Сборник задач по теории функций комплексного переменного

Глава 1

Введение

[124/34%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

2 · Последовательности и ряды комплексных чисел. Комплекснозначные функции действительного переменного. Кривые и области на комплексной плоскости

3 · Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Интегрирование функции комплексного переменного

4 · Равномерная сходимость. Степенные ряды

1 · Комплексные числа[32/31%]

Задача 1.1

(1)(2)(3)(4)

Вычислить:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$(1+2 i)(2-i)+(1-2 i)(2+i)$ ;

(2)

$\frac{5}{1+2 i}+\frac{5}{2-i}$ ;

(3)

$\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{3}$ ;

(4)

$\frac{(1+2 i)^{2}-(1-i)^{3}}{(3+2 i)^{3}-(2+i)^{2}}$ .

Задача 1.2

(1)(2)(3)(4)

Записать в тригонометрической и показательной форме комплексное число $z$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$z = 1+i^{121}$ ;

(2)

$z = (-3+4 i)^{3}$ ;

(3)

$z = 1+\cos \frac{\pi }{7}+i \sin \frac{\pi }{7}$ ;

(4)

$z = \frac{(1+i)^{9}}{(1-i \sqrt{3})^{6}}$ .

Задача 1.3

(1)(2)(3)(4)

Найти все корни уравнения:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\bar{z} = z^{3}$ ;

(2)

$\left|z\right|-z = 1+2 i$ ;

(3)

$z+\left|z+1\right|+i = 0$ ;

(4)

$|z|^{2}-2 i z+2 i = 0$ .

Задача 1.4

(1)(2)

Решить систему уравнений:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\begin{cases} \left|z-2 i\right| = z, \\ \left|z-i\right| = \left|z-1\right| ;\end{cases}$

(2)

$\begin{cases} \left|z^{2}-2 i\right| = 4, \\ \left|z+1+i\right| = \left|z-1-i\right|.\end{cases}$

Задача 1.5

(1)(2)(3)(4)

Решить уравнение:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$z^{2} = -i$ ;

(2)

$z^{6} = 64$ ;

(3)

$z^{7} = -1$ ;

(4)

$z^{8} = 1+i$ .

Задача 1.6

Пусть $z = z_{0}$ — корень многочлена $P(z)$ с действительными коэффициентами. Доказать, что $P\left(\bar{z}_{0}\right) = 0$ , т. е. $\bar{z}_{0}$ — корень многочлена $P(z)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.7

(1)(2)(3)(4)

Пусть $z_{1}$ и $z_{2}$ — фиксированные точки комплексной плоскости. Дать геометрическое описание множества всех точек $z$ , удовлетворяющих уравнению:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left|z-z_{1}\right| = \left|z-z_{2}\right|$ ;

(2)

$\left|z-1\right| = \left|\operatorname {Re} z\right|$ ;

(3)

$\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right| = 2 a$ , где $a > \frac{1}{2}\left|z_{2}-z_{1}\right|$ ;

(4)

$\left|\left|z-z_{1}\right|-\left|z-z_{2}\right|\right| = 2 a$ , где $a < \frac{1}{2}\left|z_{2}-z_{1}\right|$ .

Задача 1.8

Пусть $\Delta_{1}$ — треугольник с вершинами $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ , а $\Delta_{2}$ — треугольник с вершинами $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ . Доказать, что треугольник $\Delta_{1}$ подобен треугольнику $\Delta_{2}$ , если

\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}} = \frac{w_{3}-w_{1}}{w_{2}-w_{1}}.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.9

(1)(2)(3)(4)

Выяснить, какая линия на плоскости задается уравнением:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\operatorname {Re} \frac{1}{z} = \frac{1}{a}(a > 0)$ ;

(2)

$\operatorname {Re} \frac{z-1}{z+1} = 0$ ;

(3)

$\operatorname {Im} \frac{z-1}{z+1} = 0$ ;

(4)

$\operatorname {Re} \frac{z-a}{z+a} = 0 \quad (a > 0)$ .

Задача 1.10

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

Выяснить, какое множество точек $z$ комплексной плоскости удовлетворяет неравенству:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left|z-i\right|+\left|z+i\right| < 4$ ;

(2)

$\operatorname {Re} \frac{1}{z} < \frac{1}{2}$ ;

(3)

$\left|z-2\right|-\left|z+2\right| < 2$ ;

(4)

$\left|1+z\right| < \left|1-z\right|$ ;

(5)

$0 < \arg \frac{i-z}{z+i} < \frac{\pi }{2}$ ;

(6)

$\operatorname {Re}(z(1-i)) < \sqrt{2}$ ;

(7)

$\frac{\pi }{4} < \arg (z+i) < \frac{\pi }{2}$ ;

(8)

$\left|z\right| > 1-\operatorname {Re} z$ ;

(9)

$\operatorname {Re} z^{4} > \operatorname {Im} z^{4}$ .

Задача 1.11

Пусть $A$ и $C$ действительные, а $B$ — комплексная постоянные и пусть $A C < |B|^{2}$ . Доказать, что уравнение

A|z|^{2}+\bar{B} z+B \bar{z}+C = 0 \quad (A > 0)

является уравнением окружности, а также найти центр этой окружности и ее радиус.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.12

Доказать, что уравнение окружности, проходящей через три данные точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ , не лежащие на одной прямой, можно записать в виде

\left[\begin{smallmatrix} |z|^{2} & z & \bar{z} & 1 \\ \left|z_{1}\right|^{2} & z_{1} & \bar{z}_{1} & 1 \\ \left|z_{2}\right|^{2} & z_{2} & \bar{z}_{2} & 1 \\ \left|z_{3}\right|^{2} & z_{3} & \bar{z}_{3} & 1 \end{smallmatrix}\right] = 0

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.13

Доказать, что при любом положительном значении $K$ , отличном от 1, уравнение $\left|\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right| = K$ является уравнением окружности, а также найти центр этой окружности и ее радиус.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.14

Доказать, что четыре попарно различные точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ лежат на одной окружности (или на одной прямой) в том и только в том случае, когда величина $\frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}: \frac{z_{2}-z_{4}}{z_{3}-z_{4}}$ действительна.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.15

Пусть $a$ — произвольное комплексное число, удовлетворяющее условию $\operatorname {Im} a > 0$ . Доказать, что величина $\left|\frac{z-a}{z-\bar{a}}\right|$ в нижней полуплоскости больше единицы, в верхней полуплоскости меньше единицы, а на действительной оси — равна единице.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.16

Пусть $a$ — произвольное действительное число. Доказать, что если многочлен $P(z) = z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots +a_{n}$ имеет $n$ действительных корней, то и многочлен $Q(z) = P(z+i a)+P(z-i a)$ имеет $n$ действительных корней.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.17

Найти на отрезке, соединяющем точки $z_{1}$ и $z_{2}$ , точку, которая делит этот отрезок в отношении $\lambda_{1}: \lambda_{2}$ , где $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ — положительные числа.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.18

Доказать, что три попарно различные точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда величина $\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$ действительна.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.19

