Глава 6

Конформные отображения

[114/49%]
Показать
LaTeX
§
25 · Геометрический смысл производной[11/55%]
Задача 25.1

Пусть дан луч {z:arg⁡(z−z0)=φ}\left\{ z: \arg \left(z-z_{0}\right) = \varphi \right\}, выходящий из точки z0z_{0}. Найти коэффициент линейного растяжения R(φ)R(\varphi ) в точке z0z_{0} и угол поворота α(φ)\alpha (\varphi ) в точке z0z_{0} для этого луча при следующих отображениях:

?
(1)

w=z2,z0=1w = z^{2}, z_{0} = 1;

(2)

w=zˉ2,z0=iw = \bar{z}^{2}, z_{0} = i;

(3)

w=ie2z,z0=0w = i e^{2 z}, z_{0} = 0;

(4)

w=2z+izˉ,z0=0w = 2 z+i \bar{z}, \quad z_{0} = 0;

(5)

w=z−z0z+z0(z0≠0)w = \frac{z-z_{0}}{z+z_{0}}\left(z_{0} \neq 0\right);

(6)

w=1−iz1+iz,z0=−iw = \frac{1-i z}{1+i z}, \quad z_{0} = -i.

Задача 25.2

Найти множества всех точек z0z_{0}, в которых коэффициент линейного растяжения при следующих отображениях равен единице:

?
(1)

w=z2w = z^{2};

(2)

w=z3w = z^{3};

(3)

w=z2−2zw = z^{2}-2 z;

(4)

w=1zw = \frac{1}{z};

(5)

w=1+iz1−izw = \frac{1+i z}{1-i z}.

Задача 25.3

Найти множества всех тех точек z0z_{0}, в которых угол поворота при следующих отображениях равен нулю:

?
(1)

w=iz2w = i z^{2};

(2)

w=−z3w = -z^{3};

(3)

w=z2−2zw = z^{2}-2 z;

(4)

w=izw = \frac{i}{z};

(5)

w=1+iz1−izw = \frac{1+i z}{1-i z}.

Задача 25.4

Пусть функция w(z)w(z) регулярна в точке z0z_{0}, а гладкие кривые Γ1\Gamma_{1} и Γ2\Gamma_{2}, проходящие через точку z0z_{0}, обладают тем свойством, что

Re⁡w(z)=Re⁡w(z0)(z∈Γ1)Im⁡w(z)=Im⁡w(z0)(z∈Γ2) \begin{array}{ll} \operatorname {Re} w(z) = \operatorname {Re} w\left(z_{0}\right) & \left(z \in \Gamma _{1}\right) \\ \operatorname {Im} w(z) = \operatorname {Im} w\left(z_{0}\right) & \left(z \in \Gamma _{2}\right) \end{array}

Доказать, что если w′(z0)≠0w^{\prime }\left(z_{0}\right) \neq 0, то кривые Γ1\Gamma_{1} и Γ2\Gamma_{2} пересекаются под прямым углом.

?
Задача 25.5

Пусть функция w(z)w(z) регулярна в точке z0z_{0}, а гладкие кривые Γ1\Gamma_{1} и Γ2\Gamma_{2}, проходящие через точку z0z_{0}, обладают тем свойством, что

∣w(z)∣=∣w(z0)∣(z∈Γ1);Re⁡w(z)=Re⁡w(z0)(z∈Γ2). \begin{aligned} \left|w(z)\right| & = \left|w\left(z_{0}\right)\right| \quad \left(z \in \Gamma _{1}\right) ; \\ \operatorname {Re} w(z) & = \operatorname {Re} w\left(z_{0}\right) \quad \left(z \in \Gamma _{2}\right). \end{aligned}

Доказать, что если w′(z0)≠0w^{\prime }\left(z_{0}\right) \neq 0, то кривые Γ1\Gamma_{1} и Γ2\Gamma_{2} при пересечении в точке z0z_{0} образуют углы ±arg⁡w(z0)+kπ\pm \arg w\left(z_{0}\right)+k \pi.

