Кольца и поля

Развивая идею примера 2 из $\S 1$, показать, что множество $\mathcal{P}(\Omega )$ с операциями

является кольцом с единицей, все элементы аддитивной группы которого имеют порядок 2.

Установить коммутативность произвольного кольца, в котором каждый элемент $x$ удовлетворяет уравнению $x^{2}=x$. Верно ли это при условии $x^{3}=x$?

Изоморфны ли поля $\mathbb {Q}(\sqrt{2}), \mathbb {Q}(\sqrt{5})$?

Показать, что эпиморфный образ коммутативного кольца является коммутативным кольцом.

Показать, что любое конечное целостное кольцо $K$ является полем.

Пусть $p$ — простое число и $K$ — коммутативное кольцо с единицей такое, что $p x=0$ для всех $x \in K$. Показать, что тогда

Доказать, что кольцо $K$, состоящее из пяти элементов, либо изоморфно $\mathbb {Z}_{5}$, либо является кольцом с нулевым умножением.

Элемент $x \neq 0$ кольца $K$ называется нильпотентным, если $x^{n}=0$ для некоторого $n \in \mathbb {N}$. Показать, что:

1. нильпотентность элемента $x$ влечёт обратимость элемента $1-x$ в любом кольце с единицей;

2. кольцо $\mathbb {Z}_{m}=\mathbb {Z} / m \mathbb {Z}$ содержит нильпотентные элементы в точности тогда, когда $m$ делится на квадрат натурального числа $>1$.

Доказать, что в кольце $K$ с единицей и бесконечной мощности $\left|K\right|$ не может быть конечного числа $n \leqslant 1$ необратимых элементов $\neq 0$.

Пусть $K$ — произвольное ассоциативное кольцо с единицей 1 и $a, b$ — его элементы. Показать, что

где $d=1+b c a$, т.е. обратимость $1-a b$ в $K$ влечёт обратимость $1-b a$. Чему равен элемент $1+a d b$?

Показать, что матрицы $\left[\begin{smallmatrix} a & b \\ -b & a\end{smallmatrix}\right]$, где $b \in \mathbb {Z}_{3}$, образуют поле из девяти элементов и что мультипликативная группа этого поля циклическая порядка 8.

Способен ли код $S_{0}$ (из примера 2 в конце параграфа) исправить две ошибки?