Доказать, что точка $\zeta$ лежит на отрезке, соединяющем точки $z_{1}$ и $z_{2}$ , в том и только в том случае, когда существует такое число $\alpha , 0 \leqslant \alpha \leqslant 1$ , что $\zeta = \alpha z_{1}+(1-\alpha ) z_{2}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.20

Пусть в точках $z_{1}, \ldots , z_{n}$ комплексной плоскости помещены материальные точки с массами $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ , соответственно. Доказать, что центр тяжести такой системы материальных точек находится в точке $\zeta = \frac{\lambda_{1} z_{1}+\ldots +\lambda_{n} z_{n}}{\lambda_{1}+\ldots +\lambda_{n}}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.21

Пусть точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ лежат на окружности с центром в точке $z = 0$ . Доказать, что треугольник с вершинами в точках $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ является равносторонним в том и только в том случае, когда $z_{1}+z_{2}+z_{3} = 0$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.22

Доказать, что точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ , лежащие на одной окружности, являются вершинами прямоугольника в том и только в том случае, когда $z_{1}+z_{3} = z_{2}+z_{4}$ (точки занумерованы в порядке следования при обходе окружности).

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.23

Даны три вершины $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ параллелограмма, занумерованные в порядке следования по его границе. Найти четвертую вершину $z_{4}$ параллелограмма.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.24

Доказать, что при любых $z \in \mathbb {C}$ справедливо равенство

\left|\sqrt{z^{2}-1}+z\right|+\left|\sqrt{z^{2}-1}-z\right| = \left|z-1\right|+\left|z+1\right|.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.25

(1)(2)

Доказать, что для любых $z_{1} \in \mathbb {C}, z_{2} \in \mathbb {C}$ справедливы равенства:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left|z_{1} \bar{z}_{2}+1\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2} = \left(\left|z_{1}\right|^{2}+1\right)\left(\left|z_{2}\right|^{2}+1\right)$ ;

(2)

$\left|z_{1} \bar{z}_{2}-1\right|^{2}-\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2} = \left(\left|z_{1}\right|^{2}-1\right)\left(\left|z_{2}\right|^{2}-1\right)$ .

Задача 1.26

Доказать, что величина

A|\lambda |^{2}+B \lambda \bar{\mu }+\bar{B} \bar{\lambda } \mu +C|\mu |^{2}

неотрицательна при любых $\lambda \in \mathbb {C}, \mu \in \mathbb {C}$ в том и только в том случае, когда выполнены условия

A \geqslant 0, \quad C \geqslant 0, \quad |B|^{2} \leqslant A C.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.27

Доказать, что при любых $z_{k} \in \mathbb {C}, \zeta_{k} \in \mathbb {C}(k = 1,2, \ldots , n)$ имеет место неравенство

\left|\sum _{k = 1}^{n} z_{k} \zeta _{k}\right|^{2} \leqslant \sum _{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2} \cdot \sum _{k = 1}^{n}\left|\zeta _{k}\right|^{2}

(неравенство Коши-Буняковского-Швариа).

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.28

Доказать, что при любых $z_{k} \in \mathbb {C}(k = 1,2, \ldots , n)$ имеет место неравенство

\left|\sum _{k = 1}^{n} z_{k}\right| \leqslant \sqrt{n \sum _{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}}.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.29

Пусть $0 < s^{\prime } < s$ . Доказать, что для любых $z_{k} \in \mathbb {C}(k = 1,2, \ldots , n)$ справедливо неравенство

\left\{ \frac{1}{n} \sum _{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{s}\right\} ^{1 / s} \geqslant \left\{ \frac{1}{n} \sum _{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{s^{\prime }}\right\} ^{1 / s^{\prime }}.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.30

Пусть $s > 0$ . Доказать, что для любых отличных от нуля $z_{k} \in \mathbb {C} (k = 1,2, \ldots , n)$ справедливо неравенство

\sqrt[n]{\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right| \cdots \left|z_{n}\right|} \leqslant \left\{ \frac{1}{n} \sum _{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{s}\right\} ^{1 / s}.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 1.31

(1)(2)

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — произвольные комплексные числа. Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left(\sum_{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|\right)^{p} \leqslant n^{p-1} \sum_{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{p}, \quad p \geqslant 1 ;$

(2)

$\left(\sum_{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|\right)^{p} \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{p}, \quad 0 < p \leqslant 1$ .

Задача 1.32

Пусть $p > 1, q > 1$ , а $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ . Доказать, что для любых $z_{k} \in \mathbb {C}, \zeta_{k} \in \mathbb {C} (k = 1,2, \ldots , n)$ имеет место неравенство

\left|\sum _{k = 1}^{n} z_{k} \zeta _{k}\right| \leqslant \left(\sum _{k = 1}^{n}\left|z_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}\left(\sum _{k = 1}^{n}\left|\zeta _{k}\right|^{q}\right)^{1 / q}

(неравенство Гёльдера).

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

2 · Последовательности и ряды комплексных чисел. Комплекснозначные функции действительного переменного. Кривые и области на комплексной плоскости[50/22%]

Задача 2.1

(1)(2)(3)(4)

Доказать сходимость последовательности и найти ее предел:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left\{ \frac{a^{n}}{1+a^{2 n}}\right\} ,\left|a\right| < 1$ ;

(2)

$\left\{ \frac{a^{n}}{1+a^{2 n}}\right\} ,\left|a\right| > 1$ ;

(3)

$\left\{ \frac{1}{n}\left(1+e^{i \varphi }+\ldots +e^{i n \varphi }\right)\right\} , 0 < \varphi < 2 \pi$ ;

(4)

$\left\{ \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1-e^{i \varphi }+e^{2 i \varphi }-\ldots +(-1)^{n} e^{i n \varphi }\right)\right\} ,-\pi < \varphi < \pi$ .

Задача 2.2

Доказать, что если $\left|z_{n}\right| \leqslant M < \infty$ при $n > n_{0}$ , то из последовательности $\left\{ z_{n}\right\}$ можно выбрать подпоследовательность $\left\{ z_{n_{k}}\right\}$ , сходящуюся к конечному пределу.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.3

Пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = A \neq \infty$ . Доказать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}}{n} = A.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.4

Пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = A \neq \infty , \lim_{n \rightarrow \infty } \zeta_{n} = B \neq \infty$ . Доказать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{z_{1} \zeta _{n}+z_{2} \zeta _{n-1}+\ldots +z_{n} \zeta _{1}}{n} = A B.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.5

Пусть числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ положительны и пусть

\lim _{n \rightarrow \infty }\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{n}\right) = +\infty

Доказать, что из равенства $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = A \neq \infty$ следует равенство

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\lambda _{1} z_{1}+\lambda _{2} z_{2}+\ldots \lambda _{n} z_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{n}} = A.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.6

Доказать, что для сходимости последовательности $\left\{ z_{n}\right\}$ к бесконечности необходимо и достаточно, чтобы сходилась к $+\infty$ последовательность действительных чисел $\left\{ \left|z_{n}\right|\right\}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.7

Доказать, что $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = \infty$ в том и только в том случае, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{z_{n}} = 0$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.8

