Поле комплексных чисел

Найти все комплексные числа $z$, по модулю равные 1, при которых $z^{2}+(1+i) z$ принимает чисто мнимые значения. Изобразить соответствующее геометрическое место точек на плоскости $\mathbb {C}$.

Что можно сказать о поле $\mathbb {R}(\delta )$, которое получено из $\mathbb {R}$ присоединением комплексного числа $\delta$, удовлетворяющего равенству $\delta^{4}=-1$?

Пусть $A, B \in M_{n}(\mathbb {R})$. Опираясь на теорему 1, доказать, что $\overline{\operatorname {det}(A+i B)}=\operatorname {det}(A-i B)$ (черта означает сопряжение).

Пусть $A, B \in M_{n}(\mathbb {R})$,

Применяя к вещественной матрице $C$ элементарные преобразования первого и второго типа над полем комплексных чисел $\mathbb {C}$, показать, что

Используя упр. 3 и 4, дать объяснение следующему "странному" факту. Однородная квадратная линейная система

с комплексными коэффициентами $d_{k l}=a_{k l}+i b_{k l}$ и неизвестными $z_{i}=x_{i}+i y_{i}$ имеет нетривиальное решение $\left(z_{1}, \ldots , z_{n}\right)$ в точности тогда, когда $\operatorname {det}\left(d_{k l}\right)=$ $=a+i b=0$ (см. общие замечания по этому поводу в п. 6 § 3 гл. 4). Это условие приводит к двум уравнениям $a=0, b=0$, связывающим $2 n^{2}$ вещественных величин $a_{k l}, b_{k l}$. С другой стороны, систему (*) можно представить в виде системы $2 n$ линейных однородных уравнений с $2 n$ вещественными неизвестными $x_{i}, y_{i}$. Теперь условие нетривиальности решения запишется в виде равенства нулю одного вещественного определителя размера $2 n \times 2 n$, что даст лишь одно уравнение между $a_{k l}, b_{k l}$. Как согласовать между собой эти два результата?

Имея в виду, что автоморфизмы квадратичного поля $\mathbb {Q}(\sqrt{d})$ должны оставлять на месте рациональные числа, найти автоморфизмы этого поля.

Ответ. Единичное отображение и $a+b \sqrt{d} \mapsto a-b \sqrt{d}$.

Чему равна сумма всех корней степени $n>1$ из 1? Что можно сказать о сумме примитивных корней степени 12 и степени 15 из 1?

Показать, что $\zeta =(2+i) /(2-i)$ не является корнем из 1, хотя $\left|\zeta \right|=1$.

Множество $S^{1}=\left\{ e^{i \varphi } \mid \varphi \in \mathbb {R}\right\}$ (окружность единичного радиуса) образует относительно умножения в $\mathbb {C}$ подгруппу группы $(\mathbb {C}^{*}, \cdot )$. Всякое $\mathbb {R}$-линейное отображение $f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ называется ортогональным, если $\left(f(z) \mid f\left(z^{\prime }\right)\right)=\left(z \mid z^{\prime }\right)$, т.е. если оно сохраняет длины векторов (расстояния между точками). Доказать, что отображение $f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ в точности тогда ортогонально, когда $f(z)=c z$ или $f(z)=c \bar{z}$, где $c \in S^{1}$.

Показать, что

где $\zeta$ — примитивный корень степени $n$ из 1.