§ III.4.5

Неприводимые модули над алгеброй Ли sl(2)\mathfrak{sl}(2)

[2/0%]
LaTeX
Задача III.4.5.1

Задать на VnV_{n} структуру su(2)\mathfrak {s u}(2)-модуля, используя формулы (2), возвращаясь к базисным элементам

k1=12(e−1+e2),k2=i2(e−1−e1),k3=−i2e0 \mathbf{k}_{\mathbf{1}}=\frac{1}{2}\left(e_{-1}+e_{2}\right), \quad \mathbf{k}_{2}=\frac{i}{2}\left(e_{-1}-e_{1}\right), \quad \mathbf{k}_{3}=-\frac{i}{2} e_{0}

и ставя им в соответствие линейные операторы K1,K2,K3K_{1}, K_{2}, K_{3}.

?
Задача III.4.5.2

Пусть L=⟨e−1,e0,e1⟩L=\left\langle e_{-1}, e_{0}, e_{1}\right\rangle — простая алгебра Ли с таблицей умножения (1) над алгебраически замкнутым полем FF характеристики p>2p>2. Рассмотрим квадратные матрицы порядка pp

E−1=[0γ10…0000γ2…00………………000…γp−20000…0γp−1γ000…00],E1=[00…00β10…00001…000………………00…10000…010],E0=[E−1,E1]=diag⁡(λ,λ+2,…,λ+2(p−2),λ+2(p−1)). \begin{aligned} E_{-1}= & \left[\begin{smallmatrix} 0 & \gamma _{1} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \gamma _{2} & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \gamma _{p-2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \gamma _{p-1} \\ \gamma _{0} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], E_{1}=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \beta \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \\ & E_{0}=\left[E_{-1}, E_{1}\right]=\operatorname {diag}(\lambda , \lambda +2, \ldots , \lambda +2(p-2), \lambda +2(p-1)). \end{aligned}

Проверить, что соответствие ei↦Ei,i=−1,0,1e_{i} \mapsto E_{i}, \quad i=-1,0,1, устанавливает неприводимое матричное представление алгебры Ли LL, зависящее от трёх параметров (λ,β,γ0)\left(\lambda , \beta , \gamma_{0}\right). При этом

γk=βγ0+kλ+k(k−1),k=1,2,…,p−1 \gamma _{k}=\beta \gamma _{0}+k \lambda +k(k-1), \quad k=1,2, \ldots , p-1

(Эта совершенно новая ситуация типична для представлений над полем конечной характеристики.)

?