Представления групп $\operatorname{SU}(2)$ и $\operatorname{SO}(3)$

Построить $2 m+1$ линейно независимых однородных гармонических многочленов степени $m$.

Показать, что всякий однородный многочлен $f \in P_{m}$ записывается в виде линейной комбинации с коэффициентами, зависящими от $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, гармонических многочленов степеней $m, m-2, m-4, \ldots$

Вывести из упр. 2, что всякая полиномиальная функция $\tilde{g}:(X, Y, Z) \mapsto g(x, y, z)$ на сфере $S^{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ разлагается по сферическим функци$я м$ — ограничениям гармонических многочленов на $S^{2}$.

Показать, не обращаясь к полному описанию неприводимых представлений группы $\mathrm{SO}(3)$, что гомоморфизм $\tau : \mathrm{SO}(3) \longrightarrow \mathrm{SU}(2)$ может быть только тривиальным.