Группы

Доказать, что пересечение $\bigcap_{i \in I} H_{i}$; любого семейства $\left\{ H_{i} \mid i \in I\right\}$ подгрупп группы $G$ является подгруппой.

Говорят, что группа $G$ порождается подмножеством $S$ своих элементов, и пишут $G=\langle S\rangle$, если пересечение всех подгрупп $H$, содержащих $S$, совпадает c $G$ (другими словами, в $G$ нет хотя бы одной собственной подгруппы, содержащей $S$). Показать, что в случае $G=\langle S\rangle$ каждый элемент $g \in G$ имеет вид $g=t_{1} t_{2} \ldots t_{n}, n=1,2, \ldots$, где либо $t_{i} \in S$, либо $t_{i}^{-1} \in S, 1 \leqslant t \leqslant n$.

Показать, что перестановочные элементы $a, b$ произвольной группы $G$, имеющие взаимно простые порядки $s, t$, порождают в $G$ циклическую подгруппу порядка $s t:\langle a, b\rangle =\langle a b\rangle$.

Показать, что если $M=\langle S\rangle$ — моноид, порождённый множеством $S$, и каждый элемент $s \in S$ обратим в $M$, то $M$ — группа.

Группа — это моноид $G$, в котором уравнения вида $a x=b, y a=b$ однозначно разрешимы при любых $a, b \in G$. Доказать это утверждение.

Показать, что множество $A_{1}(\mathbb {R})$ так называемых аффинных преобразований $\varphi_{a, b}: x \mapsto a x+b(a, b \in \mathbb {R} ; a \neq 0)$ вещественной прямой $\mathbb {R}$ образует группу с законом умножения $\varphi_{a, b} \varphi_{c, d}=\varphi_{a c, a d+b}$. В группе $A_{1}(\mathbb {R})$ содержится подгруппа $\mathrm{GL}_{1}(\mathbb {R})$, оставляющая точку $x=0$ на месте, и подгруппа "чистых сдвигов" $x \mapsto x+b$.

Группа $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb {Z})$ содержит элементы $A=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{smallmatrix}\right], B=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1\end{smallmatrix}\right]$ порядков 4 и 3 соответственно. Показать, что $\langle A B\rangle$ — бесконечная циклическая подгруппа в $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb {Z})$. Таким образом, произведение двух элементов конечного порядка в группе $G$ не обязано быть элементом конечного порядка. А как обстоит дело в абелевой группе?

Доказать, что группа $G$ чётного порядка $\left|G\right|=2 n$ обязательно содержит элемент $g \neq e$ порядка 2.

Доказать, что $S_{n}=\langle (12),(13), \ldots ,(1 n)\rangle$.

Доказать, что $S_{n}=\left\langle \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & \ldots \end{array}\right)\right\rangle$.

Доказать, что знакопеременная группа $A_{n}, n \geqslant 3$, порождается циклами длины 3, причём на самом деле

Доказать, что $k$-я степень $\pi^{k}$ цикла $\pi =\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \ldots & n\end{array}\right) \in S_{n}$ является произведением $d=$ НОД $(n, k)$ независимых циклов, каждый из которых имеет длину $q=n / d$.

Показать, что порядок перестановки $\pi \in S_{n}$ (порядок циклической подгруппы $\langle \pi \rangle$) равен наименьшему общему кратному длин независимых циклов, входящих в разложение $\pi$.

Пусть $A, B \in M_{n}(\mathbb {R})$ и $(A B)^{m}=E$ для некоторого целого числа $m$. Верно ли, что $(B A)^{m}=E$?

Доказать, что непустое подмножество $H$ конечной (мультипликативной) группы $G$ является подгруппой, если $H$ замкнуто относительно умножения. Значит, в данном случае требования существования в $H$ единичного элемента $e$ и обратного $h^{-1}$ для каждого $h \in H$ излишни.

Какую систему образующих можно предложить для мультипликативной группы $\left(\mathbb {Q}_{+}, \cdot \right)$ положительных рациональных чисел?

Существует ли в $\left(\mathbb {Q}_{+}, \cdot \right)$ конечная система образующих?

Доказать, что с точностью до изоморфизма существует лишь конечное число $\rho (n)$ групп данного порядка $n$.

Используя упр. 10, показать, что каждая конечная группа может быть вложена (т.е. для неё существует мономорфизм) в конечную группу с двумя образующими.

Попробуйте убедиться, что на диаграмме (рис. 17) изображены все подгруппы знакопеременной группы $A_{4}$. Символом $V_{4}$ обозначена так называемая

Рис. 17 четверная группа (или группа Клейна) $V_{4}=\left\{ e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\right\}$, а возле других вершин диаграммы поставлены образующие циклических подгрупп.

Показать, что все группы порядка 4 абелевы и с точностью до изоморфизма исчерпываются группами перестановок $U=\langle (1234)\rangle , V_{4}$, или же группами матриц:

Выписать в явном виде изоморфизмы $U \rightarrow L_{1}, V_{4} \rightarrow L_{2}$.