Банк задач по математике

Задача 28.1

(1)(2)(3)(4)

Найти образы при отображении $w = z^{2}$ следующих линий:

?

(1)

$\left\{ z: \arg z = \alpha \right\} \quad (-\pi < \alpha \leqslant \pi )$ ;

(2)

$\left\{ z: \operatorname {Re} z = a\right\} (a > 0)$ ;

(3)

$\left\{ z: \operatorname {Im} z = a\right\} (a > 0)$ ;

(4)

$\left\{ z:\left|z\right| = \rho ,\left|\arg z\right| < \frac{\pi }{4}\right\}$ .

Задача 28.2

Найти образы при отображении $w = z^{2}$ следующих областей:

?

(1)

$\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\}$ ;

(2)

$\left\{ z: \operatorname {Re} z > 0\right\}$ ;

(3)

$\left\{ z: \pi < \arg z < \frac{3 \pi }{2}\right\}$ ;

(4)

$\left\{ z:\left|z\right| < 1, \frac{5 \pi }{4} \pi < \arg z < \frac{3 \pi }{2}\right\}$ ;

(5)

$\left\{ z: \operatorname {Im} z < -1\right\}$ ;

(6)

$\left\{ z: \operatorname {Re} z > 1\right\}$ ;

(7)

$\left\{ z:\left|z\right| < 2,0 < \arg z < \frac{\pi }{2}\right\}$ ;

(8)

$\left\{ z:\left|z\right| > \frac{1}{2}, \operatorname {Re} z > 0\right\}$ .

Задача 28.3

Найти образы следующих областей $D$ при отображении регулярной ветвью $f(z)$ функции $\left\{ z: \sqrt{z}\right\}$ , выделяемой ее значением в указанной точке:

?

(1)

$D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , g(i) = -\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ ;

(2)

$D = \left\{ z: \operatorname {Re} z > 0\right\} , g(1) = 1$ ;

(3)

$D = \left\{ z: z \notin [0,+\infty ]\right\} , g(-1) = -i$ ;

(4)

$D = \left\{ z: z \notin [-\infty ,-1]\right\} , g(4) = 2$ ;

(5)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , g(i / 2) = \frac{1+i}{2}$ ;

(6)

$D = \left\{ z:\left|z\right| > 1, \frac{3 \pi }{4} < \arg z < \frac{5 \pi }{4}\right\} , g(-1) = i$ ;

(7)

$D = \left\{ z:(\operatorname {Im} z)^{2} > 2 \operatorname {Re} z+1\right\} , g(-1) = -i$ ;

(8)

$D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0,(\operatorname {Im} z)^{2} > 4 \operatorname {Re} z+4\right\} , g(-1) = i$ .

Задача 28.4

Найти образы множеств $E$ при указанных отображениях:

?

(1)

$E = \left\{ z: \arg z = \frac{\pi }{4}\right\} , w = z^{3} ;$

(2)

$E = \left\{ z:\left|z\right| = 2, \frac{n}{8} < \arg z < \frac{\pi }{4}\right\} , w = z^{4}$ ;

(3)

$E = \left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = z^{3 / 2}, w\left(\frac{i}{2}\right) = \frac{1-i}{4}$ ;

(4)

$E = \left\{ z:\left|z\right| > 4\text{, }\operatorname {Re} z > 0\right\} , w = z^{-3 / 2}, w(9) = -\frac{1}{27}$ ;

(5)

$E = \left\{ z:\left|\arg z\right| < \frac{\pi }{8}, z \in [0,1]\right\} , w = z^{8}$ .

Задача 28.5

Найти какие-либо функции $w(z)$ , осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.31-28.45, на полуплоскость $\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}$ .

?

(1)

Рис. 28.31

(2)

Рис. 28.32

(3)

Рис. 28.33

(4)

Рис. 28.34

(5)

Рис. 28.35

(6)

Рис. 28.36

(7)

Рис. 28.37

(8)

Рис. 28.38

(9)

Рис. 28.39

(10)

Рис. 28.41

(11)

Рис. 28.42

(12)

Рис. 28.43

(13)

Рис. 28.44

(14)

Рис. 28.45

Задача 28.6

Найти функцию $w(z)$ , конформно отображающую область

\left\{ (x, y): y^{2} > 4(x+1)\right\} (x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z)

на круг $\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}$ и удовлетворяющую условиям

w(-4) = 0, \quad \arg w^{\prime }(-4) = 0.

?

Задача 28.7

Найти функцию $w(z)$ , конформно отображающую угол $\left\{ z:\left|\arg z\right| < \frac{\pi }{4}\right\}$ на круг $\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}$ и удовлетворяющую условиям

w(1) = 0, \quad \arg w^{\prime }(1) = \pi .

?

Задача 28.8

Найти образы следующих областей $D$ при отображении регулярной ветвью функции $w = z+\sqrt{z^{2}-1}$ , выделяемой ее значением в указываемой точке (в неравенствах, определяющих область, положено $x = \operatorname {Re} z$ , $y = \operatorname {Im} z$ , а $a, b$ и $\alpha$ — действительные постоянные):

?

