Размерность и базис

Сколько $k$-мерных подпространств, $1 \leqslant k \leqslant n$, у $n$-мерного векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {F}_{q}$ из $q$ элементов?

Выяснить, какова размерность пространства вещественных квадратных матриц порядка $n$:

Какова размерность пространства всех многочленов $f(t)$ степени $\leqslant n$ от одной переменной с условием $f(1)=0$? Найти базис этого пространства.

Доказать, что сумма $U=U_{1}+U_{2}+\ldots +U_{m}$ является прямой в точности тогда, когда

Найти матрицу перехода от базиса $\left(1, t, \ldots , t^{n-1}\right)$ пространства $P_{n}$ к базису $\left(1,(t-\alpha ), \ldots ,(t-\alpha )^{n-1}\right)$ того же пространства.

Пусть $\theta$ — комплексный корень неприводимого над $\mathbb {Q}$ многочлена $f \in \mathbb {Q}{}[t]$. Найти размерность над $\mathbb {Q}$ пространства $\mathbb {Q}{}[\alpha ]=\left\langle 1, \theta , \ldots , \theta^{k}, \ldots \right\rangle_{\mathbb {Q}}$.

Доказать, что для прямых сумм не выполняется закон сокращения, т.е. из равенства сумм $U \oplus W_{1}=U \oplus W_{2}$ с одинаковым слагаемым $U$, вообще говоря, не следует, что $W_{1}=W_{2}$.

Выяснить, конечномерно ли факторпространство $\mathfrak {K}[t] / L$, где:

Доказать следующий аналог формулы Грассмана:

($U$ и $W$ — подпространства конечной коразмерности не обязательно конечномерного векторного пространства $V$).

Следуя терминологии примера 8 из § 1, выделим тривиальные полумагические матрицы

Возникает вопрос: каковы размерности $\operatorname {dim} \operatorname {SMag}_{n}(\mathbb {Q})$ и $\operatorname {dim} \operatorname {Mag}_{n}(\mathbb {Q})$? Очевидно, $\operatorname {SMag}_{2}(\mathbb {Q})=\langle E, D\rangle_{\mathbb {Q}}$. В этом случае $S=E+D$ — единственная с точностью до рационального множителя магическая матрица. При $n=3$ можно указать менее очевидную магическую матрицу

Вычислить указанные выше размерности при $n=3$ и $n=4$.

Доказать разложение в прямую сумму

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{k}$ — подпространства $n$-мерного векторного пространства $V$. Доказать, что если $\operatorname {dim} V_{1}+\ldots +\operatorname {dim} V_{k}>n(k-1)$, то $\bigcap_{i=1}^{k} U_{i} \neq \mathbf{0}$ (прямое обобщение утверждений, вытекающих из формулы (7)).