Комплексные числа

Вычислить:

Записать в тригонометрической и показательной форме комплексное число $z$:

Найти все корни уравнения:

Решить систему уравнений:

Решить уравнение:

Пусть $z = z_{0}$ — корень многочлена $P(z)$ с действительными коэффициентами. Доказать, что $P\left(\bar{z}_{0}\right) = 0$, т. е. $\bar{z}_{0}$ — корень многочлена $P(z)$.

Пусть $z_{1}$ и $z_{2}$ — фиксированные точки комплексной плоскости. Дать геометрическое описание множества всех точек $z$, удовлетворяющих уравнению:

Пусть $\Delta_{1}$ — треугольник с вершинами $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, а $\Delta_{2}$ — треугольник с вершинами $w_{1}, w_{2}, w_{3}$. Доказать, что треугольник $\Delta_{1}$ подобен треугольнику $\Delta_{2}$, если

Выяснить, какая линия на плоскости задается уравнением:

Выяснить, какое множество точек $z$ комплексной плоскости удовлетворяет неравенству:

Пусть $A$ и $C$ действительные, а $B$ — комплексная постоянные и пусть $A C < |B|^{2}$. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности, а также найти центр этой окружности и ее радиус.

Доказать, что уравнение окружности, проходящей через три данные точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, не лежащие на одной прямой, можно записать в виде

Доказать, что при любом положительном значении $K$, отличном от 1, уравнение $\left|\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right| = K$ является уравнением окружности, а также найти центр этой окружности и ее радиус.

Доказать, что четыре попарно различные точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ лежат на одной окружности (или на одной прямой) в том и только в том случае, когда величина $\frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}: \frac{z_{2}-z_{4}}{z_{3}-z_{4}}$ действительна.

Пусть $a$ — произвольное комплексное число, удовлетворяющее условию $\operatorname {Im} a > 0$. Доказать, что величина $\left|\frac{z-a}{z-\bar{a}}\right|$ в нижней полуплоскости больше единицы, в верхней полуплоскости меньше единицы, а на действительной оси — равна единице.

Пусть $a$ — произвольное действительное число. Доказать, что если многочлен $P(z) = z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots +a_{n}$ имеет $n$ действительных корней, то и многочлен $Q(z) = P(z+i a)+P(z-i a)$ имеет $n$ действительных корней.

Найти на отрезке, соединяющем точки $z_{1}$ и $z_{2}$, точку, которая делит этот отрезок в отношении $\lambda_{1}: \lambda_{2}$, где $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ — положительные числа.

Доказать, что три попарно различные точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда величина $\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$ действительна.

Доказать, что точка $\zeta$ лежит на отрезке, соединяющем точки $z_{1}$ и $z_{2}$, в том и только в том случае, когда существует такое число $\alpha , 0 \leqslant \alpha \leqslant 1$, что $\zeta = \alpha z_{1}+(1-\alpha ) z_{2}$.

Пусть в точках $z_{1}, \ldots , z_{n}$ комплексной плоскости помещены материальные точки с массами $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$, соответственно. Доказать, что центр тяжести такой системы материальных точек находится в точке $\zeta = \frac{\lambda_{1} z_{1}+\ldots +\lambda_{n} z_{n}}{\lambda_{1}+\ldots +\lambda_{n}}$.

Пусть точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ лежат на окружности с центром в точке $z = 0$. Доказать, что треугольник с вершинами в точках $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ является равносторонним в том и только в том случае, когда $z_{1}+z_{2}+z_{3} = 0$.

Доказать, что точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$, лежащие на одной окружности, являются вершинами прямоугольника в том и только в том случае, когда $z_{1}+z_{3} = z_{2}+z_{4}$ (точки занумерованы в порядке следования при обходе окружности).

Даны три вершины $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ параллелограмма, занумерованные в порядке следования по его границе. Найти четвертую вершину $z_{4}$ параллелограмма.

Доказать, что при любых $z \in \mathbb {C}$ справедливо равенство

Доказать, что для любых $z_{1} \in \mathbb {C}, z_{2} \in \mathbb {C}$ справедливы равенства:

Доказать, что величина

неотрицательна при любых $\lambda \in \mathbb {C}, \mu \in \mathbb {C}$ в том и только в том случае, когда выполнены условия

Доказать, что при любых $z_{k} \in \mathbb {C}, \zeta_{k} \in \mathbb {C}(k = 1,2, \ldots , n)$ имеет место неравенство

(неравенство Коши-Буняковского-Швариа).

Доказать, что при любых $z_{k} \in \mathbb {C}(k = 1,2, \ldots , n)$ имеет место неравенство

Пусть $0 < s^{\prime } < s$. Доказать, что для любых $z_{k} \in \mathbb {C}(k = 1,2, \ldots , n)$ справедливо неравенство

Пусть $s > 0$. Доказать, что для любых отличных от нуля $z_{k} \in \mathbb {C} (k = 1,2, \ldots , n)$ справедливо неравенство

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — произвольные комплексные числа. Доказать, что:

Пусть $p > 1, q > 1$, а $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$. Доказать, что для любых $z_{k} \in \mathbb {C}, \zeta_{k} \in \mathbb {C} (k = 1,2, \ldots , n)$ имеет место неравенство

(неравенство Гёльдера).