Теоретико-кольцевые конструкции

Показать, что кольцо $Q_{M}(\mathbb {Z})$ всех рациональных чисел $a / b$ с $b$, не делящимся на фиксированное простое число $p$, содержит единственный максимальный идеал

Всякое кольцо, обладающее единственным максимальным идеалом, называется локальным кольцом.

Показать, что в любом локальном кольце $K$ с максимальным идеалом $\mathfrak {m}$ элементы, не лежащие в $\mathfrak {m}$, обратимы.

Идеал р кольца $K$ с единицей называется простым, если факторкольцо $K / \mathfrak {p}$ целостно. Всякий максимальный идеал прост. Дополнение $M=K \backslash \mathfrak {p}$ в кольце $K$ является мультипликативным подмножеством (моноидом, не содержащим 0). Кольцо $Q_{M}(K)$ в этих условиях обозначается чаще символом $M^{-1} K$ или просто $K_{\mathfrak {p}}$.

Показать, что кольцо $K_{\mathfrak {p}}$ всегда локально и что его максимальный идеал $\mathfrak {m}_{\mathfrak {p}}$ состоит из частных вида $a / b$, где $a \in \mathfrak {p}, b \in K \backslash \mathfrak {p}$. Показать также, что $\mathfrak {m}_{\mathfrak {p}} \cap K=\mathfrak {p}$.

Операция перехода от $K$ к локальному кольцу $K_{\mathfrak {p}}$ называется локализацией кольца $K$ относительно простого идеала $\mathfrak {p}$.