§ II.5.3

Проективные пространства

[3/0%]

LaTeX

Показать LaTeX

Задача II.5.3.1

(а)(б)(в)

В основе знаменитого кода Хэмминга $H$ длины 7 лежит конфигурация из семи точек и семи прямых проективной плоскости $\mathbb {F}_{2} \mathbb {P}^{2}\left(7=2^{2}+2+1\right)$ . Эта конфигурация схематично изображена на рис. 21.

В каждой строке матрицы инцидентности $J$ стоят по три единицы: они отвечают трём точкам на одной прямой. Каждая строка служит также кодовым словом в $H$ веса 3. Кодовые слова веса 4 составляют матрицу $\widetilde{J}$ ;

J=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \widetilde{J}=\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]

Рис. 21 и рис. 22

Матрица $\tilde{J}$ получается из $J$ заменой 0 на 1 и 1 на 0. Всего в $H$ имеется 16 кодовых слов. Мы выписали 14. Вот оставшиеся два: (0000000), (1111111).

(а)

Проверить, что код $H$ — суть четырёхмерное векторное подпространство в $\mathbb {F}_{2}^{7}$ , определённое линейной системой

$x_{1}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0, \quad x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{6}=0, \quad x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{7}=0$

(в каждом уравнении задействованы переменные, лежащие в одном из трёх кругов на рис. 22).

(б)

Доказать, что $P G L\left(\mathbb {F}_{2} \mathbb {P}^{2}\right)$ — неабелева группа порядка 168, которую можно реализовать перестановками степени 7, действующими на множестве точек проективной плоскости.

(в)

Доказать, что

P G L\left(\mathbb {F}_{2} \mathbb {P}^{2}\right)=\operatorname {Aut}(H):=\left\{ \sigma \in S_{7} \mid \sigma (H)=H\right\}

Задача II.5.3.2

Пусть $\Pi =\mathbb {F}_{2} \mathbb {P}^{2}$ — проективная плоскость, состоящая из семи точек, а $\widetilde{p}, \widetilde{q}$ — две различные точки плоскости П. Сколько существует автоморфизмов, переводящих $\widetilde{p}$ в $\widetilde{q}$ ?