3

Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Интегрирование функции комплексного переменного

[27/59%]
Показать
LaTeX
Задача 3.1

Доказать, что сумма и произведение функций, непрерывных на множестве EE, также являются функциями, непрерывными на этом множестве. Частное двух функций, непрерывных на множестве EE, также является непрерывной на этом множестве функцией, если знаменатель не обращается в нуль ни в одной точке множества EE.

?
Задача 3.2

Выяснить, будут ли следующие функции равномерно непрерывны в области 0<∣z∣<10 < \left|z\right| < 1:

?
(1)

f=e−1/∣z∣f = e^{-1 /\left|z\right|};

(2)

f=Re⁡z∣z∣f = \frac{\operatorname {Re} z}{\left|z\right|};

(3)

f=(Re⁡z2)2z2f = \frac{\left(\operatorname {Re} z^{2}\right)^{2}}{z^{2}};

(4)

f=e−1/z2f = e^{-1 / z^{2}}.

Задача 3.3

Пусть функция f(z)f(z) определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве EE. Доказать, что:

?
(1)

функция ∣f(z)∣\left|f(z)\right| ограничена на множестве EE и достигает наибольшего и наименьшего значения;

(2)

функция f(z)f(z) равномерно непрерывна на множестве EE.

Задача 3.4

Функции f(z)f(z) и g(z)g(z) равномерно непрерывны на множестве EE. Можно ли утверждать, что функция f(z)g(z)f(z) g(z) равномерно непрерывна на множестве EE?

?
Задача 3.5

Пусть функция f(z)f(z) определена и равномерно непрерывна в ограниченной области DD. Доказать, что в каждой точке границы области DD функция f(z)f(z) имеет предел и что функция f(z)f(z), доопределенная на границе области DD этими предельными значениями, непрерывна в замкнутой области Dˉ\bar{D}.

?
Задача 3.6

Пусть область DD ограничена простой кусочно-гладкой кривой. Доказать, что функция, непрерывная в области DD вплоть до ее границы, равномерно непрерывна в этой области.

?
Задача 3.7

Пусть область DD можно разбить на конечное число областей D1,D2,…,DnD_{1}, D_{2}, \ldots , D_{n}, каждая из которых ограничена простой кусочно-гладкой кривой. Доказать, что для непрерывности функции f(z)f(z) вплоть до границы области DD необходимо и достаточно, чтобы функция f(z)f(z) была равномерно непрерывна в каждой из областей D1,…,DnD_{1}, \ldots , D_{n}.

?
Задача 3.8

Вычислить значения функции eze^{z} в точках:

?
(1)

z=2πiz = 2 \pi i;

(2)

z=πiz = \pi i;

(3)

z=πi/2z = \pi i / 2;

(4)

z=−πi/2z = -\pi i / 2;

(5)

z=πi/4z = \pi i / 4.

Задача 3.9

Доказать формулы:

?
(1)

cos⁡(−z)=cos⁡z\cos (-z) = \cos z;

(2)

sin⁡(−z)=−sin⁡z\sin (-z) = -\sin z;

(3)

sin⁡(z+π2)=cos⁡z\sin \left(z+\frac{\pi }{2}\right) = \cos z;

(4)

sin⁡(π+z)=−sin⁡z\sin (\pi +z) = -\sin z;

(5)

sin⁡(z+2π)=sin⁡z\sin (z+2 \pi ) = \sin z;

(6)

cos⁡(z+π2)=−sin⁡z\cos \left(z+\frac{\pi }{2}\right) = -\sin z;

(7)

sin⁡(z1+z2)=sin⁡z1cos⁡z2+cos⁡z1sin⁡z2\sin \left(z_{1}+z_{2}\right) = \sin z_{1} \cos z_{2}+\cos z_{1} \sin z_{2};

(8)

cos⁡(z1+z2)=cos⁡z1cos⁡z2−sin⁡z1sin⁡z2\cos \left(z_{1}+z_{2}\right) = \cos z_{1} \cos z_{2}-\sin z_{1} \sin z_{2}.

Задача 3.10

Доказать формулы:

?
(1)

ch⁡(−z)=ch⁡z\operatorname {ch}(-z) = \operatorname {ch} z;

(2)

sh⁡(−z)=−sh⁡z\operatorname {sh}(-z) = -\operatorname {sh} z;

(3)

ch⁡2z−sh⁡2z=1\operatorname {ch}^{2} z-\operatorname {sh}^{2} z = 1;

(4)

ch⁡(z1+z2)=ch⁡z1ch⁡z2+sh⁡z1sh⁡z2\operatorname {ch}\left(z_{1}+z_{2}\right) = \operatorname {ch} z_{1} \operatorname {ch} z_{2}+\operatorname {sh} z_{1} \operatorname {sh} z_{2};