(1)

$D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} > 1\right\} ,(a > 0), w(\infty ) = 0 ;$

(2)

$D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{1-a^{2}} < 1\right\} ,(0 < a < 1), w(0) = i$ ;

(3)

$D = \left\{ z: z \notin [-\infty ,-1], z \notin [1,+\infty ]\right\} , w(0) = i$ ;

(4)

$D = \left\{ z: z \notin [-1,1]\right\} , w(\infty ) = \infty$ ;

(5)

$D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , w(+i \infty ) = 0$ ;

(6)

$D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} < 1, y > 0\right\} ,(a > 1), w(+i 0) = i$ ;

(7)

$D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha }-\frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha } > 1, x > 0, y > 0\right\}$ , $\left(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\right), w(+\infty ) = 0 ;$

(8)

$D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} < 1, z \notin [-1,1]\right\} ,(a > 1), w(+i 0) = -i$ ;

(9)

$D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} < 1, \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}-1} > 1\right\}$ , $(a > b > 1), w(z) > 1$ при $b < z < a$ .

Задача 28.9

Доказать, что образом области $\left\{ z:\left|z-i h\right| > \sqrt{1+h^{2}}\right\}$ при отображении $w = \frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$ является вся плоскость $w$ с разрезом по дуге окружности, имеющей концы в точках $w = \pm 1$ и проходящей через точку $w = i h$ .

?

Задача 28.10

Найти какие-либо функции $w(z)$ , осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.46-28.61, на полуплоскость $\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}$ .

?

(1)

Рис. 28.46

(2)

Рис. 28.47

(3)

Рис. 28.48

(4)

Рис. 28.49

(5)

Рис. 28.50

(6)

Рис. 28.51

(7)

Рис. 28.52

(8)

Рис. 28.53

(9)

Рис. 28.54

(10)

Рис. 28.55

(11)

Рис. 28.56

(12)

Рис. 28.57

(13)

Рис. 28.59

(14)

Рис. 28.61

Задача 28.11

Найти какие-либо функции $w(z)$ , осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.62-28.69, на круг $\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}$ .

?

(1)

Рис. 28.62

(2)

Рис. 28.63

(3)

Рис. 28.64

(4)

Рис. 28.65

(5)

Рис. 28.66

(6)

Рис. 28.67

(7)

Рис. 28.68

(8)

Рис. 28.69

Задача 28.12

Найти функцию $w(z)$ , конформно отображающую полукруг $\left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}$ , на круг $\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}$ и удовлетворяющую условиям

w\left(\frac{i}{2}\right) = 0, \quad \arg w^{\prime }\left(\frac{i}{2}\right) = 0.

?

Задача 28.13

Найти функцию $w(z)$ , конформно отображающую область $\left\{ z = x+i y: x^{2}-y^{2} < 1\right\}$ на круг $\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}$ и удовлетворяющую условиям $w(0) = 0, w(1) = 1$ .

?

Задача 28.14

Найти функцию $w(z)$ , конформно отображающую круг $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ , разрезанный по радиусу $[-1,0]$ , на круг $\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}$ и удовлетворяющую условиям

w(1) = -1, \quad w(-1+i 0) = \frac{7-4 i \sqrt{2}}{9}, \quad w(-1-i 0) = \frac{7+4 i \sqrt{2}}{9}.

?

Задача 28.15

Найти функцию $w(z)$ , конформно отображающую всю плоскость $z$ с разрезом по дуге окружности $\left\{ z:\left|z\right| = 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}$ , на всю плоскость $w$ с разрезом по отрезку $[-1,1]$ и удовлетворяющую условиям $w(1) = 1$ , $w(\infty ) = \infty$ .

?

Задача 28.16

Найти образы следующих линий при отображении функцией $w = \frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right):$

?

(1)

$\left\{ z:\left|z\right| = 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}$ ;

(2)

$\left\{ z:\left|z\right| = 1,-\frac{3 \pi }{4} < \arg z < -\frac{\pi }{4}\right\}$ ;

(3)

$\left\{ z:\left|z\right| = 2\right\}$ ;

(4)

$\left\{ z:\left|z\right| = \frac{1}{2}\right\}$ ;

(5)

$\left\{ z: \arg z = \frac{\pi }{4}\right\}$ ;

(6)

$\left\{ z: \arg z = \frac{3 \pi }{4}\right\}$ .

Задача 28.17

Найти образы следующих областей при отображении функцией $w = \frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right):$

?

(1)

$\left\{ z:\left|z\right| > 2\right\}$ ;

(2)

$\left\{ z:\left|z\right| < \frac{1}{2}\right\}$ ;

(3)

$\left\{ z: \frac{\pi }{4} < \arg z = \frac{3 \pi }{4}\right\}$ ;

(4)

$\left\{ z: \frac{\pi }{4} < \arg z = \frac{3 \pi }{4}, z \notin [0, i]\right\}$ ;

(5)

$\left\{ z:\left|z\right| < 1, z \notin [0,1]\right\}$ ;

(6)

$\left\{ z:\left|z\right| > 1, z \notin [-2,-1], z \notin [1,+\infty ]\right\}$ ;

(7)

$\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} \backslash \left\{ z:\left|z\right| = 1,0 < \arg z < \frac{\pi }{4}, \frac{3 \pi }{4} < \arg z < \pi \right\}$ ;

(8)

$\left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z < 0, z \notin \left[-i,-\frac{i}{2}\right]\right\}$ ;

(9)

$\left\{ z:\left|z\right| < 1,0 < \arg z < \frac{\pi }{2}\right\}$ ;

(10)

$\left\{ z:\left|z\right| < 1,-\frac{3 \pi }{4} < \arg z < -\frac{\pi }{4}\right\}$ .

Задача 28.18

Найти образы областей $D$ при отображениях, осуществляемых указанными функциями:

?

(1)

$D = \left\{ z:-\pi < \operatorname {Im} z < 0\right\} , w = e^{z}$ ;

(2)

$D = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \pi \right\} , w = e^{z}$ ;

(3)

$D = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \frac{\pi }{2}\right\} , w = e^{z}$ ;

(4)

$D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < 2 \pi , \operatorname {Re} z > 0\right\} , w = e^{z}$ ;

(5)

$D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < \frac{\pi }{2}, \operatorname {Re} z > 0\right\} , w = e^{2 z}$ ;

(6)

$D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < \pi , \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = e^{i z}$ ;

(7)

$D = \left\{ z: z \notin [0,+\infty ]\right\} , w = \ln z, w(-1) = -\pi i$ ;

(8)

$D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = \ln z, w(i) = \frac{\pi i}{2}$ ;

(9)

$D = \left\{ z: z \notin [-\infty , 0], z \notin [1,+\infty ]\right\} , w = \ln z, w(i) = \frac{\pi i}{2}$ ;

(10)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = \ln z, w(i-i 0) = -\frac{3 \pi i}{2}$ ;

(11)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1, z \notin [0,1]\right\} , w = \ln z, w(-1+0) = -\pi i$ ;

(12)

$D = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \frac{\pi }{4}\right\} , w = \operatorname {th} z$ ;

(13)

$D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < \pi \right\} , w = \operatorname {tg} z$ ;

(14)

$D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < \frac{\pi }{4}\right\} , w = \operatorname {ctg} z$ ;

(15)

$D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = \operatorname {tg} \pi z$ ;

(16)

$D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < \pi \right\} , w = \operatorname {ch} z$ ;

(17)

$D = \left\{ z: \operatorname {Re} z > 0,-1 < \operatorname {Im} z < 0\right\} , w = \operatorname {ch} \pi z$ ;

(18)

$D = \left\{ z: \operatorname {Re} z > 0,0 < \operatorname {Im} z < 1, z \notin \left[\frac{i}{2}, \frac{1+i}{2}\right]\right\} , w = \operatorname {ch} \pi z$ ;

(19)

$D = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \pi , \operatorname {Re} z > 0\right\} , w = \operatorname {sh} z$ ;

(20)

$D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < 2 \pi \text{, }\operatorname {Im} z > 0\right\}$ , $w = \sin z$ .

Задача 28.19

Найти какие-либо функции $w(z)$ , осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.70-28.85, на полуплоскость $\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}$ .

?

(1)

Рис. 28.70

(2)

Рис. 28.71

(3)

Рис. 28.72

(4)

Рис. 28.73

(5)

Рис. 28.74

(6)

Рис. 28.75

(7)

Рис. 28.76

(8)

Рис. 28.77

(9)

Рис. 28.78

(10)

Рис. 28.79

(11)

Рис. 28.80

(12)

Рис. 28.81

(13)

Рис. 28.82

(14)

Рис. 28.83

(15)

Рис. 28.84

(16)

Рис. 28.85

Задача 28.20

Найти какие-либо функции $w(z)$ , конформно отображающие области, изображенные на рис. 28.86-28.91, на полосу $\left\{ w: 0 < \operatorname {Im} w < 1\right\}$ .

?

(1)

Рис. 28.86

(2)

Рис. 28.87

(3)

Рис. 28.88

(4)

Рис. 28.89

(5)

Рис. 28.90

(6)

Рис. 28.91

Задача 28.21

Найти функцию $w(z)$ конформно отображающую полосу $\left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \pi \right\}$ на полосу $\left\{ w:\left|\operatorname {Im} w\right| < \pi \right\}$ и удовлетворяющую условиям

w(\pi i) = +\infty , \quad w(+\infty ) = -\pi i, \quad w(-\pi i) = -\infty .

?

Задача 28.22

Найти какие-нибудь функции, осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.92-28.107, на полуплоскость $\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}$ .