Разложение в кольце многочленов

Показать, что

Пусть $f, g$ — нормализованные многочлены из $\mathbb {Z}{}[X]$. Показать, что в выражении НОД $(f, g)=f u+g v$ с $u, v \in \mathbb {Z}{}[X]$ можно считать $\operatorname {deg} u<\operatorname {deg} g$, $\operatorname {deg} v<\operatorname {deg} f$.

Являются ли кольца $\mathbb {Z}{}[\sqrt{-3}]$ и $\mathbb {Z}_{8}[X]$ факториальными?

Разложить на неприводимые множители в $\mathbb {Z}{}[X]$ многочлены $X^{n}-1$ при $5 \leqslant n \leqslant 12$.

Доказать, что неприводимые множители однородного многочлена

однородны и $f(X, Y)$ неприводим тогда и только тогда, когда неприводим многочлен $f(X, 1)=a_{0} X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\ldots +a_{n-1} X+a_{n} \in \mathbb {Q}{}[X]$.

Пусть $P$ — поле и $f(X)=\sum_{i \geqslant 0} a_{i} X^{i}$ — формальный степенной ряд из $P[[X]]$ (см. упр. 5 из § 2). Условие $a_{0} \neq 0$, или, что эквивалентно, $\omega (f)=0$ необходимо и достаточно для существования степенного ряда $g(X) \in P[[X]]$, обратного к $f: f g=1$. Например, $(1-X)^{-1}=\sum_{i \geqslant 0} X^{i}$. С точностью до ассоциированности $X$ — единственный простой элемент в $P[[X]]$. Кольцо $P[[X]]$ факториально. Обосновать эти утверждения.

Показать, что $\operatorname {det}\left(x_{i j}\right)=\sum_{\pi \in S_{n}} \varepsilon_{\pi } x_{\pi (1), 1} \ldots x_{\pi (n), n}$ — неприводимый однородный степени $n$ многочлен от $n^{2}$ независимых переменных $x_{i j}$.