(5)

sh⁡(z+πi2)=ich⁡z\operatorname {sh}\left(z+\frac{\pi i}{2}\right) = i \operatorname {ch} z;

(6)

ch⁡(z+πi2)=ish⁡z\operatorname {ch}\left(z+\frac{\pi i}{2}\right) = i \operatorname {sh} z;

(7)

sh⁡(z+πi)=−sh⁡z\operatorname {sh}(z+\pi i) = -\operatorname {sh} z;

(8)

ch⁡(z+πi)=−ch⁡z\operatorname {ch}(z+\pi i) = -\operatorname {ch} z;

(9)

th⁡(z+πi)=th⁡z\operatorname {th}(z+\pi i) = \operatorname {th} z;

(10)

ch⁡(z+2πi)=ch⁡z\operatorname {ch}(z+2 \pi i) = \operatorname {ch} z.

Задача 3.11

Доказать формулы:

?
(1)

sh⁡z=−isin⁡(iz)\operatorname {sh} z = -i \sin (i z);

(2)

sh⁡(iz)=isin⁡z\operatorname {sh}(i z) = i \sin z;

(3)

cos⁡(iz)=ch⁡z\cos (i z) = \operatorname {ch} z;

(4)

ch⁡(iz)=cos⁡z\operatorname {ch}(i z) = \cos z;

(5)

tg⁡(iz)=i\operatorname {tg}(i z) = i th zz;

(6)

th⁡(iz)=itg⁡z\operatorname {th}(i z) = i \operatorname {tg} z;

(7)

ctg⁡(iz)=−icth⁡z\operatorname {ctg}(i z) = -i \operatorname {cth} z;

(8)

cth⁡(iz)=−ictg⁡z\operatorname {cth}(i z) = -i \operatorname {ctg} z.

Задача 3.12

Пусть x=Re⁡z,y=Im⁡zx = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z. Доказать, что:

?
(1)

Re⁡sin⁡z=sin⁡x⋅ch⁡y,Im⁡sin⁡z=cos⁡x⋅sh⁡y;\operatorname {Re} \sin z = \sin x \cdot \operatorname {ch} y, \quad \operatorname {Im} \sin z = \cos x \cdot \operatorname {sh} y ;

(2)

Re⁡cos⁡z=cos⁡x⋅ch⁡y,Im⁡cos⁡z=−sin⁡x⋅sh⁡y\operatorname {Re} \cos z = \cos x \cdot \operatorname {ch} y, \quad \operatorname {Im} \cos z = -\sin x \cdot \operatorname {sh} y;

(3)

Re⁡sh⁡z=sh⁡x⋅cos⁡y,Im⁡sh⁡z=ch⁡x⋅sin⁡y\operatorname {Re} \operatorname {sh} z = \operatorname {sh} x \cdot \cos y, \quad \operatorname {Im} \operatorname {sh} z = \operatorname {ch} x \cdot \sin y;

(4)

Re⁡ch⁡z=ch⁡x⋅cos⁡y,Im⁡ch⁡z=sh⁡x⋅sin⁡y\operatorname {Re} \operatorname {ch} z = \operatorname {ch} x \cdot \cos y, \quad \operatorname {Im} \operatorname {ch} z = \operatorname {sh} x \cdot \sin y;

(5)

Re⁡tg⁡z=sin⁡2xcos⁡2x+ch⁡2y,Im⁡tg⁡z=sh⁡2ycos⁡2x+ch⁡2y\operatorname {Re} \operatorname {tg} z = \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x+\operatorname {ch} 2 y}, \quad \operatorname {Im} \operatorname {tg} z = \frac{\operatorname {sh} 2 y}{\cos 2 x+\operatorname {ch} 2 y};

(6)

Re⁡ctg⁡z=sin⁡2xch⁡2y−cos⁡2x,Im⁡ctg⁡z=−sh⁡2ych⁡2y−cos⁡2x\operatorname {Re} \operatorname {ctg} z = \frac{\sin 2 x}{\operatorname {ch} 2 y-\cos 2 x}, \quad \operatorname {Im} \operatorname {ctg} z = \frac{-\operatorname {sh} 2 y}{\operatorname {ch} 2 y-\cos 2 x}.

