Конечные поля

Доказать, что при любом $d \mid n, d<n$, имеет место соотношение $X^{n}-1=\left(X^{d}-1\right) \Phi_{n}(X) h_{d}(X)$, где $h_{d} \in \mathbb {Z}{}[X]$.

Пусть $q$ — целое положительное число $>1$. Согласно (10) $\Phi_{n}(q) \in \mathbb {Z}$. Показать, что $\Phi_{n}(q) \mid (q-1) \Longrightarrow n=1$.

Проверить, что круговой многочлен

рассматриваемый над полем $\mathbb {F}_{2}$, является произведением двух неприводимых многочленов $X^{4}+X^{3}+1$ и $X^{4}+X+1$. Используя это обстоятельство, доказать неприводимость $\Phi_{15}(X)$ над $\mathbb {Q}$ (ср. с упр. 11 из [ВА I, гл. 6, § 1]).

Проверить следующие свойства круговых многочленов.

Если $p$ — простое число и $p \mid n$, то $\Phi_{p n}(X)=\Phi_{n}\left(X^{p}\right)$; если же $p \nmid n$, то $\Phi_{p n}(X)=\Phi_{n}\left(X^{p}\right) / \Phi_{n}(X)$.

Исходя из цепочки естественных включений

ввести так называемое предельное поле $\Omega_{p}=G F\left(p^{\infty }\right)$, полагая

Опираясь на основные свойства конечных полей, доказать, что $\Omega_{p}$ — алгебраически замкнутое поле. Таким образом получаются, с учётом поля комплексных чисел $\mathbb {C}$ примеры алгебраически замкнутых полей любой характеристики.

Пусть $q=p^{n}$. Показать, что при $p=2$ все элементы поля $\mathbb {F}_{q}$ являются квадратами, а при $p>2$ квадраты группы $\mathbb {F}_{q}^{*}$ образуют в ней подгруппу $\mathbb {F}_{q}^{* 2}$ индекса 2, причём $\mathbb {F}_{q}^{* 2}=\operatorname {Ker}\left(t \mapsto t^{(q-1) / 2}\right)$.

Пусть $\mathbb {F}_{q}$ — конечное поле с нечётным числом $q=p^{n}$ элементов. Если q не равно 3 или 5, то "на окружности" $x^{2}+y^{2}=1$ найдётся точка с координатами $x, y \in \mathbb {F}_{q}^{*}$. Доказать это утверждение при $p>5$.

Всякий ли примитивный элемент поля $\mathbb {F}_{q}$ является образующей мультипликативной группы $\mathbb {F}_{q}^{*}$?

Пусть $A(q)=\operatorname {Ass}_{F}\left(X_{1}, \ldots , X_{q}\right)$ — свободная ассоциативная алгебра над полем $F$, порождённая $q$ свободными образующими — некоммутирующими переменными $X_{1}, \ldots , X_{q}$. Положив

мы замечаем, что $A(q)$ — градуированная алгебра:

В $A(q)$ содержится свободная алгебра Ли $L(q)=\operatorname {Lie}\left(X_{1}, \ldots , X_{q}\right)$ с теми же свободными образующими и операцией коммутирования $[U V]=U V-V U$. Алгебра $L(q)$ также градуирована:

где

Используя тождество Якоби, убедиться в том, что

На самом деле справедлива общая формула Витта

в точности совпадающая с формулой (12). Существенная разница лишь в том, что в (12') $q$ — произвольное натуральное число, а в (12) — степень простого числа.

Число ожерелий из задачи 2 в преамбуле к гл. 3 выражается такой же формулой.