Выберем в пространстве систему координат $\xi , \eta , \zeta$ таким образом, чтобы оси $O \xi$ и $O \eta$ совпадали с осями $O x$ и $O y$ комплексной плоскости, а ось $O \zeta$ была направлена по диаметру сферы Римана (рис. 2.2). Пусть $x = \operatorname {Re} z$ , $y = \operatorname {Im} z$ , а точка $M(z)$ имеет пространственные координаты $(\xi , \eta , \zeta )$ . Доказать формулы:

\begin{gathered} \xi = \frac{x}{1+|z|^{2}}, \quad \eta = \frac{y}{1+|z|^{2}}, \quad \zeta = \frac{|z|^{2}}{1+|z|^{2}} \\ x = \frac{\xi \zeta }{\xi ^{2}+\eta ^{2}}, \quad y = \frac{\eta \zeta }{\xi ^{2}+\eta ^{2}} \end{gathered}

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.9

(1)(2)(3)

Пусть точка $M(z)$ имеет пространственные координаты $(\xi , \eta , \zeta )$ . Найти пространственные координаты точки $M$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$M(-z)$ ;

(2)

$M(\bar{z})$ ;

(3)

$M\left(\frac{1}{z}\right)$ .

Задача 2.10

(1)(2)(3)(4)

Дать геометрическое описание множеств сферы Римана, отвечающих следующим множествам комплексной плоскости:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\operatorname {Re} z > 0$ ;

(2)

$\operatorname {Im} z < 0$ ;

(3)

$\left|z\right| > 1$ ;

(4)

$\left|z\right| < 1$ .

Задача 2.11

Доказать, что отличные от точек $O$ и $N$ точки $M\left(z_{1}\right)$ и $M\left(z_{2}\right)$ сферы Римана диаметрально противоположны в том и только в том случае, когда точки $z_{1}$ и $z_{2}$ связаны условием $z_{1} \bar{z}_{2} = -1$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.12

Доказать, что окружности на сфере Римана отвечает на комплексной плоскости или окружность, или прямая, причем прямая получается в том и только в том случае, когда окружность на сфере Римана проходит через ее верхний полюс $N$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.13

(1)(2)(3)(4)

Найти значения параметра $a$ , при которых окружности комплексной плоскости отвечают большим кругам на сфере Римана:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left|z-a\right| = a \quad (a > 0)$ ;

(2)

$\left|z+\frac{a}{2}\right| = a \quad (a > 0)$ ;

(3)

$\left|z-i\right| = a \quad (a > 0)$ ;

(4)

$\left|z-2 a i\right| = a \quad (a > 0)$ .

Задача 2.14

(1)(2)

Расстояние в пространстве между точками $M\left(z_{1}\right)$ и $M\left(z_{2}\right)$ называется $x o p$ дальным расстоянием между точками $z_{1}$ и $z_{2}$ расширенной комплексной плоскости и обозначается символом $k\left(z_{1}, z_{2}\right)$ . Доказать формулы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$k\left(z_{1}, z_{2}\right) = \frac{\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\sqrt{1+\left|z_{1}\right|^{2}} \cdot \sqrt{1+\left|z_{2}\right|^{2}}} \quad \left(z_{1} \neq \infty , z_{2} \neq \infty \right)$ ;

(2)

$k\left(z_{1}, \infty \right) = \frac{1}{\sqrt{1+\left|z_{1}\right|^{2}}}$ .

Задача 2.15

(1)(2)(3)(4)

Дать геометрическое описание множества точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$k(z, 0) < R, 0 < R < 1$ ;

(2)

$k(z, \infty ) < R, \quad 0 < R < 1$ ;

(3)

$k(z, i) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ;

(4)

$\frac{1}{2} < k(z, 1) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Задача 2.16

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } z_{n}$ абсолютно сходится, если выполнено одно из условий:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left|z_{n}\right| < M \rho^{n} \quad \left(n > n_{0}, \quad M > 0, \quad 0 < \rho < 1\right)$ ;

(2)

$\lim_{n \rightarrow \infty }\left|\frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right| = \rho < 1$ ;

(3)

$\left|z_{n}\right| < M n^{-\alpha } \quad \left(n > n_{0}, \quad M > 0, \alpha > 1\right)$ ;

(4)

$\left|z_{n}\right| < \frac{M}{n(\ln n)^{\alpha }}\left(n > n_{0}, \quad M > 0, \quad \alpha > 1\right)$ .

Задача 2.17

(1)(2)(3)

Доказать абсолютную сходимость ряда:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n^{\alpha } z^{n}, \quad \left|z\right| < 1, \quad \alpha \in \mathbb {R} ;$

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n!}{n^{n}} z^{n},\left|z\right| < e$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(2 n-1)!}{(n!)^{2}} \frac{z^{n}}{1+z^{n}}, \quad \left|z\right| \leqslant \frac{1}{4}$ .

Задача 2.18

Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел таких, что $\lambda_{k+1} \leqslant \lambda_{k} \quad (k \in \mathbb {N}), \quad \lim_{n \rightarrow \infty } \lambda_{n} = 0$ , а $\left\{ z_{n}\right\}$ — такая последовательность комплексных чисел, что $\left|\sum_{k = 1}^{n} z_{k}\right| \leqslant M, M > 0, n \in \mathbb {N}$ . Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n} z_{n}$ сходится.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.19

(1)(2)(3)

Найти все значения $\alpha \in \mathbb {R}$ , при которых сходится ряд:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n^{-\alpha } e^{i n}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n^{-\alpha } e^{i \pi / n}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left(n^{2}+1\right)^{-\alpha }\left(e^{i \pi / n}-1\right)$ .

Задача 2.20

(1)(2)(3)(4)

Убедиться в дифференцируемости следующих функций и найти их производные:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$(1+i t)^{2}, t \in \mathbb {R}$ ;

(2)

$\frac{1}{t+i}, t \in \mathbb {R}$ ;

(3)

$(1+i \sqrt{t})^{3}, t > 0$ ;

(4)

$e^{i t}, t \in \mathbb {R}$ .

Задача 2.21

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Вычислить интеграл:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\int_{0}^{1}(1+i t)^{2} d t$ ;

(2)

$\int_{0}^{1}(a+(b-a) t)^{n} d t, \quad n = 0,1, \ldots$ ;

(3)

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{1+i t}$ ;

(4)

$\int_{0}^{1} \frac{1+i t}{1-i t} d t$ ;

(5)

$\int_{0}^{\pi } e^{-i t} d t$ ;

(6)

$\int_{-\pi }^{\pi } e^{i n t} d t, \quad n = \pm 1, \pm 2, \ldots$

Задача 2.22

(1)(2)(3)(4)

Пусть функции $z_{1}(t)$ и $z_{2}(t)$ дифференцируемы. Доказать формулы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\frac{d}{d t}\left[z_{1}(t)+z_{2}(t)\right] = z_{1}^{\prime }(t)+z_{2}^{\prime }(t)$ ;

(2)

$\frac{d}{d t}\left[z_{1}(t) z_{2}(t)\right] = z_{1}(t) z_{2}^{\prime }(t)+z_{1}^{\prime }(t) z_{2}(t)$ ;

(3)

$\frac{d}{d t}\left[z_{1}(t)\right]^{n} = n\left[z_{1}(t)\right]^{n-1} z_{1}^{\prime }(t), n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ ;

(4)

$\frac{d}{d t} \frac{z_{1}(t)}{z_{2}(t)} = \frac{z_{2}(t) z_{1}^{\prime }(t)-z_{2}^{\prime }(t) z_{1}(t)}{\left[z_{2}(t)\right]^{2}}, \quad z_{2}(t) \neq 0$ .

