем кольцом.

Образуют ли идеал необратимые элементы колец:

Доказать, что кольцо целых чисел не содержит минимальных идеалов.

Найти максимальные идеалы в кольцах:

Доказать, что множество $I_{S}$ непрерывных функций, обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве $S \subseteq [a, b]$, является идеалом в кольце функций, непрерывных на $[a, b]$.

Верно ли, что всякий идеал этого кольца имеет вид $I_{S}$ для некоторого $S \subseteq [a, b]$?

Пусть $R$ — кольцо непрерывных функций на отрезке $[0,1]$, $I_{c}=\left\{ f(x) \in R \mid f(c)=0\right\} (0 \leqslant c \leqslant 1)$. Доказать, что:

Доказать, что коммутативное кольцо с единицей (отличной от нуля), не имеющее идеалов, отличных от нуля и всего кольца, является полем. Существенно ли для этого утверждения наличие единицы?

Доказать, что кольцо с ненулевым умножением и без собственных односторонних идеалов является телом.

Доказать, что кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором всякая убывающая цепочка левых идеалов конечна, является телом.

Пусть $K$ — коммутативное кольцо без делителей нуля и отображение $\delta : K \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb {N}$ удовлетворяет условию: для любых элементов $a, b \in K$, где $b \neq 0$, существуют элементы $q, r \in K$ такие, что $a=b q+r$ и $\delta (r)<\delta (b)$ или $r=0$.

Доказать, что существует отображение $\delta_{1}: K \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb {N}$, удовлетворяющее как этому условию, так и условию: для любых $a, b \in K$, где $a b \neq 0, \delta_{1}(a b) \geqslant \delta (b)$.

Доказать, что:

В кольце $\mathbb {Z}^{i}$ разделить $a=40+i$ на $b=3-i$ с остатком относительно функции $\delta (x+i y)=x^{2}+y^{2}$ из задачи 64.18.

В кольце $\mathbb {Z}^{i}$ найти наибольший общий делитель чисел $20+9 i$ и $11+2 i$.

Доказать, что всякую прямоугольную матрицу с элементами из евклидова кольца с помощью элементарных преобразований её строк и столбцов можно привести к виду

где $e_{1}\left|e_{2}\right| \ldots \mid e_{r}, e_{i} \neq 0(i=1,2 \ldots , r)$.

Доказать, что в задаче 64.22 для $i=1, \ldots , r$ произведение $e_{1} \ldots e_{i}$ совпадает с наибольшим общим делителем всех миноров размера $i$ исходной матрицы.

Доказать, что любое кольцо, заключённое между кольцом главных идеалов $R$ и его полем частных $Q$, само является кольцом главных идеалов.

Доказать, что кольцо многочленов $R[x]$ над коммутативным кольцом $R$ с единицей и без делителей нуля является кольцом главных идеалов тогда и только тогда, когда $R$ — поле.

Найти все идеалы в алгебре рядов $\mathbb {C}[[x]]$ от одной переменной $x$.

Доказать, что алгебра Вейля $A_{n}(K)$ (см. задачу 63.28) проста, если $K$ — поле нулевой характеристики.

Пусть $A$ — коммутативное кольцо с единицей. Доказать, что:

Пусть $R$ и $S$ — кольца с единицей и $\varphi : R \rightarrow S$ — гомоморфизм.

Пусть $K$ — поле и $K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$ — алгебра многочленов. Предположим, что $f_{1}, \ldots , f_{n} \in K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$.

Доказать, что:

Пусть $K$ — поле и $K\left[\left[x_{1} \ldots x_{n}\right]\right]$ — алгебра степенных рядов от $x_{1}, \ldots , x_{n}$. Предположим, что $f_{1}, \ldots , f_{n} \in K\left[\left[x_{1} \ldots x_{n}\right]\right]$ имеют нулевые свободные члены.

Доказать, что:

Пусть $K$ — поле нулевой характеристики и $h=h\left(q_{1}\right) \in A_{n}(K)$. Доказать, что отображение $\varphi$, при котором

является автоморфизмом $K$-алгебры $A_{n}(K)$.

Пусть $\varphi$ — автоморфизм $\mathbb {C}$-алгебры $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$. Доказать, что:

Пусть $K$ — поле.

Доказать, что образ коммутативного кольца при гомоморфизме является коммутативным кольцом.

Доказать, что отображение $\varphi : f(x) \rightarrow f(c)(c \in \mathbb {R})$ является гомоморфизмом кольца вещественных функций, определённых на $\mathbb {R}$, на поле $\mathbb {R}$.

