Неприводимые представления конечных групп

Получить соотношение (4), выписывая в явном виде выражение $t_{i j}=\left(\Gamma_{i}, \chi_{j}\right)_{G}$ для коэффициентов разложения $\Gamma_{i}=\sum_{j} t_{i j} \chi_{j}$ базисной центральной функции $\Gamma_{i}$ (см. (7) из § 4) через неприводимые характеры.

Проверить (и вспомнить об изоморфизме между векторным пространством $V$ и сопряжённым к нему пространством $V^{*}$ линейных функций), что отображение $\tau : A \longrightarrow \hat{\hat{A}}$, определённое условием

задаёт изоморфизм абелевой группы $A$ на $\hat{\hat{A}}$.

Это упражнение вместе с теоремой 4 устанавливает часть так называемого закона двойственности для конечных абелевых групп. Аналогичный, но гораздо более глубокий закон двойственности для топологических абелевых групп, приводящий к важным следствиям, был установлен в 30-х годах Л.С. Понтрягиным.

Доказать, что если конечная абелева группа $A$ допускает точное комплексное неприводимое представление, то $A$ — циклическая группа.

Пусть $A$ — конечная абелева группа, $B$ — её подгруппа. Доказать, что любой характер группы $B$ продолжается до характера группы $A$ и число таких продолжений равно индексу $(A: B)$.

Обосновать фразу перед заключительными скобками в В) из п. 4.

Чему равна средняя величина $\frac{1}{\left|G\right|} \sum_{g} \chi (g)$ значений комплексного характера $\chi$ на элементах конечной группы $G$?

Собрать из разных мест таблицы, относящиеся к группе $A_{5}$, в сводную таблицу характеров

Дать описание неприводимых представлений с характерами $\chi_{1}, \chi_{2}, \chi_{3}, \chi_{4}$. Заполнить последнюю строку таблицы, используя второе соотношение ортогональности (4) для характеров.

Пусть $P=\left\langle A^{i} B^{j} C^{k} ; 0 \leqslant i, j, k \leqslant p-1\right\rangle$ — группа порядка $p^{3}$, рассмотренная в упр. 3 из $\S 3$ гл. $1 ; V=\left\langle e_{0}, e_{1}, \ldots , e_{p-1}\right\rangle_{\mathbb {C}}$ — комплексное векторное пространство размерности $p ; \varepsilon$ — примитивный корень степени $p$ из $1 ; \mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ линейные операторы на $V$, определённые соотношениями

(нижние индексы у базисных элементов берутся по модулю $p$).

Показать, что отображение

задаёт линейное неприводимое представление группы $P$. Представления $\Phi^{(1)}, \ldots , \Phi^{(p-1)}$ попарно неэквивалентны и вместе с $p^{2}$ одномерными представлениями ($p^{2}$ — индекс коммутанта $P^{\prime }=\langle C\rangle$ в $P$) исчерпывают все неприводимые комплексные представления группы $P$.

Дополнить вычислениями следующее рассуждение. Пусть

• группа диэдра порядка $2 n$, свойства которой (включая описание классов сопряжённых элементов) даны в примере 1 из п. $5 \S 4$ гл. 1. Так как $\langle a\rangle \triangleleft D_{n}$, то отображениями $a \mapsto 1, b \mapsto 1$ и $a \mapsto 1, b \mapsto -1$ задаются два одномерных представления. Пусть $\varepsilon$ — примитивный корень $n$-й степени из 1. Тогда отображение

будет определять представление степени 2. Представление $\Phi^{(j)}$ неприводимо при $j=1,2, \ldots ,[(n-1) / 2]$ ([ $\alpha ]$ — целая часть вещественного числа $\alpha )$. При $n=2 m$ представление $\Phi^{(m)}$ распадается в прямую сумму двух одномерных представлений: $a \mapsto -1, b \mapsto 1$ и $a \mapsto -1, b \mapsto -1$. Это согласуется с тем фактом, что коммутант $D_{2 m}^{\prime }$ имеет индекс 4 в $D_{2 m}$ и $D_{2 m} / D_{2 m}^{\prime } \cong Z_{2} \times Z_{2}$. Все указанные представления неприводимы и составляют полное множество неприводимых комплексных представлений группы диэдра. Найти вещественную реализацию представлений $\Phi^{(j)}$. Указать в явном виде изоморфизм (эквивалентность) $\Phi^{(j)} \approx \Phi^{(k)}, k>m, j \leqslant m$.

Кристаллографические группы (к задаче 2 из § 2 гл. 1 в [ВА I]). Пусть $E-n$-мерное евклидово пространство и $V$ — ассоциированное с ним векторное пространство с евклидовым скалярным произведением. Всякому движению $d$ пространства $E$ отвечает ортогональное линейное преобразование $\bar{d} \subset O(n)$, причём так, что $\overline{d_{1} d_{2}}=\bar{d}_{1} \bar{d}_{2}$. Группа $D$ движений пространства называется кристаллографической группой, если $D$-орбита произвольной точки дискретна (не имеет предельных точек) и существует компактное множество $M \subset E$, для которого $D(M)=\bigcup_{d \in D} d(M)=E$. Справедлива теорема Шёнфлиса-Бибербаха, согласно которой кристаллографическая группа $D$ содержит $n$ независимых аффинных переносов, порождающих в $D$ нормальную подгруппу $L$, и $\bar{D} \cong D / L-$ конечная группа (точечная кристаллографическая группа). Всего геометрически различных точечных кристаллографических групп при $n=3$ имеется 32. Среди них, очевидно, должны быть группы, содержащие отражения (несобственные движения). Из условий кристаллографичности следует, что всякое собственное вращение из $\bar{D}$ изображается матрицей, подобной

$\operatorname {ctr} A=1+2 \cos \theta \in \mathbb {Z}$. Опираясь на теорему 2 из § 3 и на отмеченное соображение, показать, что при $n=3$ точечными кристаллографическими группами без отражений будут, лишь циклические $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{6}$, диэдральные $D_{2}, D_{3}, D_{4}, D_{6}$, группа тетраэдра $\mathbf{T}$ и группа куба (октаэдра) $\mathbf{O}$.