Жёсткость и рациональность в конечных группах

Пусть $G, H$ — конечные группы с сильно жёсткими семействами

Показать, что тогда

• сильно жёсткое семейство в $G \times H$.

Пусть $\sigma$ — внешний автоморфизм конечной группы, и пусть ($\mathcal{K}_{1}, \ldots , \mathcal{K}_{m}$) — жёсткое семейство классов сопряжённости в $G$. Показать, что тогда $\sigma \left(\mathcal{K}_{i}\right) \neq \mathcal{K}_{i}$ для некоторого $i$.

Показать, что в знакопеременной группе $A_{5}$ с известными нам классами сопряжённости $1 A, 2 A, 3 A, 5 A, 5 B$ тройки

являются сильно жёсткими. Отсюда следует, что $A_{5} \cong \mathrm{Gal} F / \mathbb {Q}(\sqrt{5})$.

Обозначим через $K_{1}(z)$ число представлений элемента $z$ конечной группы $G$ в виде коммутатора, т.е. число решений уравнения $z=x y x^{-1} y^{-1}$. Показать, что

Более общо: если $K_{m}(z)$ — число решений уравнения

то