Найти все гомоморфизмы колец:

Найти все гомоморфизмы:

Доказать, что любой гомоморфизм поля в кольцо является или нулевым, или изоморфным отображением на некоторое подполе.

Пусть $K$ — поле и $R=K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$ — алгебра многочленов от $x_{1}, \ldots , x_{n}$ над полем $K$. Построить биекцию между пространством строк $K^{n}$ и множеством всех гомоморфизмов $K$-алгебр $R \rightarrow K$.

Доказать, что:

При каких $a$ и $b$ факторкольца $\mathbf{Z}_{2}[x] /\left\langle x^{2}+a x+b\right\rangle$ :

Изоморфны ли факторкольца

Изоморфны ли факторкольца

Пусть $a$ и $b$ — различные элементы поля $F$. Доказать, что $F[x]$-модули

не изоморфны, но соответствующие факторкольца изоморфны.

Доказать, что если $a \neq b$ и $c \neq d$ — элементы поля $F$, то факторкольца

изоморфны.

Какие из следующих алгебр изоморфны над $\mathbb {C}$ :

Изоморфны ли алгебры $A$ и $B$ над полем $\mathbb {C}$ :

Изоморфны ли следующие алгебры над полем $\mathbb {R}$ :

Доказать, что элемент $f$ алгебры $K[x] /\left\langle x^{n+1}\right\rangle$ ($K$ — поле) обратим тогда и только тогда, когда $f(0) \neq 0$.

Пусть $K$ — поле и $f \in K[x]$ имеет степень $n$. Доказать, что размерность $K$-алгебры $K[x] / f K[x]$ равна $n$.

Пусть $K$ — поле. Доказать, что:

Доказать, что факторкольцо $R / I$ коммутативного кольца с единицей является полем тогда и только тогда, когда $I$ — максимальный идеал в $R$.

Доказать, что идеал $I$ коммутативного кольца $R$ простой тогда и только тогда, когда $I$ — ядро гомоморфизма $R$ в некоторое поле.

Доказать, что:

При каких $a \in \mathbb {F}_{7}$ факторкольцо $\mathbb {F}_{7}[x] /\left\langle x^{2}+a\right\rangle$ является полем?

Доказать, что при любом целом $n>1$ факторкольцо $\mathbb {Z}^{x} /\langle n\rangle$ изоморфно $\mathbf{Z}_{n}[x]$.

Пусть $f(x)$ — неприводимый многочлен степени $n$ из кольца $\mathbf{Z}_{p}[x]$. Доказать, что факторкольцо $\mathbf{Z}_{p}[x] /\langle f(x)\rangle$ является конечным полем, и найти число его элементов.

Доказать, что:

Пусть $I_{1}, \ldots , I_{s}$ — идеалы в алгебре с единицей $A$, $I_{i}+I_{j}=A$ при $i \neq j$. Доказать, что отображение

задаваемое формулой

является изоморфизмом алгебр.

Установить изоморфизм $\mathbb {Q}^{x} /\left\langle x^{2}-1\right\rangle \simeq \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q}$.

Доказать, что

Пусть $I$ — максимальный идеал в $\mathbb {Z}^{x}$. Доказать, что $\mathbb {Z}^{x} / I$ — конечное поле.

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $K$ нулевой характеристики. Доказать, что

где $I$ — идеал в $T(V)$, порождённый всеми элементами

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $K$ нулевой характеристики. Доказать, что

где $I$ — идеал в $\mathbb {T}(V)$, порождённый всеми элементами

Пусть $V$ — векторное пространство размерности $2 n$ с базисом $p_{1} \ldots p_{n}, q_{1} \ldots q_{n}$ над полем $K$ нулевой характеристики. Доказать, что

где $I$ — идеал в $T(V)$, порождённый всеми элементами

Пусть $(e_{1}, \ldots , e_{n})$ — базис векторного пространства $V$ над полем $K$ характеристики, отличной от 2, и $\Lambda (V)$ — внешняя (или грассманова алгебра) над векторным пространством $V$.

Доказать, что:

Пусть $R$ — кольцо с единицей. Левым аннулятором подмножества $M \subseteq R$ называется множество

Доказать, что:

Доказать, что сумма левых идеалов, порождённых попарно ортогональными идемпотентами, также порождается идемпотентом.

Пусть $I_{k}(k=1, \ldots , n)$ — множество матриц порядка $n$ над полем $K$, состоящее из матриц, у которых вне $k$-го столбца все элементы равны 0.

Доказать, что:

Пусть $R$ — алгебра всех линейных операторов в конечномерном векторном пространстве $V$ и $J_{L}$ — множество всех операторов из $R$, образ которых лежит в подпространстве $L$. Доказать, что $J_{L}$ является правым идеалом в $R$.

Обратно, пусть $J$ — левый идеал в $R$. Доказать, что существует, и притом единственное такое подпространство $L$ в $V$, что $J=J_{L}$.

Пусть $R$ — алгебра всех линейных операторов в конечномерном векторном пространстве $V$ и $I_{L}$ — множество всех операторов из $R$, ядро которых содержит подпространство $L$. Доказать, что $I_{L}$ является левым идеалом в $R$.

Обратно, пусть $I$ — левый идеал в $R$. Доказать, что существует, и притом единственное такое подпространство $L$ в $V$, что $I=I_{L}$.

Доказать, что множества матриц:

Пусть $R=I_{1} \oplus I_{2}$ — разложение кольца с единицей $e$ в прямую сумму двусторонних идеалов $I_{1}, I_{2}$ и $e=e_{1}+e_{2}$, где $e_{1} \in I_{1}$, $e_{2} \in I_{2}$. Доказать, что $e_{1}$ и $e_{2}$ — единицы колец $I_{1}$ и $I_{2}$.

Доказать, что кольца $\mathbf{Z}_{m n}$ и $\mathbf{Z}_{m} \oplus \mathbf{Z}_{n}$ изоморфны тогда и только тогда, когда $m$ и $n$ взаимно просты.

Кольцо называется вполне приводилыл справа, если оно является прямой суммой правых идеалов, являющихся простыми модулями над этим кольцом. При каких $n$ кольцо вычетов $\mathbf{Z}_{n}$ вполне приводимо?

Доказать, что алгебра всех верхних треугольных матриц порядка $n \geqslant 2$ над полем не является вполне приводимой.

Доказать, что в коммутативном вполне приводимом кольце с единицей число идемпотентов и число идеалов конечны.

Доказать, что во всякой вполне приводимой алгебре пересечение всех максимальных идеалов равно нулю.

Доказать, что всякое коммутативное вполне приводимое кольцо с единицей изоморфно прямой сумме полей.

Модуль называется вполне приводимыл, если его можно разложить в прямую сумму минимальных подмодулей. Какие циклические группы вполне приводимы как модули над кольцом $\mathbb {Z}$?

Кольцо называется вполие приводимыл слева, если оно вполне приводимо как левый модуль над собой. Доказать, что если кольцо $R$ вполне приводимо слева и $I$ — его левый идеал, то $R=I \oplus J$ для некоторого левого идеала $J$ кольца $R$.

Доказать, что всякий левый идеал вполне приводимого слева кольца $R$ :

Пусть $R$ — вполне приводимое слева кольцо с единицей.

Доказать, что:

Доказать, что если $x y=0$ для любых двух элементов $x$, $y$ левого идеала $I$ вполне приводимого слева кольца $R$ с единицей, то $I=\left\{ 0\right\}$.

Доказать, что если $I$ — идеал кольца $R$ с единицей, то факторкольцо $R / I$ тоже имеет единицу.

Доказать, что факторкольцо коммутативного нётерова кольца также нётерово.

Доказать, что кольцо вычетов $\mathbf{Z}_{p_{1} \ldots p_{m}}$, где $p_{1}, \ldots , p_{m}$ различные простые числа, является прямой суммой полей.

Найти все подмодули в векторном пространстве с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ как модули над кольцом всех диагональных матриц, если

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, рассматриваемое как модуль над собой. Доказать, что $R$ изоморфно любому своему ненулевому подмодулю тогда и только тогда, когда $R$ — кольцо главных идеалов.

Доказать, что правило

где $h(x)$ — фиксированный многочлен, превращает кольцо многочленов $F[x]$ над полем $F$ в свободный модуль ранга $r$ над $F[x]$.

Пусть в кольце $R$ нет делителей нуля и $M$ — свободный $R$-модуль. Доказать, что если $r \in R \backslash 0$ и $m \in M \backslash 0$, то $r m \neq 0$.

Пусть $R$ — кольцо с единицей, причём все $R$-модули свободны. Доказать, что $R$ является телом.

Пусть $K$ поле нулевой характеристики. Доказать, что алгебра полиномов $K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$ является простым модулем над алгеброй Вейля $A_{n}(K)$ (см. задачу 63.28).

Пусть $K$ — поле нулевой характеристики. Доказать, что каждый ненулевой модуль над алгеброй Вейля $A_{n}(K)$ имеет бесконечную размерность над $K$.

Пусть $K$ — алгебра вещественных функций на отрезке $[-\pi , \pi ]$, представимых многочленами от $\cos x, \sin x$ с вещественными коэффициентами.

Доказать, что: