Банк задач по математике

Задача 8.1

Доказать, что суммы следующих рядов регулярны в областях, указываемых в скобках:

?

(1)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{\cos n z}{n!} \quad (\left|z\right| < \infty )$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n!}{n^{n}} \sin n z(\left|\operatorname {Im} z\right| < 1)$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left[\frac{z(z+n)}{n}\right]^{n} \quad (\left|z\right| < 1)$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n(z-n)}(z \neq 1,2, \ldots )$ ;

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{z+n}(z \neq -1,-2, \ldots )$ ;

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} n^{-z} \quad (\operatorname {Re} z > 0)$ ;

(7)

$\sum_{n = -\infty }^{\infty } 2^{-n^{2} z} n^{n} \quad (\operatorname {Re} z > 0)$ ;

(8)

$\sum_{n = 0}^{\infty } e^{-z^{2} \sqrt{n}} \quad (\left|\arg z\right| < \pi / 4)$ .

Задача 8.2

Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность положительных чисел и пусть

\varlimsup _{n \rightarrow \infty } \frac{n}{\lambda _{n}} = \alpha > 0, \quad \text{ a } \quad \varlimsup _{n \rightarrow \infty }\left|a_{n}\right|^{1 / n} = \rho > 0

Доказать, что сумма ряда

\sum _{n = 1}^{\infty } a_{n} e^{-\lambda _{n} z}

регулярна в полуплоскости $\operatorname {Re} z > \alpha \ln \rho$ .

?

Задача 8.3

Доказать, что следующие бесконечные произведения представляют функции, регулярные в областях, указываемых в скобках:

?

(1)

$\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1-z^{n}\right) \quad (\left|z\right| < 1)$ ;

(2)

$\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+z^{2 n} n^{z}\right) \quad (\left|z\right| < 1)$ ;

(3)

$\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{z}{n}\right) e^{z / n} \quad (\left|z\right| < \infty )$ ;

(4)

$\prod_{n = 1}^{\infty }\left(1+(-1)^{n} \cdot \frac{z}{n}\right) \quad (\left|z\right| < \infty )$ ;

(5)

$\prod_{n = 1}^{\infty } \cos \frac{z}{n} \quad (\left|z\right| < \infty )$ ;

(6)

$\prod_{n = 1}^{\infty } \operatorname {th} \frac{n^{2}}{z^{2}} \quad \left(\left|\arg z\right| < \frac{\pi }{4}\right)$ .

Задача 8.4

Пусть ряд $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|c_{k}\right|$ сходится, а функция $u(z)$ регулярна в области $D$ . Доказать, что бесконечное произведение

\prod _{k = 1}^{\infty }\left(1+c_{k} u(z)\right)

представляет функцию, регулярную в области $D$ .

?

Задача 8.5

Пусть сходятся ряды

\sum _{k = 1}^{\infty } c_{k}, \sum _{k = 1}^{\infty } c_{k}^{2}, \ldots , \sum _{k = 1}^{\infty } c_{k}^{m}, \sum _{k = 1}^{\infty }\left|c_{k}\right|^{m+1}.

Доказать, что бесконечное произведение

\prod _{n = 1}^{\infty }\left(1+c_{n} n^{-z}\right)

представляет функцию, регулярную в полуплоскости $\operatorname {Re} z > 0$ .

?

Задача 8.6

Доказать регулярность функций, представленных следующими интегралами в областях, указанных в скобках:

?

(1)

$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-i z}}{1+t^{2}} d t \quad (\operatorname {Re} z > 0)$ ;

(2)

$\int_{1}^{\infty } t^{z-1} e^{-t} d t \quad (\left|z\right| < \infty )$ ;

(3)

$\int_{0}^{\infty } t^{z-1} e^{-t} d t \quad (\operatorname {Re} z > 0)$ ;

(4)

$\int_{1}^{\infty } \frac{t^{z-1}}{t^{2}+1} d t \quad (\operatorname {Re} z < 2)$ ;

(5)

$\int_{0}^{\infty } \frac{t^{z-1}}{t^{2}+1} d t \quad (0 < \operatorname {Re} z < 2)$ ;

(6)

$\int_{0}^{\infty } \frac{d t}{\left(t^{2}+1\right)\left(1+e^{t z}\right)} \quad (\operatorname {Re} z > 0)$ ;

(7)

$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-t} d t}{e^{2 \pi i t z}+1} \quad (\operatorname {Im} z > 0)$ ;

(8)

$\int_{0}^{1} t^{z}(1-t)^{1-z} d t \quad (-1 < \operatorname {Re} z < 2)$ ;

(9)

$\int_{0}^{1} \frac{\cos t z}{z+t} d t \quad (z \notin [-1,0], z \neq \infty )$ ;

(10)

$\int_{0}^{\infty } \frac{t \sin t}{t^{2}+z^{2}} \quad (\operatorname {Re} z > 0)$ .

Задача 8.7

Пусть функция $\varphi (t)$ непрерывна при $t \geqslant 0$ и удовлетворяет условию

\varlimsup _{t \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left|\varphi (t)\right|}{t} = \sigma .

Доказать, что интеграл

\int _{0}^{\infty } \varphi (t) e^{-t z} d t

представляет функцию, регулярную в полуплоскости $\operatorname {Re} z > \sigma$ .

?

Задача 8.8

Пусть функция $\varphi (t)$ непрерывна при $-\infty < t < \infty$ и удовлетворяет условиям

\varlimsup _{t \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left|\varphi (t)\right|}{t} = \sigma _{1}, \quad \varlimsup _{t \rightarrow -\infty } \frac{\ln \left|\varphi (t)\right|}{t} = \sigma _{2}, \quad \sigma _{2} > \sigma _{1}.

Доказать, что интеграл

\int _{-\infty }^{\infty } \varphi (t) e^{i t z} d t

представляет функцию, регулярную в полосе $\sigma_{1} < \operatorname {Im} z < \sigma_{2}$ .

?

Задача 8.9

Найти области регулярности функций, представленных следующими интегралами:

?

(1)

$\int_{0}^{\infty } \frac{\varphi (t)}{t+z} d t,\left|\varphi (t)\right| \leqslant M(1+t)^{-\alpha }, \alpha > 0$ ;

(2)

$\int_{1}^{\infty } \frac{\varphi (t)}{t^{2}-z^{2}} d t,\left|\varphi (t)\right| \leqslant M$ ;

(3)

$\int_{0}^{\infty } \frac{\varphi (t)}{e^{t}+z} d t, \quad \left|\varphi (t)\right| \leqslant M(1+t)^{m}, \quad m < \infty$ ;

(4)

$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{\varphi (t)}{e^{t}+z} d t,\left|\varphi (t)\right| \leqslant \frac{M}{1+t^{2}}$ ;

(5)

$\int_{1}^{\infty } \frac{\varphi (t)}{\left(t^{3}-z^{3}\right)^{2}} d t,\left|\varphi (t)\right| \leqslant M t^{\alpha }, \alpha < 5$ ;

(6)

$\int_{0}^{1} \frac{\varphi (t)}{t-z^{3}} d t,\left|\varphi (t)\right| \leqslant M t^{\alpha }, \alpha > -1$ ;

(7)

$\int_{\gamma } \frac{e^{-t}}{t+z} d t \quad (\gamma = \left\{ t: \arg t = \alpha \right\} ), \quad -\pi < \alpha < \pi$ ;

(8)

$\int_{\gamma } \frac{t^{2} d t}{e^{t}+z} \quad (\gamma = \left\{ t: \arg t = \alpha \right\} ), 0 \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi }{2}$ ;

(9)

$\int_{\gamma } \frac{\cos t}{e^{t}-z}\left(\gamma = \left\{ t: \arg t = \frac{\pi }{2}, \quad 0 \leqslant \left|t\right| \leqslant \pi \right\} \right)$ .

Задача 8.10

Пусть функции $f_{n}(z), \quad n = 1,2, \ldots$ , регулярны в круге $\left|z\right| < 1$ и удовлетворяют условиям

\left|f_{n}(z)\right| \leqslant M(1-|z|)^{-m} \quad (|z| < 1, n = 1,2, \ldots ),

где числа $M$ и $m$ не зависят от $n$ . Доказать, что из последовательности $\left\{ f_{n}(z)\right\}$ можно выбрать подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}(z)\right\}$ , равномерно сходящуюся строго внутри круга $\left|z\right| < 1$ .

?

Задача 8.11

Пусть граница $\partial D$ ограниченной области $D$ состоит из конечного числа простых кусочно-гладких кривых и пусть на $\partial D$ определены и непрерывны функции $\varphi_{n}(\zeta )$ . Доказать, что если последовательность $\left\{ \varphi_{n}(\zeta )\right\}$ равномерно ограничена на $\partial D$ , то из последовательности функций $\left\{ f_{n}(z)\right\}$ ,

f_{n}(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int _{\partial D} \frac{\varphi _{n}(\zeta )}{(\zeta -z)^{m}} d \zeta

( $m$ — фиксированное целое число) можно выделить подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}(z)\right\}$ , равномерно сходящуюся строго внутри области $D$ .

?

Задача 8.12

Пусть функции $f_{n}(z), \quad n = 1,2, \ldots$ , регулярны в области $D$ и удовлетворяют условиям $\operatorname {Re} f_{n}(z) \geqslant 0 \quad (z \in D, n = 1,2, \ldots )$ . Доказать, что из последовательности $\left\{ f_{n}(z)\right\}$ можно выделить подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}(z)\right\}$ , равномерно сходящуюся строго внутри области $D$ (возможно, к бесконечности).

?

Задача 8.13

Пусть функции $f_{n}(z), n = 1,2, \ldots$ , регулярны и равномерно ограничены в области $D$ . Доказать, что если последовательность $\left\{ f_{n}(z)\right\}$ сходится на множестве $E$ , имеющем хотя бы одну предельную точку в области $D$ , то она равномерно сходится строго внутри области D. (Теорема Витали.)

?

Задача 8.14

Пусть функции $u_{n}(x, y), n = 1,2, \ldots$ , гармоничны в области $D$ и пусть последовательность $\left\{ u_{n}(x, y)\right\}$ равномерно сходится в области $D$ к функции $u(x, y)$ . Доказать, что функция $u(x, y)$ гармонична в области $D$ .

?

Задача 8.15

Пусть функции $u_{n}(x, y), n = 1,2, \ldots$ , гармоничны в области $D$ и удовлетворяют условиям

\left|u_{n}(x, y)\right| \leqslant M \quad ((x, y) \in D, n = 1,2, \ldots ).

Доказать, что из последовательности $\left\{ u_{n}(x, y)\right\}$ можно выделить подпоследовательность $\left\{ u_{n_{k}}(x, y)\right\}$ , равномерно сходящуюся строго внутри области $D$ .

?

Задача 8.16

Пусть функции $u_{n}(x, y), n = 1,2, \ldots$ , гармоничны в области $D$ и удовлетворяют условиям

u_{n+1}(x, y) \geqslant u_{n}(x, y) \quad ((x, y) \in D, n = 1,2, \ldots )

Доказать, что последовательность $\left\{ u_{n}(x, y)\right\}$ равномерно сходится строго внутри области $D$ (возможно, к $+\infty$ ).

?

Задача 8.17

Пусть функции $f_{n}(z), \quad n = 1,2, \ldots$ , регулярны в области $D$ , не обращаются в этой области в нуль и удовлетворяют неравенствам

\left|f_{n}(z)\right| \leqslant M^{n} \quad (z \in D, n = 1,2, \ldots )

(постоянная $M$ не зависит от $n$ ). Доказать, что из последовательности $\left\{ \sqrt[n]{\left|f_{n}(z)\right|}\right\}$ можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся строго внутри области $D$ к функции $\left|g(z)\right|$ , где $g(z)$ — регулярная в области $D$ функция.

?

Задача 8.18

Пусть степенной ряд $\sum_{n = 0}^{+\infty } c_{n} z^{n}$ имеет радиус сходимости $R, 0 < R < \infty$ . Доказать, что для каждой точки

z_{0} = R e^{i \varphi }

существуют такие последовательности $\left\{ n_{k}\right\}$ и $\left\{ z_{k}\right\}$ , для которых

\lim _{k \rightarrow \infty } z_{k} = z_{0} ; \quad \sum _{n = 0}^{n_{k}} c_{n} z_{k}^{n} = 0

?

Последовательности и ряды регулярных функций. Интегралы, зависящие от параметра.