Теорема единственности. Регулярное продолжение.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в замыкании $\bar{G}$ области $G$ и $f(z) \not\equiv$ const. Доказать, что в области $G$ лежит лишь конечное число решений уравнения $f(z) = a$ (при произвольном фиксированном значении $a$).

Существует ли функция $f(z)$, регулярная в некоторой окрестности точки $z = 0$ и удовлетворяющая одному из следующих условий (для всех $n = 1,2, \ldots )$:

Пусть функции $f_{1}(z)$ и $f_{2}(z)$ регулярны в области $D$ и удовлетворяют в этой области дифференциальному уравнению $f^{\prime }(z) = P(z, f(z))$, где $P(z, w)$ — многочлен от своих переменных. Доказать, что если в некоторой точке $z_{0} \in D$ имеет место равенство $f_{1}\left(z_{0}\right) = f_{2}\left(z_{0}\right)$, то $f_{1}(z) \equiv f_{2}(z)$.

Пусть функции $f_{1}(z)$ и $f_{2}(z)$ регулярны в области $D$ и удовлетворяют в этой области дифференциальному уравнению

где $P$ — многочлен от своих переменных. Доказать, что если в некоторой точке $z_{0} \in D$ имеют место равенства

то $f_{1}(z) \equiv f_{2}(z)$.

Доказать, что функциональное уравнение $f(z) = f(2 z)$ не имеет решений, регулярных в точке $z = 0$ и отличных от тождественной постоянной.

Пусть $q = e^{2 \pi i \alpha }$, где $\alpha$ — иррациональное число. Доказать, что функциональное уравнение $f(z) = f(q z)$ не имеет решений $f(z)$, регулярных при $1 / 2 < \left|z\right| < 2$ и отличных от тождественной постоянной.

Пусть $f(z)$ — периодическая функция, регулярная в некоторой области, содержащей точку $z = \infty$. Доказать, что $f(z) =$ const во всей области регулярности.

Доказать, что функции $e^{z}, \cos z, \sin z, \operatorname {ch} z, \operatorname {sh} z$, определяемые первоначально лишь для действительных значений переменного, можно регулярно продолжить на всю комплексную плоскость, разложив эти функции в ряд Тейлора.

Найти возможно более широкую область, в которую можно регулярно продолжить с действительной оси функции:

Доказать, что функцию $\ln z$, определенную для действительных положительных значений $z$, можно регулярно продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части действительной оси и, обозначив это регулярное продолжение символом $h(z)$, получить для него формулу

Пусть $\alpha$ — произвольное действительное число. Доказать, что функцию $z^{\alpha }$, определенную для действительных положительных $z$, можно регулярно продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части действительной оси и, обозначив это регулярное продолжение символом $\left(z^{\alpha }\right)$, получить для него формулу

Пусть функция $\Phi \left(z_{1}, \ldots , z_{n}\right)$ определена, когда

и регулярна по каждой переменной $z_{k}$ в области $D_{k}$ при произвольных фиксированных значениях остальных переменных. Доказать, что если каждая область $D_{k}$ содержит непустой интервал $\left(a_{k}, b_{k}\right)$ действительной оси и если

то $\Phi \left(z_{1}, \ldots , z_{n}\right) \equiv 0$.

Опираясь на справедливость приводимых ниже формул для действительных значений переменных, доказать их справедливость и для произвольных комплексных значений этих переменных:

Пусть функция $f(z)$ регулярна в некоторой области, содержащей отрезок $[0,1]$, и удовлетворяет условию $f(z+1) = f(z)$. Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить в некоторую полосу $-\delta < \operatorname {Im} z < \delta$, $\delta > 0$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в некоторой области, содержащей отрезок $[0,1]$, и удовлетворяет условию

где $p(z)$ — многочлен. Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить в некоторую полосу $-\delta < \operatorname {Im} z < \delta , \delta > 0$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в некоторой области, содержащей отрезок $[1,2]$, и удовлетворяет условию

где $p(z)$ — многочлен. Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить в некоторый угол $-\delta < \arg z < \delta , \delta > 0$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в кольце $\rho < \left|z\right| < 1, \rho > 0$, и удовлетворяет в нем функциональному уравнению

где $g(z)$ — некоторая данная функция, регулярная в круге $\left|z\right| < 1$. Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить в кольцо $0 < \left|z\right| < 1$.

Гамма-функция Эйлера $\Gamma (z)$ определена при действительных $z > 0$ равенством

Доказать, что функцию $\Gamma (z)$ можно регулярно продолжить на всю комплексную плоскость, за исключением точек $z = 0,-1,-2, \ldots$.

Бета-функция Эйлера $\mathrm{B}(z, \zeta )$ определяется при действительных $z > 0$ и $\zeta > 0$ равенством

Доказать, что функцию $\mathrm{B}(z, \zeta )$ можно регулярно продолжить по каждой из переменных на всю комплексную плоскость, за исключением точек $z = 0,-1,-2, \ldots ($ соответственно $\zeta = 0,-1,-2, \ldots )$.

Пусть функция $\varphi (\zeta )$ регулярна в кольце $r \leqslant \left|\zeta \right| \leqslant R$. Доказать, что функцию $f(z)$, заданную в круге $\left|z\right| < r$ с помощью формулы

($m$ — целое число) можно регулярно продолжить в круг $\left|z\right| < R$ и что это регулярное продолжение $g(z)$ задается формулой

Доказать, что следующие функции могут быть регулярно продолжены на области $G$, указанные в скобках:

Пусть функция $\varphi (\zeta )$ регулярна в полосе $-a \leqslant \operatorname {Re} \zeta \leqslant 0$ и удовлетворяет условию

Доказать, что функция

допускает регулярное продолжение в полуплоскость $\operatorname {Re} z > -a$ и что это продолжение $g(z)$ дается формулой

Доказать, что для регулярного продолжения $g(z)$, построенного в задаче 22, справедлива также формула