Задача 2.23

Пусть $\varphi (t)$ — действительная функция, дифференцируемая в точке $t_{0}$ , а $z(t)$ — комплекснозначная функция, дифференцируемая в точке $\varphi \left(t_{0}\right)$ . Доказать, что функция $z_{1}(t) = z(\varphi (t))$ дифференцируема в точке $t_{0}$ и что $z_{1}^{\prime }\left(t_{0}\right) = z^{\prime }\left(\varphi \left(t_{0}\right)\right) \varphi^{\prime }\left(t_{0}\right)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.24

(1)(2)(3)

Пусть функция $z(t)$ дифференцируема и отлична от нуля. Доказать формулы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\frac{d}{d t}\left|z(t)\right| = \left|z(t)\right| \operatorname {Re} \frac{z^{\prime }(t)}{z(t)} ;$

(2)

$\frac{d}{d t} \arg z(t) = \operatorname {Im} \frac{z^{\prime }(t)}{z(t)}$ ;

(3)

$\frac{d}{d t} \frac{z(t)}{\left|z(t)\right|} = i \frac{z(t)}{\left|z(t)\right|} \operatorname {Im} \frac{z^{\prime }(t)}{z(t)}$ .

Задача 2.25

Пусть действительная функция $\varphi (t)$ монотонна и непрерывно дифференцируема на отрезке $[a, b]$ , а комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна на отрезке $[\varphi (a), \varphi (b)]$ . Доказать, что

\int _{a}^{b} z(\varphi (t)) \varphi ^{\prime }(t) d t = \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)} z(t) d t

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.26

(1)(2)(3)(4)

Пусть комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна на отрезке $a \leqslant t \leqslant b$ . Доказать неравенства:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left|\int_{a}^{b} z(t) d t\right| \leqslant \int_{a}^{b}\left|z(t)\right| d t ;$

(2)

$\left|\int_{a}^{b} z(t) d t\right| \leqslant (b-a) \max_{a \leqslant t \leqslant b}\left|z(t)\right|$ ;

(3)

$\left|\int_{a}^{b} z(t) d t\right| \geqslant \left|\int_{a}^{b} \operatorname {Re} z(t) d t\right|$ ;

(4)

$\left|\int_{a}^{b} z(t) d t\right| \geqslant \left|\int_{a}^{b} \operatorname {Im} z(t) d t\right|$ .

Задача 2.27

(1)(2)(3)(4)

Пусть $z(t)$ и $\zeta (t)$ — комплекснозначные функции, непрерывные на отрезке $a \leqslant t \leqslant b$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

справедливо неравенство Коши-Буняковского-Шварца:

\left|\int _{a}^{b} z(t) \zeta (t) d t\right|^{2} \leqslant \int _{a}^{b}|z(t)|^{2} d t \cdot \int _{a}^{b}|\zeta (t)|^{2} d t

(2)

при $p > 1, q > 1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ выполняется неравенство Гёльдера:

\left|\int _{a}^{b} z(t) \zeta (t) d t\right| \leqslant \left\{ \int _{a}^{b}|z(t)|^{p} d t\right\} ^{1 / p} \cdot \left\{ \int _{a}^{b}|\zeta (t)|^{q} d t\right\} ^{1 / q}

(3)

при $p > 1$ справедливо неравенство Минковского:

\left\{ \int _{a}^{b}|z(t)+\zeta (t)|^{p} d t\right\} ^{1 / p} \leqslant \left\{ \int _{a}^{b}|z(t)|^{p} d t\right\} ^{1 / p}+\left\{ \int _{a}^{b}|\zeta (t)|^{p} d t\right\} ^{1 / p}

(4)

при $0 < p < 1$ выполняется другое неравенство Минковского:

\int _{a}^{b}|z(t)+\zeta (t)|^{p} d t \leqslant \int _{a}^{b}|z(t)|^{p} d t+\int _{a}^{b}|\zeta (t)|^{p} d t

Задача 2.28

Пусть комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна на отрезке $[0,1]$ и пусть $z(0) \neq 0$ . Доказать, что несобственный интеграл $\int_{0}^{1} z(t) t^{-\alpha } d t$ сходится при $\alpha < 1$ и расходится при $\alpha \geqslant 1$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.29

Пусть комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна при $t \geqslant 1$ и пусть существует отличный от нуля предел этой функции при $t \rightarrow +\infty$ . Доказать, что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } z(t) t^{-\alpha } d t$ сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha \leqslant 1$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.30

Пусть комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна при $t \geqslant 1$ и пусть функции $\operatorname {Re} z(t)$ и $\operatorname {Im} z(t)$ неотрицательны и монотонны при $t \geqslant 1$ . Доказать, что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } z(t) d t$ и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } z(n)$ сходятся или расходятся одновременно.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.31

Пусть $\varphi (t)$ — действительная функция, непрерывно дифференцируемая при $t \geqslant 1$ и монотонно стремящаяся к нулю при $t \rightarrow +\infty$ , а $z(t)$ — комплекснозначная функция, непрерывная при $t \geqslant 1$ и обладающая тем свойством, что

\left|\int _{1}^{t} z(u) d u\right| \leqslant M < \infty , \quad t \geqslant 1.

Доказать, что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } z(t) \varphi (t) d t$ сходится.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.32

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Выяснить, при каких действительных значениях параметра $\alpha$ сходится несобственный интеграл:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\int_{0}^{1} e^{i t^{2}} t^{-\alpha } d t$ ;

(2)

$\int_{1}^{\infty } \frac{1-i t^{2}}{1+i t^{2}} t^{-\alpha } d t$ ;

(3)

$\int_{0}^{1}\left(\frac{1+i t}{1-i t}\right)^{2} t^{\alpha }(1-t)^{1-\alpha } d t$ ;

(4)

$\int_{0}^{\infty }\left(\frac{1+i t^{2}}{1+i t}\right)^{4} e^{-\alpha t} d t$ ;

(5)

$\int_{0}^{1} e^{i t} t^{-\alpha }(\ln t)^{2} d t$ ;

(6)

$\int_{2}^{\infty } \frac{1+i t}{1-i t} \cdot t^{-\alpha } \frac{d t}{\ln^{2} t}$ .

Задача 2.33

Доказать, что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } e^{i t^{\beta }} t^{-\alpha } d t$ при действительных значениях постоянных $\alpha$ и $\beta$ сходится в том и только в том случае, когда эти постоянные связаны соотношением $\alpha > \min (1,1-\beta )$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.34

Пусть $f(t)$ — комплекснозначная функция, непрерывная на отрезке $[a, b]$ и дифференцируемая в каждой внутренней точке этого отрезка. Доказать, что число $\lambda = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ принадлежит выпуклой оболочке множества значений, принимаемых функцией $f^{\prime }(t)$ на интервале $(a, b)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.35

Пусть функция $f(t)$ удовлетворяет тем же условиям, что и в задаче 34, а $g(t)$ — действительная функция, непрерывная на отрезке $[a, b]$ и имеющая отличную от нуля производную в каждой внутренней точке этого отрезка. Доказать, что число $\lambda = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ принадлежит выпуклой оболочке множества значений, принимаемых функцией $\frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}$ на интервале $(a, b)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.36

Рассмотрев функции

f(t) = t, \quad g(t) = e^{i t}

на отрезке $[0, \pi ]$ , убедиться, что условие действительности функции $g(t)$ в задаче 35 существенно.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.37

Пусть $f(t)$ и $g(t)$ — комплекснозначные функции, непрерывные на отрезке $[a, b]$ и дифференцируемые в каждой внутренней точке этого отрезка. Доказать, что можно подобрать три точки $\tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3}$ интервала $(a, b)$ и три неотрицательных числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ , для которых $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} = 1$ , таким образом, чтобы выполнялось равенство

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \cdot \sum _{k = 1}^{3} \lambda _{k} g^{\prime }\left(\tau _{k}\right) = \sum _{k = 1}^{3} \lambda _{k} f^{\prime }\left(\tau _{k}\right)

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.38

(1)(2)(3)(4)(5)

Доказать, что $\lim_{t \rightarrow b-0} \frac{f(t)}{g(t)} = A$ , если $f(t)$ и $g(t)$ — непрерывные комплекснозначные функции, удовлетворяющие условиям:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$g(t) \neq 0$ при $a \leqslant t < b$ ;

(2)

$\lim_{t \rightarrow b-0} f(t) = \lim_{t \rightarrow b-0} g(t) = 0$ ;

(3)

функции $f(t)$ и $g(t)$ дифференцируемы при $a \leqslant t < b$ ;

(4)

$\lim_{t \rightarrow b-0} \frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)} = A \neq \infty$ ;

(5)

$\left|\arg g^{\prime }(t)\right| \leqslant \alpha < \frac{\pi }{2}, \quad a \leqslant t < b$ .

Задача 2.39

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Выяснить, какая кривая определяется параметрическим уравнением (указать множество точек плоскости и порядок их прохождения):

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$z = a+(b-a) t, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1$ ;

(2)

$z = R e^{i t}, 0 \leqslant t \leqslant \pi , R > 0$ ;

(3)

$z = t+i t^{2}, t \geqslant 0$ ;

(4)

$z = t+\frac{i}{t}, t \geqslant 1$ ;

(5)

$z = 1+e^{-i t}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ;

(6)

$z = t \cos t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ .

Задача 2.40

Пусть кривая $\gamma$ задана параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$ и пусть функция $z(t)$ имеет в точке $t_{0}$ отличную от нуля производную $z^{\prime }\left(t_{0}\right)$ . Доказать, что кривая $\gamma$ имеет в точке $z\left(t_{0}\right)$ касательную и что комплексное число $z^{\prime }\left(t_{0}\right)$ изображает на комплексной плоскости вектор, направленный по этой касательной.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.41

(1)(2)(3)

Пусть кривая $\gamma$ задана параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$ , где $z(t)$ — функция, имеющая две непрерывные производные на отрезке $[a, b]$ . Обозначим через $\tau (t)$ комплексное число, изображающее единичный вектор касательной к кривой $\gamma$ в точке $z(t)$ (направленный в ту же сторону, что и сама кривая в этой точке); через $\nu (t)$ обозначим комплексное число, изображающее единичный вектор нормали к кривой $\gamma$ в точке $z(t)$ (направленный вправо от кривой); через $\rho (t)$ обозначим кривизну кривой $\gamma$ в точке $z(t)$ . Доказать формулы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\tau (t) = \frac{z^{\prime }(t)}{\left|z^{\prime }(t)\right|}$ ;

(2)

$\nu (t) = -i \frac{z^{\prime }(t)}{\left|z^{\prime }(t)\right|}$ ;

(3)

$\rho (t) = \frac{1}{\left|z^{\prime }(t)\right|}\left|\operatorname {Im} \frac{z^{\prime \prime }(t)}{z^{\prime }(t)}\right|$ .

Задача 2.42

Пусть кривая $\gamma$ задана параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$ , где $z(t)$ — функция, непрерывно дифференцируемая на отрезке $[a, b]$ . Доказать, что кривая $\gamma$ спрямляема и что для ее длины $\lambda (\gamma )$ справедлива формула

\lambda (\gamma ) = \int _{a}^{b}\left|z^{\prime }(t)\right| d t

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.43

Доказать, что любая кусочно-гладкая кривая спрямляема.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.44

(1)(2)(3)

Пусть $z = \varkappa (t), \quad 0 \leqslant t \leqslant l$ , — натуральное уравнение кривой $\gamma$ и пусть функция $\varkappa (t)$ дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $[0, l]$ , а величины $\tau (t), \nu (t), \rho (t)$ имеют тот же смысл, что и в задаче 41. Доказать формулы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\tau (t) = \varkappa^{\prime }(t)$ ;

(2)

$\nu (t) = -i \varkappa^{\prime }(t)$ ;

(3)

$\rho (t) = \left|\varkappa^{\prime \prime }(t)\right|$ .

Задача 2.45

(1)(2)(3)(4)(5)

Описать с помощью неравенств область $D$ , если ее граница $\partial D$ состоит из одной замкнутой кривой, определяемой параметрическим уравнением:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$z = a+\rho e^{i t}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ;

(2)

$z = a+\rho e^{-i t}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ;

(3)

$z = -i t,-\infty < t < \infty$ ;

(4)

$z = t+i t^{2},-\infty < t < \infty$ ;

(5)

$z = t^{2},-\infty < t < \infty$ .

Задача 2.46

Пусть $D$ — конечная область, а ее граница $\partial D$ состоит из одной замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$ , где функция $z(t)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[a, b]$ . Доказать, что для площади $\sigma (D)$ области $D$ справедлива формула

\sigma (D) = \frac{1}{2} \int _{a}^{b}|z(t)|^{2} \operatorname {Im} \frac{z^{\prime }(t)}{z(t)} d t

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.47

Пусть $D$ -конечная область, а ее граница $\partial D$ состоит из $m$ замкнутых кривых, заданных параметрическими уравнениями

z = z_{k}(t), \quad a_{k} \leqslant t \leqslant b_{k}, \quad k = 1,2, \ldots , m,

где $z_{k}(t)$ — функции, непрерывно дифференцируемые на отрезках $\left[a_{k}, b_{k}\right]$ соответственно. Доказать, что для площади $\sigma (D)$ области $D$ справедлива формула

\sigma (D) = \frac{1}{2} \sum _{k = 1}^{m} \int _{a_{k}}^{b_{k}}\left|z_{k}(t)\right|^{2} \operatorname {Im} \frac{z_{k}^{\prime }(t)}{z_{k}(t)} d t

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.48

Доказать, что для выпуклости области $D$ необходимо и достаточно, чтобы она была звездообразна относительно каждой своей точки.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 2.49

(1)(2)

Пусть граница $\partial D$ области $D$ состоит из одной гладкой замкнутой кривой с параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$ , где функция $z(t)$ имеет на отрезке $[a, b]$ непрерывную и отличную от нуля производную. Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

область $D$ выпукла в том и только в том случае, когда

\operatorname {Im} \frac{z^{\prime \prime }(t)}{z^{\prime }(t)} \geqslant 0, \quad a \leqslant t \leqslant b

(2)

область $D$ звездообразна относительно точки $z_{0} \in D$ в том и только в том случае, когда

\operatorname {Im} \frac{z^{\prime }(t)}{z(t)-z_{0}} \geqslant 0, \quad a \leqslant t \leqslant b

Задача 2.50

Доказать, что область $D$ , звездообразная относительно одной из своих точек (в частности, выпуклая область), односвязна.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

3 · Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Интегрирование функции комплексного переменного[27/59%]

Задача 3.1

Доказать, что сумма и произведение функций, непрерывных на множестве $E$ , также являются функциями, непрерывными на этом множестве. Частное двух функций, непрерывных на множестве $E$ , также является непрерывной на этом множестве функцией, если знаменатель не обращается в нуль ни в одной точке множества $E$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.2

(1)(2)(3)(4)

Выяснить, будут ли следующие функции равномерно непрерывны в области $0 < \left|z\right| < 1$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$f = e^{-1 /\left|z\right|}$ ;

(2)

$f = \frac{\operatorname {Re} z}{\left|z\right|}$ ;

(3)

$f = \frac{\left(\operatorname {Re} z^{2}\right)^{2}}{z^{2}}$ ;

(4)

$f = e^{-1 / z^{2}}$ .

Задача 3.3

(1)(2)

Пусть функция $f(z)$ определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве $E$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

функция $\left|f(z)\right|$ ограничена на множестве $E$ и достигает наибольшего и наименьшего значения;

(2)

функция $f(z)$ равномерно непрерывна на множестве $E$ .

Задача 3.4

Функции $f(z)$ и $g(z)$ равномерно непрерывны на множестве $E$ . Можно ли утверждать, что функция $f(z) g(z)$ равномерно непрерывна на множестве $E$ ?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.5

Пусть функция $f(z)$ определена и равномерно непрерывна в ограниченной области $D$ . Доказать, что в каждой точке границы области $D$ функция $f(z)$ имеет предел и что функция $f(z)$ , доопределенная на границе области $D$ этими предельными значениями, непрерывна в замкнутой области $\bar{D}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.6

Пусть область $D$ ограничена простой кусочно-гладкой кривой. Доказать, что функция, непрерывная в области $D$ вплоть до ее границы, равномерно непрерывна в этой области.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.7

Пусть область $D$ можно разбить на конечное число областей $D_{1}, D_{2}, \ldots , D_{n}$ , каждая из которых ограничена простой кусочно-гладкой кривой. Доказать, что для непрерывности функции $f(z)$ вплоть до границы области $D$ необходимо и достаточно, чтобы функция $f(z)$ была равномерно непрерывна в каждой из областей $D_{1}, \ldots , D_{n}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.8

(1)(2)(3)(4)(5)

Вычислить значения функции $e^{z}$ в точках:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$z = 2 \pi i$ ;

(2)

$z = \pi i$ ;

(3)

$z = \pi i / 2$ ;

(4)

$z = -\pi i / 2$ ;

(5)

$z = \pi i / 4$ .

Задача 3.9

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

Доказать формулы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\cos (-z) = \cos z$ ;

(2)

$\sin (-z) = -\sin z$ ;

(3)

$\sin \left(z+\frac{\pi }{2}\right) = \cos z$ ;

(4)

$\sin (\pi +z) = -\sin z$ ;

(5)

$\sin (z+2 \pi ) = \sin z$ ;

(6)

$\cos \left(z+\frac{\pi }{2}\right) = -\sin z$ ;

(7)

$\sin \left(z_{1}+z_{2}\right) = \sin z_{1} \cos z_{2}+\cos z_{1} \sin z_{2}$ ;

(8)

$\cos \left(z_{1}+z_{2}\right) = \cos z_{1} \cos z_{2}-\sin z_{1} \sin z_{2}$ .

Задача 3.10

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

Доказать формулы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\operatorname {ch}(-z) = \operatorname {ch} z$ ;

(2)

$\operatorname {sh}(-z) = -\operatorname {sh} z$ ;

(3)

$\operatorname {ch}^{2} z-\operatorname {sh}^{2} z = 1$ ;

(4)

$\operatorname {ch}\left(z_{1}+z_{2}\right) = \operatorname {ch} z_{1} \operatorname {ch} z_{2}+\operatorname {sh} z_{1} \operatorname {sh} z_{2}$ ;

(5)

$\operatorname {sh}\left(z+\frac{\pi i}{2}\right) = i \operatorname {ch} z$ ;

(6)

$\operatorname {ch}\left(z+\frac{\pi i}{2}\right) = i \operatorname {sh} z$ ;

(7)

$\operatorname {sh}(z+\pi i) = -\operatorname {sh} z$ ;

(8)

$\operatorname {ch}(z+\pi i) = -\operatorname {ch} z$ ;

(9)

$\operatorname {th}(z+\pi i) = \operatorname {th} z$ ;

(10)

$\operatorname {ch}(z+2 \pi i) = \operatorname {ch} z$ .

Задача 3.11

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

Доказать формулы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\operatorname {sh} z = -i \sin (i z)$ ;

(2)

$\operatorname {sh}(i z) = i \sin z$ ;

(3)

$\cos (i z) = \operatorname {ch} z$ ;

(4)

$\operatorname {ch}(i z) = \cos z$ ;

(5)

$\operatorname {tg}(i z) = i$ th $z$ ;

(6)

$\operatorname {th}(i z) = i \operatorname {tg} z$ ;

(7)

$\operatorname {ctg}(i z) = -i \operatorname {cth} z$ ;

(8)

$\operatorname {cth}(i z) = -i \operatorname {ctg} z$ .

Задача 3.12

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Пусть $x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\operatorname {Re} \sin z = \sin x \cdot \operatorname {ch} y, \quad \operatorname {Im} \sin z = \cos x \cdot \operatorname {sh} y ;$

(2)

$\operatorname {Re} \cos z = \cos x \cdot \operatorname {ch} y, \quad \operatorname {Im} \cos z = -\sin x \cdot \operatorname {sh} y$ ;

(3)

$\operatorname {Re} \operatorname {sh} z = \operatorname {sh} x \cdot \cos y, \quad \operatorname {Im} \operatorname {sh} z = \operatorname {ch} x \cdot \sin y$ ;

(4)

$\operatorname {Re} \operatorname {ch} z = \operatorname {ch} x \cdot \cos y, \quad \operatorname {Im} \operatorname {ch} z = \operatorname {sh} x \cdot \sin y$ ;

(5)

$\operatorname {Re} \operatorname {tg} z = \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x+\operatorname {ch} 2 y}, \quad \operatorname {Im} \operatorname {tg} z = \frac{\operatorname {sh} 2 y}{\cos 2 x+\operatorname {ch} 2 y}$ ;

(6)

$\operatorname {Re} \operatorname {ctg} z = \frac{\sin 2 x}{\operatorname {ch} 2 y-\cos 2 x}, \quad \operatorname {Im} \operatorname {ctg} z = \frac{-\operatorname {sh} 2 y}{\operatorname {ch} 2 y-\cos 2 x}$ .

Задача 3.13

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Пусть $x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left|\sin z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^{2} y-\cos^{2} x}$ ;

(2)

$\left|\cos z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^{2} y-\sin^{2} x}$ ;

(3)

$\left|\operatorname {sh} z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^{2} x-\cos^{2} y}$ ;

(4)

$\left|\operatorname {ch} z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^{2} x-\sin^{2} y}$ ;

(5)

$\left|\operatorname {tg} z\right| = \sqrt{\frac{\operatorname {ch} 2 y-\cos 2 x}{\operatorname {ch} 2 y+\cos 2 x}}$ ;

(6)

$\left|\operatorname {cth} z\right| = \sqrt{\frac{\operatorname {ch} 2 x+\cos 2 y}{\operatorname {ch} 2 x-\cos 2 y}}$ .

Задача 3.14

(1)(2)(3)(4)(5)

Описать точки $z$ , в которых следующие функции принимают действительные значения:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\cos z$ ;

(2)

$\operatorname {ch} z$ ;

(3)

$\sin z$ ;

(4)

$\operatorname {tg} z$ ;

(5)

$\operatorname {cth} z$ .

Задача 3.15

(1)(2)(3)(4)(5)

Описать точки $z$ , в которых следующие функции принимают чисто мнимые значения:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sin z$ ;

(2)

$\operatorname {sh} z$ ;

(3)

$\cos z$ ;

(4)

$\operatorname {ctg} z$ ;

(5)

th $z$ .

Задача 3.16

(1)(2)(3)(4)

Найти все точки, в которых обращаются в нуль следующие функции:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sin z$ ;

(2)

$\cos z$ ;

(3)

$\operatorname {sh} z$ ;

(4)

$\operatorname {ch} z$ .

Задача 3.17

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

Найти все решения следующих уравнений:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sin z = \frac{4 i}{3}$ ;

(2)

$\sin z = \frac{5}{3}$ ;

(3)

$\cos z = \frac{3 i}{4}$ ;

(4)

$\cos z = \frac{3+i}{4}$ ;

(5)

$\operatorname {tg} z = \frac{5 i}{3}$ ;

(6)

$\operatorname {ctg} z = -\frac{3 i}{5}$ ;

(7)

$\operatorname {sh} z = \frac{i}{2}$ ;

(8)

$\operatorname {ch} z = \frac{1}{2}$ .

Задача 3.18

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что при $\left|z\right| \leqslant R$ имеют место неравенства:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\left|\operatorname {ch} z\right| \leqslant \operatorname {ch} R$ ;

(2)

$\left|\operatorname {sh} z\right| \leqslant \operatorname {sh} R$ ;

(3)

$\left|\cos z\right| \leqslant \operatorname {ch} R$ ;

(4)

$\left|\sin z\right| \leqslant \operatorname {sh} R$ .

Задача 3.19

(1)(2)(3)

Пусть $x = \operatorname {Re} z, \quad y = \operatorname {Im} z$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Функция $e^{z}$ стремится к бесконечности при $x$ , стремящемся к $+\infty$ , и это стремление равномерно по $y$ .

(2)

Функция $e^{z}$ стремится к нулю при $x \rightarrow -\infty$ и это стремление равномерно по $y$ .

(3)

Функции $\sin z$ и $\cos z$ стремятся к бесконечности при $y \rightarrow \pm \infty$ и это стремление равномерно по $x$ .

Задача 3.20

(1)(2)

Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Функция $e^{z^{2}}$ стремится к бесконечности при $z \rightarrow \infty$ в любом угле вида

\left|\arg z-\pi \right| \leqslant \alpha

и в любом угле вида $\left|\arg z\right| \leqslant \alpha$ , если только $\alpha < \frac{\pi }{4}$ .

(2)

Функция $e^{z^{2}}$ стремится к нулю при $z \rightarrow \infty$ в любом угле вида

\left|\arg z \pm \frac{\pi }{2}\right| \leqslant \alpha < \frac{\pi }{4}

Задача 3.21

Пусть $P(z) = z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots +a_{n}$ . Доказать, что функция $e^{P(z)}$ стремится к бесконечности при $z \rightarrow \infty$ в углах

\left|\arg z-\frac{2 k \pi }{n}\right| \leqslant \alpha < \frac{\pi }{2 n} \quad (k = 0,1, \ldots , n-1),

и стремится к нулю при $z \rightarrow \infty$ в углах

\left|\arg z-\frac{(2 k+1) \pi }{n}\right| \leqslant \alpha < \frac{\pi }{2 n} \quad (k = 0,1, \ldots , n-1).

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.22

(1)(2)(3)(4)

Пусть $x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z$ . Доказать неравенства:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\frac{2 e^{-2 y}}{1+e^{-2 y}} \leqslant \left|\operatorname {tg} z-i\right| \leqslant \frac{2 e^{-2 y}}{1-e^{-2 y}} \quad (y > 0)$ ;

(2)

$\frac{2 e^{2 y}}{1+e^{2 y}} \leqslant \left|\operatorname {tg} z+i\right| \leqslant \frac{2 e^{2 y}}{1-e^{-2 y}} \quad (y < 0)$ ;

(3)

$\frac{2 e^{-2 y}}{1+e^{-2 y}} \leqslant \left|\operatorname {ctg} z+i\right| \leqslant \frac{2 e^{-2 y}}{1-e^{-2 y}} \quad (y > 0)$ ;

(4)

$\frac{2 e^{2 y}}{1+e^{2 y}} \leqslant \left|\operatorname {ctg} z-i\right| \leqslant \frac{2 e^{2 y}}{1-e^{2 y}} \quad (y < 0)$ .

Задача 3.23

(1)(2)

Вычислить интеграл $\int_{C}\left|z\right| d z$ в случаях, когда кривая $C$ является:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

прямолинейным отрезком, идущим из точки $z = -i$ в точку $z = i$ ;

(2)

полуокружностью

\left|z\right| = 1, \quad \operatorname {Re} z \geqslant 0

идущей из точки $z = -i$ в точку $z = i$ .

Задача 3.24

Вычислить интеграл $\int_{C} z \sin z \; d z$ , где $C$ — прямолинейный отрезок, идущий из точки $z = 0$ в точку $z = i$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.25

Пусть функция $f(z)$ непрерывна во всей расширенной плоскости. Обозначим через $C_{a}$ прямолинейный отрезок, идущий из точки $a$ в точку $a+1$ . Доказать, что

\lim _{a \rightarrow \infty } \int _{C_{a}} f(z) d z = f(\infty )

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.26

Пусть функция $f(z)$ непрерывна в полуплоскости $\operatorname {Im} z \geqslant 0$ и удовлетворяет неравенству

\left|f(z)\right| \leqslant M|z|^{m}

Обозначим через $C_{R}$ полуокружность $\left|z\right| = R, \operatorname {Im} z \geqslant 0$ , идущую из точки $z = R$ в точку $z = -R$ . Доказать неравенство

\left|\int _{C_{R}} f(z) e^{i z} d z\right| \leqslant \pi M R^{m}

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 3.27

Пусть функция $f(z)$ непрерывна в угле

-\alpha \leqslant \arg z \leqslant \alpha \quad (0 < \alpha < \pi ),

и пусть $z f(z) \rightarrow A$ при $z \rightarrow \infty , \quad \left|\arg z\right| \leqslant \alpha$ . Обозначим через $C_{R}$ дугу окружности $\left|z\right| = R, \quad \left|\arg z\right| \leqslant \alpha$ , идущую из точки $z = R e^{-i \alpha }$ в точку $z = R e^{i \alpha }$ . Доказать, что

\lim _{R \rightarrow \infty } \int _{C_{R}} f(z) d z = 2 i \alpha A

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

4 · Равномерная сходимость. Степенные ряды[15/33%]

Задача 4.1

Пусть на множестве $E$ определены функции $f_{n}(z), n \in \mathbb {N}$ , и $f(z)$ такие, что для всех $n \in \mathbb {N}$ и всех $z \in E$ справедливо неравенство $\left|f_{n}(z)-f(z)\right| \leqslant a_{n}$ , где $a_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ . Доказать, что $f_{n}(z) \rightrightarrows f(z), z \in E$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.2

Доказать, что на каждом замкнутом множестве $E$ , лежащем в круге $\left|z\right| < 1$ , последовательность $\left\{ \frac{1}{1+z^{n}}\right\}$ равномерно сходится к функции $f(z) = 1$ , а на каждом замкнутом множестве $E$ , лежащем в области $\left|z\right| > 1$ , эта последовательность равномерно сходится к функции $f(z) = 0$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.3

Доказать, что последовательность $\left\{ n z e^{-n^{2} z^{2}}\right\}$ равномерно сходится в угле $\left|\arg z\right| \leqslant \alpha$ при любом $\alpha$ , где $0 \leqslant \alpha < \pi / 4$ , к функции $f(z) = 0$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.4

Пусть последовательность $\left\{ f_{n}(z)\right\}$ равномерно сходится на множестве $E$ к функции $f(z)$ , и пусть функции $f_{n}(z)$ непрерывны на множестве $E$ . Доказать, что функция $f(z)$ также непрерывна на этом множестве.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.5

Пусть ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|u_{n}(z)\right|$ равномерно сходится на множестве $E$ , а функции $v_{n}(z)$ определены на множестве $E$ и удовлетворяют неравенствам $\left|v_{n}(z)\right| \leqslant \left|u_{n}(z)\right|(z \in E)$ . Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } v_{n}(z)$ равномерно сходится на множестве $E$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.6

(1)(2)(3)(4)

Доказать равномерную сходимость ряда на множестве $E$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} z^{-2 n}, E = \left\{ z:\left|z\right| \geqslant 1\right\}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n^{3} e^{-n z}, E = \left\{ z: \operatorname {Re} z \geqslant \delta > 0\right\}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2^{n}}{z^{n}+z^{-n}}, E = \left\{ z:\left|z\right| \leqslant \rho < \frac{1}{2}\right\}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } 2^{-n} \cos n z, E = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| \leqslant \delta < \ln 2\right\}$ .

Задача 4.7

(1)(2)(3)(4)

Пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} = 1$ . Доказать равномерную сходимость ряда на множестве $E$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} z^{n}, E = \left\{ z:\left|z\right| \leqslant \rho < 1\right\}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} e^{-n z}, E = \left\{ z: \operatorname {Re} z \geqslant \delta > 0\right\}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} e^{-n^{2} z}, E = \left\{ z: \operatorname {Re} z \geqslant \delta > 0\right\}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{a_{n}}{2^{n}} \cos n z, E = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| \leqslant \delta < \ln 2\right\}$ .

Задача 4.8

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Найти радиус сходимости степенного ряда:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{n+3}{n+6}\right)^{n^{2}} \cdot z^{n}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n!}{n^{n}} z^{n}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } 6^{n} z^{5 n}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n!e^{-n^{\alpha }} z^{n}, \quad \alpha > 1$ ;

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n\left(\cos \frac{1}{n}\right)^{2 n^{3}} \cdot z^{n}$ ;

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(2+i \sqrt{5})^{n}}{(3-i \sqrt{7})^{2 n}} z^{3 n}$ .

Задача 4.9

(1)(2)(3)

Пусть $R$ — радиус сходимости ряда $\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ . Найти радиус сходимости ряда:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n}^{m} z^{n}, m \in \mathbb {N}$ ;

(2)

$\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n}^{m} z^{m n}, m \in \mathbb {N}$ ;

(3)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{c_{n}}{1+\left|c_{n}\right|} z^{n}$ .

Задача 4.10

Доказать, что степенные ряды $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n} z^{n}, \quad \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{c_{n}}{n+1} z^{n+1}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } n c_{n} z^{n-1}$ имеют один и тот же радиус сходимости.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.11

Обозначим радиусы сходимости степенных рядов

\sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n}, \quad \sum _{n = 0}^{\infty } b_{n} z^{n}, \quad \sum _{n = 0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right) z^{n}, \quad \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} b_{n} z^{n}

через $R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4}$ соответственно. Доказать, что

R_{3} \geqslant \min \left(R_{1}, R_{2}\right), \quad R_{4} \geqslant R_{1} \cdot R_{2}

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.12

Доказать, что если имеет место неравенство

\left|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right| \geqslant R\left(1+\frac{\alpha }{n}\right), \quad n > n_{0}

где $\alpha > 0$ , то степенной ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ сходится во всех точках окружности своего круга сходимости.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.13

Пусть все числа $c_{n}$ положительны, $c_{k-1} > c_{k}(k \in \mathbb {N})$ и $c_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ . Доказать, что степенной ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ сходится во всех точках окружности $\left|z\right| = 1$ , за исключением, быть может, точки $z = 1$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 4.14

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

Выяснить, в каких точках окружности круга сходимости сходятся следующие ряды:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$z+\frac{2}{1 \cdot 3} z^{2}+\frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 3 \cdot 5} z^{3}+\ldots$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{z^{n}}{n \sqrt{n}}$ ;

(3)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \frac{z^{n}}{n \ln^{2} n}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} z^{n}$ ;

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(3 n)!}{(2 n)!n!}(-1)^{n} z^{2 n}$ ;

(6)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n \ln n} z^{3 n}$ ;

(7)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{e^{\pi i n^{2} / 2}}{n} z^{n}$ ;

(8)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{e^{\pi i n^{2} / 2}}{\sqrt{n}} z^{n}$ .

Задача 4.15

Доказать вторую теорему Абеля: если степенной ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ сходится в точке $z_{0}$ , то он равномерно сходится на всем прямолинейном отрезке, соединяющем точку $z = 0$ с точкой $z_{0}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника