Банк задач по математике

Задача 4.1

Пусть на множестве $E$ определены функции $f_{n}(z), n \in \mathbb {N}$ , и $f(z)$ такие, что для всех $n \in \mathbb {N}$ и всех $z \in E$ справедливо неравенство $\left|f_{n}(z)-f(z)\right| \leqslant a_{n}$ , где $a_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ . Доказать, что $f_{n}(z) \rightrightarrows f(z), z \in E$ .

?

Задача 4.2

Доказать, что на каждом замкнутом множестве $E$ , лежащем в круге $\left|z\right| < 1$ , последовательность $\left\{ \frac{1}{1+z^{n}}\right\}$ равномерно сходится к функции $f(z) = 1$ , а на каждом замкнутом множестве $E$ , лежащем в области $\left|z\right| > 1$ , эта последовательность равномерно сходится к функции $f(z) = 0$ .

?

Задача 4.3

Доказать, что последовательность $\left\{ n z e^{-n^{2} z^{2}}\right\}$ равномерно сходится в угле $\left|\arg z\right| \leqslant \alpha$ при любом $\alpha$ , где $0 \leqslant \alpha < \pi / 4$ , к функции $f(z) = 0$ .

?

Задача 4.4

Пусть последовательность $\left\{ f_{n}(z)\right\}$ равномерно сходится на множестве $E$ к функции $f(z)$ , и пусть функции $f_{n}(z)$ непрерывны на множестве $E$ . Доказать, что функция $f(z)$ также непрерывна на этом множестве.

?

Задача 4.5

Пусть ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|u_{n}(z)\right|$ равномерно сходится на множестве $E$ , а функции $v_{n}(z)$ определены на множестве $E$ и удовлетворяют неравенствам $\left|v_{n}(z)\right| \leqslant \left|u_{n}(z)\right|(z \in E)$ . Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } v_{n}(z)$ равномерно сходится на множестве $E$ .

?

Задача 4.6

(1)(2)(3)(4)

Доказать равномерную сходимость ряда на множестве $E$ :

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} z^{-2 n}, E = \left\{ z:\left|z\right| \geqslant 1\right\}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n^{3} e^{-n z}, E = \left\{ z: \operatorname {Re} z \geqslant \delta > 0\right\}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2^{n}}{z^{n}+z^{-n}}, E = \left\{ z:\left|z\right| \leqslant \rho < \frac{1}{2}\right\}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } 2^{-n} \cos n z, E = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| \leqslant \delta < \ln 2\right\}$ .

Задача 4.7

(1)(2)(3)(4)

Пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} = 1$ . Доказать равномерную сходимость ряда на множестве $E$ :

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} z^{n}, E = \left\{ z:\left|z\right| \leqslant \rho < 1\right\}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} e^{-n z}, E = \left\{ z: \operatorname {Re} z \geqslant \delta > 0\right\}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} e^{-n^{2} z}, E = \left\{ z: \operatorname {Re} z \geqslant \delta > 0\right\}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{a_{n}}{2^{n}} \cos n z, E = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| \leqslant \delta < \ln 2\right\}$ .

Задача 4.8

Найти радиус сходимости степенного ряда:

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{n+3}{n+6}\right)^{n^{2}} \cdot z^{n}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n!}{n^{n}} z^{n}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } 6^{n} z^{5 n}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n!e^{-n^{\alpha }} z^{n}, \quad \alpha > 1$ ;

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n\left(\cos \frac{1}{n}\right)^{2 n^{3}} \cdot z^{n}$ ;

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(2+i \sqrt{5})^{n}}{(3-i \sqrt{7})^{2 n}} z^{3 n}$ .

Задача 4.9

(1)(2)(3)

Пусть $R$ — радиус сходимости ряда $\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ . Найти радиус сходимости ряда:

?

(1)

$\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n}^{m} z^{n}, m \in \mathbb {N}$ ;

(2)

$\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n}^{m} z^{m n}, m \in \mathbb {N}$ ;

(3)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{c_{n}}{1+\left|c_{n}\right|} z^{n}$ .

Задача 4.10

Доказать, что степенные ряды $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n} z^{n}, \quad \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{c_{n}}{n+1} z^{n+1}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } n c_{n} z^{n-1}$ имеют один и тот же радиус сходимости.

?

Задача 4.11

Обозначим радиусы сходимости степенных рядов

\sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n}, \quad \sum _{n = 0}^{\infty } b_{n} z^{n}, \quad \sum _{n = 0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right) z^{n}, \quad \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} b_{n} z^{n}

через $R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4}$ соответственно. Доказать, что

R_{3} \geqslant \min \left(R_{1}, R_{2}\right), \quad R_{4} \geqslant R_{1} \cdot R_{2}

?

Задача 4.12

Доказать, что если имеет место неравенство

\left|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right| \geqslant R\left(1+\frac{\alpha }{n}\right), \quad n > n_{0}

где $\alpha > 0$ , то степенной ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ сходится во всех точках окружности своего круга сходимости.

?

Задача 4.13

Пусть все числа $c_{n}$ положительны, $c_{k-1} > c_{k}(k \in \mathbb {N})$ и $c_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ . Доказать, что степенной ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ сходится во всех точках окружности $\left|z\right| = 1$ , за исключением, быть может, точки $z = 1$ .

?

Задача 4.14

Выяснить, в каких точках окружности круга сходимости сходятся следующие ряды:

?

(1)

$z+\frac{2}{1 \cdot 3} z^{2}+\frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 3 \cdot 5} z^{3}+\ldots$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{z^{n}}{n \sqrt{n}}$ ;

(3)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \frac{z^{n}}{n \ln^{2} n}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} z^{n}$ ;

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(3 n)!}{(2 n)!n!}(-1)^{n} z^{2 n}$ ;

(6)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n \ln n} z^{3 n}$ ;

(7)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{e^{\pi i n^{2} / 2}}{n} z^{n}$ ;

(8)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{e^{\pi i n^{2} / 2}}{\sqrt{n}} z^{n}$ .

Задача 4.15

Доказать вторую теорему Абеля: если степенной ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ сходится в точке $z_{0}$ , то он равномерно сходится на всем прямолинейном отрезке, соединяющем точку $z = 0$ с точкой $z_{0}$ .

?

Равномерная сходимость. Степенные ряды