Задача 3.13

Пусть x=Re⁡z,y=Im⁡zx = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z. Доказать, что:

?
(1)

∣sin⁡z∣=ch⁡2y−cos⁡2x\left|\sin z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^{2} y-\cos^{2} x};

(2)

∣cos⁡z∣=ch⁡2y−sin⁡2x\left|\cos z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^{2} y-\sin^{2} x};

(3)

∣sh⁡z∣=ch⁡2x−cos⁡2y\left|\operatorname {sh} z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^{2} x-\cos^{2} y};

(4)

∣ch⁡z∣=ch⁡2x−sin⁡2y\left|\operatorname {ch} z\right| = \sqrt{\operatorname {ch}^{2} x-\sin^{2} y};

(5)

∣tg⁡z∣=ch⁡2y−cos⁡2xch⁡2y+cos⁡2x\left|\operatorname {tg} z\right| = \sqrt{\frac{\operatorname {ch} 2 y-\cos 2 x}{\operatorname {ch} 2 y+\cos 2 x}};

(6)

∣cth⁡z∣=ch⁡2x+cos⁡2ych⁡2x−cos⁡2y\left|\operatorname {cth} z\right| = \sqrt{\frac{\operatorname {ch} 2 x+\cos 2 y}{\operatorname {ch} 2 x-\cos 2 y}}.

Задача 3.14

Описать точки zz, в которых следующие функции принимают действительные значения:

?
(1)

cos⁡z\cos z;

(2)

ch⁡z\operatorname {ch} z;

(3)

sin⁡z\sin z;

(4)

tg⁡z\operatorname {tg} z;

(5)

cth⁡z\operatorname {cth} z.

Задача 3.15

Описать точки zz, в которых следующие функции принимают чисто мнимые значения:

?
(1)

sin⁡z\sin z;

(2)

sh⁡z\operatorname {sh} z;

(3)

cos⁡z\cos z;

(4)

ctg⁡z\operatorname {ctg} z;

(5)

th zz.

Задача 3.16

Найти все точки, в которых обращаются в нуль следующие функции:

?
(1)

sin⁡z\sin z;

(2)

cos⁡z\cos z;

(3)

sh⁡z\operatorname {sh} z;

(4)

ch⁡z\operatorname {ch} z.

Задача 3.17

Найти все решения следующих уравнений:

?
(1)

sin⁡z=4i3\sin z = \frac{4 i}{3};

(2)

sin⁡z=53\sin z = \frac{5}{3};

(3)

cos⁡z=3i4\cos z = \frac{3 i}{4};

(4)

cos⁡z=3+i4\cos z = \frac{3+i}{4};

(5)

tg⁡z=5i3\operatorname {tg} z = \frac{5 i}{3};

(6)

ctg⁡z=−3i5\operatorname {ctg} z = -\frac{3 i}{5};

(7)

sh⁡z=i2\operatorname {sh} z = \frac{i}{2};

(8)

ch⁡z=12\operatorname {ch} z = \frac{1}{2}.

Задача 3.18

Доказать, что при ∣z∣⩽R\left|z\right| \leqslant R имеют место неравенства:

?
(1)

∣ch⁡z∣⩽ch⁡R\left|\operatorname {ch} z\right| \leqslant \operatorname {ch} R;

(2)

∣sh⁡z∣⩽sh⁡R\left|\operatorname {sh} z\right| \leqslant \operatorname {sh} R;

(3)

∣cos⁡z∣⩽ch⁡R\left|\cos z\right| \leqslant \operatorname {ch} R;

(4)

∣sin⁡z∣⩽sh⁡R\left|\sin z\right| \leqslant \operatorname {sh} R.

Задача 3.19

Пусть x=Re⁡z,y=Im⁡zx = \operatorname {Re} z, \quad y = \operatorname {Im} z. Доказать, что:

?
(1)

Функция eze^{z} стремится к бесконечности при xx, стремящемся к +∞+\infty, и это стремление равномерно по yy.

(2)

Функция eze^{z} стремится к нулю при x→−∞x \rightarrow -\infty и это стремление равномерно по yy.

(3)

Функции sin⁡z\sin z и cos⁡z\cos z стремятся к бесконечности при y→±∞y \rightarrow \pm \infty и это стремление равномерно по xx.

Задача 3.20

Доказать, что:

?
(1)

Функция ez2e^{z^{2}} стремится к бесконечности при z→∞z \rightarrow \infty в любом угле вида

∣arg⁡z−π∣⩽α \left|\arg z-\pi \right| \leqslant \alpha

и в любом угле вида ∣arg⁡z∣⩽α\left|\arg z\right| \leqslant \alpha, если только α<π4\alpha < \frac{\pi }{4}.

