Факторгруппы и гомоморфизмы

Вспомним определение из [ВА I, гл. 4, § 2, п. 4] внутреннего автоморфизма $I_{a}: g \mapsto a g a^{-1}$ и группы $\operatorname {Inn}(G) \subset \operatorname {Aut}(G)$. Показать, что $\operatorname {Inn}(G) \triangleleft \operatorname {Aut}(G)$ и $\operatorname {Inn}(G) \cong G / Z(G)$, где $Z(G)$ — центр группы $G$. Факторгруппа $\operatorname {Out}(G)=\operatorname {Aut}(G) / \operatorname {Inn}(G)$ называется группой внешних автоморфизмов.

Пусть $H$ и $K$ — подгруппы группы $G$. Показать, что

(аналог формулы, известной из теории линейных пространств). Показать, далее, что множество $H K$ будет подгруппой тогда и только тогда, когда $H K=K H$; в случае $K \triangleleft G$ это условие автоматически выполняется.

Составим для симметрической группы $S_{4}$ таблицу

аналогичную тем, которые мы использовали в только что рассмотренных примерах. Опираясь на достаточно очевидное соображение, что в любой группе нормальная подгруппа есть объединение некоторого множества сопряжённых классов, повторить данное нами в примере 2 описание нормальных подгрупп группы $S_{4}$.

Показать, что $Z(A \times B)=Z(A) \times Z(B)$.

Если $K_{1}, K_{2} \triangleleft G, K_{1} \cap K_{2}=e$, то $G$ изоморфна некоторой подгруппе в $\left(G / K_{1}\right) \times \left(G / K_{2}\right)$. Верно ли это?

Пусть $K \triangleleft G=A \times B$. Доказать, что либо подгруппа $K$ абелева, либо одно из пересечений $K \cap A, K \cap B$ нетривиально. Дать пример группы $A \times B$ с нетривиальной нормальной подгруппой $K$ такой, что $K \cap A=e$ и $K \cap B=e$. Тем самым из $K \triangleleft A \times B$, вообще говоря, не следует, что $K=(K \cap A) \times (K \cap B)$.

Является ли группа кватернионов $Q_{8}$ полупрямым произведением какихто двух своих собственных подгрупп?

Показать, что $H \triangleleft Q_{8}$ для любой собственной подгруппы $H \subset Q_{8}$.

Показать, что группы $D_{4}$ и $Q_{8}$ не изоморфны.

Показать, что $\operatorname {Aut}\left(D_{4}\right) \cong D_{4}$ (так как $\left|Z\left(D_{4}\right)\right|=2$, то, согласно упражнению $1,\left|\operatorname {Out}(G)\right|=2$).

Все комплексные корни из 1 степеней $p^{i}, i=0,1,2, \ldots$, образуют бесконечную группу $C\left(p^{\infty }\right)$. Она называется квазиииклической, поскольку любое конечное число её элементов порождает циклическую группу. Проверить это и показать, что

Пусть

где $n \in \mathbb {N}$. Доказать, что $n=1$, т. е. $b=e$ и фактически $G=\left\langle a \mid a^{3}=e\right\rangle -$ циклическая группа порядка 3.

Построить мономорфизм $f: S_{n} \longrightarrow \mathrm{GL}(n)$ такой, что матрица $f(\pi )$, $\pi \in S_{n}$, имеет определитель $\operatorname {det} f(\pi )=\varepsilon_{\pi }$.

Матрицы вида $f(\pi ), \pi \in S_{n}$, называются матрицами перестановок. Ограничение $f$ на $A_{n}$ является мономорфизмом в $\mathrm{SL}(n, \mathbb {R})$. Композиция $f \circ L$ отображений $L: G \longrightarrow S_{n}$ (теорема Кэли) и $f: S_{n} \longrightarrow \mathrm{GL}(n)$ приводит к мономорфизму $G \longrightarrow \mathrm{GL}(n)$ для любой конечной группы $G$.

Выписать отображение $f$ в явном виде при $n=3$.

Дополнить деталями следующее формальное определение свободной группы $F_{n}$ ранга $n$. K алфавиту $A=\left\{ a_{1}, a_{1}^{-1}, \ldots , a_{n}, a_{n}^{-1}\right\}$, состоящему из $n$ букв $a_{1}, \ldots , a_{n}$ и их "антиподов" $a_{1}^{-1}, \ldots , a_{n}^{-1}$, добавляется символ $e:=\varnothing$. Пусть $S-$ множество всех "слов", получающихся выписыванием этих $2 n+1$ символов в любом порядке в строки конечной длины. В словах допускаются повторения символов. Под произведением $u v$ двух слов $u, v$ понимается приписывание слова $v$ к концу слова $u$. Обратным к $u=a_{i_{1}}^{\varepsilon_{1}} \ldots a_{i_{m}}^{\varepsilon_{m}}, \varepsilon_{k}= \pm 1, k=1, \ldots , m$, называется слово $u^{-1}=a_{i_{m}}^{-\varepsilon_{m}} \ldots a_{i_{1}}^{-\varepsilon_{1}}, e^{-1}=e$. На $S$ вводится отношение эквивалентности. Именно, два слова считаются эквивалентными, если одно получается из другого в результате применения конечного числа следующих элементарных преобразований:

В каждом классе эквивалентности содержится одно-единственное "несократимое" (кратчайшее) слово. На классах эквивалентности по отношению определена ассоциативная операция умножения (и обращение классов), индуцированная умножением слов. Единицей будет класс эквивалентности "пустого" слова $e$. Множество классов эквивалентности с данной операцией умножения и есть как раз свободная группа $F_{n}$ с $n$ свободными образующими $a_{1}, \ldots , a_{n}$ (свободная группа ранга $n$.

Пример. По "восьмёрке", охватывающей своими петлями два столба, бегает в разных направлениях котёнок с нитяной шпулькой, укладывая последующие витки ниток поверх предыдущих. Когда котёнок находится в центре между столбами, то направление его движения может меняться произвольным образом. Пройденные им пути с начальными и конечными точками в центре интерпретируются, очевидно, как элементы свободной группы $F_{2}$ ранга 2.

Рис. 3

Несократимым словам отвечают натянутые нитки, освобождённые от тривиальных петель $a a^{-1}, a^{-1} a, b b^{-1}, b^{-1} b$. На рис. 3 участки $a$ и $a^{-1}, b$ и $b^{-1}$ изображены геометрически различными лишь для наглядности. Наш пример реализует $F_{2}$ в виде совокупности классов "гомотопически эквивалентных путей" (топологическая терминология) лемнискаты. В этом смысле фундаментальной группой лепестка, изображённого на рис. 6 в комментариях к 3.3 .2 в разделе ответов и решений, будет свободная группа $F_{5}$.