Регулярные функции

Найти все точки $z = x+i y$, в которых дифференцируемы функции:

Доказать, что при любом натуральном значении $n$ функция $z^{n}$ дифференцируема во всей комплексной плоскости и что $\left(z^{n}\right)^{\prime } = n z^{n-1}$.

Доказать, что всякий многочлен от $z$ является дифференцируемой функцией во всей комплексной плоскости, а всякая рациональная функция дифференцируема в любой точке, где знаменатель не обращается в нуль.

Определим функцию $e^{z}$ при любом комплексном значении $z = x+i y$ равенством $e^{z} = e^{x}(\cos y+i \sin y)$. Доказать, что функция $e^{z}$ дифференцируема при любом $z$ и справедливо равенство $\left(e^{z}\right)^{\prime } = e^{z}$.

Определим функции $\operatorname {sh} z, \operatorname {ch} z, \sin z, \cos z$, равенствами

Доказать, что

Выяснить, в каких точках $z \in \mathbb {C}$ дифференцируемы функции, и найти их производные:

Выяснить, где дифференцируемы функции, и найти их производные:

Пусть функция

дифференцируема в точке $z_{0} = x_{0}+i y_{0}$. Доказать справедливость формул:

Пусть функция $f(z) = u(x, y)+i v(x, y)$ дифференцируема в области $G \subset \mathbb {C}$ и пусть одна из функций

Пусть $u, v$ — пара сопряженных гармонических функций в области $G$, а $\xi , \eta$ — пара сопряженных гармонических функций в области $D$. Пусть для любого $z = x+i y \in G$ значение $u(x, y)+i v(x, y)$ принадлежит области $D$. Доказать, что пара функций $U, V$ вида

образует пару сопряженных гармонических функций в области $G$.

Пусть $u, v$ — пара сопряженных гармонических функций в области $G$ и пусть ни в одной точке области $G$ функции $u$ и $v$ не обращаются в нуль одновременно. Доказать, что функция

является гармонической в области $G$.

Пусть $u, v_{1}$ и $u, v_{2}$ — две пары сопряженных гармонических функций в области $G$ с одной и той же первой функцией $u$. Доказать, что $v_{1}(x, y)-v_{2}(x, y) \equiv$ const.

В следующих задачах дается одна из пары сопряженных гармонических функций $u$ или $v$. Найти вторую функцию пары.

Найти все гармонические функции вида

Пусть $P(x, y)$ — многочлен от $x$ и $y$ с комплексными коэффициентами. Обозначим

Доказать, что

Пусть $P(z)$ — многочлен. Положим

Доказать, что справедливы формулы

Восстановить регулярную функцию $f(z)$ по условию

Пусть функции $f(\underline{z})$ и $g(z)$ регулярны в некоторой области $G$. Доказать, что сумма $f(z)+\overline{g(z)}$ действительна во всей области $G$ тогда и только тогда, когда $f(z) = g(z)+C$, где $C$ — действительная постоянная.

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ регулярны в некоторой области $G$ и $g(z) \not\equiv 0$. Доказать, что произведение $f(z) \overline{g(z)}$ действительно (неотрицательно) во всей области $G$ тогда и только тогда, когда $f(z) = C g(z)$, где $C$ действительная (неотрицательная) постоянная.

Доказать, что если функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z-a\right| < R$ и удовлетворяет условию $\left|f(z)\right| \leqslant M \quad (\left|z-a\right| < R)$, то для любых двух точек $z_{1}$ и $z_{2}$ из этого круга имеет место неравенство

Доказать, что утверждение задачи 1 остается в силе, если областью регулярности функции $f(z)$ является не обязательно круг, а произвольная выпуклая область в $\mathbb {C}$.

Замечание. Область называется выпуклой, если вместе с каждой парой принадлежащих этой области точек ей принадлежит и прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в выпуклой области $D \subset \mathbb {C}$ и удовлетворяет условию $\operatorname {Re} f(z) \geqslant M > 0 \quad (z \in D)$. Доказать, что для любых двух точек $z_{1}$ и $z_{2}$ из этой области

Доказать, что утверждение задачи 3 остается в силе, если условие

заменить условием $\operatorname {Re}\left\{ e^{i \varphi } f(z)\right\} \geqslant M$ (действительное число $\varphi$ не зависит от точки $z$).

Пусть функция $f(z)$ регулярна в односвязной области $D \subset \mathbb {C}$. Доказать, что функция

является первообразной функции $f(z)$.

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ регулярны в односвязной области $D \subset \mathbb {C}$, а $F(z)$ и $G(z)$ соответственно первообразные этих функций. Доказать формулу интегрирования по частям:

Найти первообразные функций:

Пусть функция $f(z)$ регулярна в кольце $r < \left|z-a\right| < R$. Доказать, что интеграл

не зависит от числа $\rho$ (окружность обходится против часовой стрелки).

Пусть функция $f(z)$ регулярна в кольце $r < \left|z\right| < R$, а простая кусо-чно-гладкая кривая $\gamma$ ограничивает область, содержащую круг $\left|z\right| \leqslant r$ и лежащую в круге $\left|z\right| < R$, причем при движении по кривой $\gamma$ область остается слева. Доказать, что интеграл $\int_{\gamma } f(z) d z$ не зависит от выбора кривой $\gamma$ (удовлетворяющей поставленным выше условиям).

Пусть функция $f(z)$ регулярна в произвольной области $D$ комплексной плоскости. Доказать, что необходимым и достаточным условием существования первообразной у функции $f(z)$ в области $D$ является равенство нулю интеграла от функции $f(z)$ по любой простой замкнутой ломаной, лежащей в области $D$.

Доказать, что следующие функции не имеют первообразных в областях, указанных в скобках:

Пусть функция $f(z)$ регулярна в ограниченной двусвязной области $D$, заключенной между двумя замкнутыми кусочно-гладкими кривыми $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$, и непрерывна вплоть до ее границы. Доказать, что функция $f(z)$ имеет в области $D$ первообразную в том и только в том случае, когда

Пусть функция $f(z)$ регулярна в односвязной в $\overline{\mathbb {C}}$ области, содержащей точку $z = \infty$. Доказать, что функция $f(z)$ имеет в этой области первообразную в том и только в том случае, когда $\lim_{z \rightarrow \infty } z f(z) = 0$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в односвязной области $D \subset \overline{\mathbb {C}}$, содержащей точку $z = \infty$. Обозначим через $D^{\prime }$ область $D$ с выколотой точкой $z = \infty$. Доказать, что функция $f(z)$ имеет первообразную в области $D^{\prime }$ в том и только в том случае, когда

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ регулярны в области $D \subset \overline{\mathbb {C}}$, содержащей точку $z = \infty$, и имеют первообразные в области $D^{\prime }$ (область $D$ с выколотой точкой $z = \infty$). Доказать, что функции $f(z)+g(z), f(z) g(z), P(f(z)), e^{f(z)} (P(w)$ — произвольный многочлен) также регулярны в области $D$ и имеют первообразную в области $D^{\prime }$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в ограниченной $m$-связной области $D$, граница которой состоит из замкнутых кусочно-гладких кривых $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \ldots , \Gamma_{m}$. Доказать, что для существования у функции $f(z)$ первообразной в области $D$ необходимо и достаточно, чтобы

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полосе $-a < \operatorname {Im} z < a$ и удовлетворяет условию

Доказать, что если интеграл $\int_{-\infty }^{\infty } f(x) d x$ сходится, то при любом $\alpha$ из интервала $(-a, a)$ интеграл $\int_{i \alpha -\infty }^{i \alpha +\infty } f(z) d z$ также сходится и не зависит от $\alpha$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в угле $-a < \arg z < a$ и удовлетворяет условиям

Доказать, что если интеграл $\int_{0}^{\infty } f(x) d x$ сходится, то при любом $\alpha$ из интервала $(-a, a)$ интеграл $\underset {\arg z = \alpha }{\int } f(z) d z$ также сходится и не зависит от $\alpha$.

Из анализа известно, что $\int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} d x = \sqrt{\pi }$. Вычислить интеграл

Вычислить интеграл $\int_{0}^{+\infty } e^{-i x^{2}} d x$.

С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы (все окружности обходятся против часовой стрелки):

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ регулярны в круге $\left|z\right| < 1$ и непрерывны в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant 1$. Доказать, что

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $D \subset \overline{\mathbb {C}}$, содержащей точку $z = \infty$, и непрерывна вплоть до ее границы. Доказать, что в этом случае интегральная формула Коши принимает вид

а формула для производных $f(z)$ сохраняет прежний вид.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z-a\right| < R$ и непрерывна в замкнутом круге $\left|z-a\right| \leqslant R$. Доказать формулу

носящую название теоремы о среднем.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$ и непрерывна в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant R$. Вычислить интеграл

Доказать, что функция, регулярная в некоторой области и отличная от тождественной постоянной, не может принимать во внутренней точке этой области наибольшего по модулю значения. (Прини,ип максимума модуля.)

Пусть функция $u(x, y)$ гармонична в круге $\left|z-a\right| \leqslant R$. Доказать, что

Доказать, что функция, гармоническая в некоторой области и отличная от тождественной постоянной, не может принимать во внутренней точке этой области ни наибольшего, ни наименьшего значения. (Принцип максимума для гармонических функций.)

Пусть функция $f(z)$ регулярна в ограниченной области $D \subset \mathbb {C}$ и непрерывна вплоть до ее границы $\partial D$, состоящей из конечного числа замкнутых кусочно-гладких кривых. Доказать неравенство

где $M = \max_{z \in \partial D}\left|f(z)\right|, \rho$ — расстояние от точки $z$ до границы области $D$, а $L$ — полная длина границы области $D$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$ и непрерывна в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant R$. Доказать неравенство

где $M = \max_{\left|z\right| = R}\left|f(z)\right|$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$ и непрерывна в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant R$. Доказать неравенство

где $M = \max_{\left|z\right| = R}\left|f(z)\right|$, и показать, что при $n = 1$ это неравенство можно записать в виде

Пусть функция $f(z)$ регулярна во всей плоскости и удовлетворяет условию $\left|f(z)\right| \leqslant M$ при всех $z$. Доказать, что $f(z)$ тождественно постоянна. (Теорема Лиувилля.)

Пусть функция $f(z)$ регулярна во всей плоскости и удовлетворяет неравенству

Доказать, что $f(z)$ — многочлен степени не выше $p$.

Во всех точках, не принадлежащих кривой интегрирования, вычислить значения следующих интегралов типа Коши:

Пусть функция $f(z)$ регулярна в кольце $r < \left|z-a\right| < R$. Доказать, что интеграл типа Коши

при $\left|z\right| < r$ (или при $\left|z\right| > R$) не зависит от числа $\rho$.

Пусть функция $f(\zeta )$ регулярна в кольце $r < \left|\zeta \right| < R$ и непрерывна в замкнутом кольце $r \leqslant \left|\zeta \right| \leqslant R$. Обозначим

(окружности обходятся против часовой стрелки). Доказать, что при $r < \left|z\right| < R$ имеет место равенство $f(z) = f_{1}(z)+f_{2}(z)$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в кольце $r < \left|z-a\right| < R$. Доказать, что ее можно представить в виде $f(z) = f_{1}(z)+f_{2}(z)$, где функция $f_{1}(z)$ регулярна в круге $\left|z-a\right| < R$, а функция $f_{2}(z)$ регулярна при $\left|z-a\right| > r$ и $f_{2}(\infty ) = 0$.

Доказать, что представление функции $f(z)$ из предыдущей задачи единственно.

Пусть простая замкнутая кривая $\gamma_{1}$ ограничивает область $D_{1} \subset \mathbb {C}$, а простая замкнутая кривая $\gamma_{2}$, лежащая в области $D_{1}$, ограничивает область $D_{2} \subset D_{1}$. Доказать, что любую функцию $f(z)$, регулярную в кольцеобразной области $D = D_{1} \backslash \bar{D}_{2}$, можно представить в виде $f(z) = f_{1}(z)+f_{2}(z)$, где функция $f_{1}(z)$ регулярна в области $D_{1}$, а функция $f_{2}(z)$ регулярна вне области $D_{2}$. Доказать также, что такое представление единственно, если наложить условие $f_{2}(\infty ) = 0$.

Пусть $\gamma$ — простая замкнутая кривая, ограничивающая область $D \subset \mathbb {C}$, а функция $\varphi (z)$ регулярна в некоторой области, содержащей кривую $\gamma$. Доказать, что для существования функции $f(z)$, регулярной в замыкании области $D$ и совпадающей с функцией $\varphi (z)$ на кривой $\gamma$, необходимо и достаточно, чтобы

Пусть $\gamma$ — простая замкнутая кусочно-гладкая кривая, ограничивающая конечную область $D$, а функция $\varphi (t)$ непрерывна на кривой $\gamma$. Доказать, что для равенства

необходимо и достаточно, чтобы

а для равенства

необходимо и достаточно, чтобы

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полосе $-a < \operatorname {Im} z < a$ и удовлетворяет условиям

Доказать, что функцию $f(z)$ можно представить в виде $f_{1}(z)+f_{2}(z)$, где функция $f_{1}(z)$ регулярна в полуплоскости $\operatorname {Im} z > -a$ и удовлетворяет условию