(2)

Функция ez2e^{z^{2}} стремится к нулю при z→∞z \rightarrow \infty в любом угле вида

∣arg⁡z±π2∣⩽α<π4 \left|\arg z \pm \frac{\pi }{2}\right| \leqslant \alpha < \frac{\pi }{4}
Задача 3.21

Пусть P(z)=zn+a1zn−1+…+anP(z) = z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots +a_{n}. Доказать, что функция eP(z)e^{P(z)} стремится к бесконечности при z→∞z \rightarrow \infty в углах

∣arg⁡z−2kπn∣⩽α<π2n(k=0,1,…,n−1), \left|\arg z-\frac{2 k \pi }{n}\right| \leqslant \alpha < \frac{\pi }{2 n} \quad (k = 0,1, \ldots , n-1),

и стремится к нулю при z→∞z \rightarrow \infty в углах

∣arg⁡z−(2k+1)πn∣⩽α<π2n(k=0,1,…,n−1). \left|\arg z-\frac{(2 k+1) \pi }{n}\right| \leqslant \alpha < \frac{\pi }{2 n} \quad (k = 0,1, \ldots , n-1).
?
Задача 3.22

Пусть x=Re⁡z,y=Im⁡zx = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z. Доказать неравенства:

?
(1)

2e−2y1+e−2y⩽∣tg⁡z−i∣⩽2e−2y1−e−2y(y>0)\frac{2 e^{-2 y}}{1+e^{-2 y}} \leqslant \left|\operatorname {tg} z-i\right| \leqslant \frac{2 e^{-2 y}}{1-e^{-2 y}} \quad (y > 0);

(2)

2e2y1+e2y⩽∣tg⁡z+i∣⩽2e2y1−e−2y(y<0)\frac{2 e^{2 y}}{1+e^{2 y}} \leqslant \left|\operatorname {tg} z+i\right| \leqslant \frac{2 e^{2 y}}{1-e^{-2 y}} \quad (y < 0);

(3)

2e−2y1+e−2y⩽∣ctg⁡z+i∣⩽2e−2y1−e−2y(y>0)\frac{2 e^{-2 y}}{1+e^{-2 y}} \leqslant \left|\operatorname {ctg} z+i\right| \leqslant \frac{2 e^{-2 y}}{1-e^{-2 y}} \quad (y > 0);

(4)

2e2y1+e2y⩽∣ctg⁡z−i∣⩽2e2y1−e2y(y<0)\frac{2 e^{2 y}}{1+e^{2 y}} \leqslant \left|\operatorname {ctg} z-i\right| \leqslant \frac{2 e^{2 y}}{1-e^{2 y}} \quad (y < 0).

Задача 3.23

Вычислить интеграл ∫C∣z∣dz\int_{C}\left|z\right| d z в случаях, когда кривая CC является:

?
(1)

прямолинейным отрезком, идущим из точки z=−iz = -i в точку z=iz = i;

(2)

полуокружностью

∣z∣=1,Re⁡z⩾0 \left|z\right| = 1, \quad \operatorname {Re} z \geqslant 0

идущей из точки z=−iz = -i в точку z=iz = i.

Задача 3.24

Вычислить интеграл ∫Czsin⁡z  dz\int_{C} z \sin z \; d z, где CC — прямолинейный отрезок, идущий из точки z=0z = 0 в точку z=iz = i.

?
Задача 3.25

Пусть функция f(z)f(z) непрерывна во всей расширенной плоскости. Обозначим через CaC_{a} прямолинейный отрезок, идущий из точки aa в точку a+1a+1. Доказать, что

lim⁡a→∞∫Caf(z)dz=f(∞) \lim _{a \rightarrow \infty } \int _{C_{a}} f(z) d z = f(\infty )
?
Задача 3.26

Пусть функция f(z)f(z) непрерывна в полуплоскости Im⁡z⩾0\operatorname {Im} z \geqslant 0 и удовлетворяет неравенству

∣f(z)∣⩽M∣z∣m \left|f(z)\right| \leqslant M|z|^{m}

Обозначим через CRC_{R} полуокружность ∣z∣=R,Im⁡z⩾0\left|z\right| = R, \operatorname {Im} z \geqslant 0, идущую из точки z=Rz = R в точку z=−Rz = -R. Доказать неравенство

∣∫CRf(z)eizdz∣⩽πMRm \left|\int _{C_{R}} f(z) e^{i z} d z\right| \leqslant \pi M R^{m}
?
Задача 3.27

Пусть функция f(z)f(z) непрерывна в угле

−α⩽arg⁡z⩽α(0<α<π), -\alpha \leqslant \arg z \leqslant \alpha \quad (0 < \alpha < \pi ),

и пусть zf(z)→Az f(z) \rightarrow A при z→∞,∣arg⁡z∣⩽αz \rightarrow \infty , \quad \left|\arg z\right| \leqslant \alpha. Обозначим через CRC_{R} дугу окружности ∣z∣=R,∣arg⁡z∣⩽α\left|z\right| = R, \quad \left|\arg z\right| \leqslant \alpha, идущую из точки z=Re−iαz = R e^{-i \alpha } в точку z=Reiαz = R e^{i \alpha }. Доказать, что

lim⁡R→∞∫CRf(z)dz=2iαA \lim _{R \rightarrow \infty } \int _{C_{R}} f(z) d z = 2 i \alpha A
?