Конечные расширения полей

Показать, что расширение $F \supset P$ простой степени не имеет собственных $(\neq P, F)$ подполей.

Найти примитивный элемент расширения $\mathbb {Q}(\sqrt{p}, \sqrt{q})$, где $p$ и $q$ — простые числа.

Найти размерность над $\mathbb {Q}$ поля разложения многочлена $X^{p}-2$.

Показать, что над полем $P$ характеристики $p>0$ для многочлена $X^{p}-a$ имеются лишь две возможности: быть неприводимым или же быть $p$-й степенью линейного многочлена.

Пусть $Z_{p}(Y)$ — поле рациональных дробей характеристики $p$. Показать, что $X^{p}-Y$ — неприводимый над $Z_{p}(Y)$ многочлен, все корни которого совпадают.