?
Задача 25.6

Найти длины образов следующих кривых Г при указанных отображениях:

?
(1)

Γ={z:z=it+1,0⩽t⩽1},w=z2\Gamma = \left\{ z: z = i t+1,0 \leqslant t \leqslant 1\right\} , w = z^{2};

(2)

Γ={z:z=it,0⩽t⩽2π},w=ez\Gamma = \left\{ z: z = i t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi \right\} , w = e^{z};

(3)

Γ={z:z=(1+i)t,0⩽t⩽2π},w=ez\Gamma = \left\{ z: z = (1+i) t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi \right\} , w = e^{z};

(4)

Γ={z:z=(1+i)t,0⩽t⩽1},w=zm(m=1,2,…)\Gamma = \left\{ z: z = (1+i) t, 0 \leqslant t \leqslant 1\right\} , w = z^{m}(m = 1,2, \ldots ).

Задача 25.7

Найти площади образов областей DD при указанных отображениях:

?
(1)

D={z:2<∣z∣<3,∣arg⁡z∣<π4},w=z2;D = \left\{ z: 2 < \left|z\right| < 3,\left|\arg z\right| < \frac{\pi }{4}\right\} , w = z^{2} ;

(2)

D={z:0<∣Re⁡z∣<1,∣Im⁡z∣<π},w=ezD = \left\{ z: 0 < \left|\operatorname {Re} z\right| < 1,\left|\operatorname {Im} z\right| < \pi \right\} , w = e^{z};

(3)

D={z:0<∣Re⁡z∣<1,1<∣Im⁡z∣<2}D = \left\{ z: 0 < \left|\operatorname {Re} z\right| < 1,1 < \left|\operatorname {Im} z\right| < 2\right\}, w=z−1z+1w = \frac{z-1}{z+1}.

Задача 25.8

Найти область, на которую функция w=ezw = e^{z} отображает прямоугольник

D={1<x<2,0<y<8}. D = \left\{ 1 < x < 2,0 < y < 8\right\} .

Вычислить площадь области w(D)w(D) с помощью формулы (4) и объяснить, почему эта формула дает неправильный ответ.

?
Задача 25.9

Пусть

P(z)=a0+a1z+…+anzn P(z) = a_{0}+a_{1} z+\ldots +a_{n} z^{n}

Обозначим через L(r)L(r) длину образа окружности {z:∣z∣=r}\left\{ z:\left|z\right| = r\right\} при отображении w=P(z)w = P(z), а через S(r)S(r) — площадь образа круга {z:∣z∣<r}\left\{ z:\left|z\right| < r\right\} при том же отображении. Доказать, что:

?
(1)

справедливо неравенство S(r)⩾πr2∣P′(0)∣2S(r) \geqslant \pi r^{2}\left|P^{\prime }(0)\right|^{2};

(2)

справедливо неравенство

∫0rL2(t)tdt⩽2πS(r) \int _{0}^{r} \frac{L^{2}(t)}{t} d t \leqslant 2 \pi S(r)
(3)

справедливо неравенство L(r)⩾2πr∣P′(0)∣L(r) \geqslant 2 \pi r\left|P^{\prime }(0)\right|.

Указание. Вначале доказать формулы

12π∫02πP′(reiφ)dφ=P′(0);∬∣z∣<r∣P′(z)∣2dxdy=π∑m=0nm∣am∣2r2m \frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } P^{\prime }\left(r e^{i \varphi }\right) d \varphi = P^{\prime }(0) ; \quad \iint _{\left|z\right| < r}\left|P^{\prime }(z)\right|^{2} d x d y = \pi \sum _{m = 0}^{n} m\left|a_{m}\right|^{2} r^{2 m}
Задача 25.10

Пусть Q(z)=z+∑k=1nckz−kQ(z) = z+\sum_{k = 1}^{n} c_{k} z^{-k}. Найти площадь образа кольца {z:r<∣z∣<R}\left\{ z: r < \left|z\right| < R\right\} при отображении w=Q(z)w = Q(z), считая площадь каждой элементарной площадки с центром в точке w0w_{0} столько раз, сколько раз функция Q(z)Q(z) принимает значение w0w_{0} в кольце {z:r<∣z∣<R}\left\{ z: r < \left|z\right| < R\right\}.

?
Задача 25.11

Пусть функция w(z)w(z) регулярна в области DD и пусть ее отображение w=w(z)w = w(z) сохраняет евклидово расстояние между точками, т. е. для любой пары точек z1∈Dz_{1} \in D и z2∈Dz_{2} \in D имеет место равенство

∣w(z2)−w(z1)∣=∣z2−z1∣ \left|w\left(z_{2}\right)-w\left(z_{1}\right)\right| = \left|z_{2}-z_{1}\right|

Доказать, что w(z)=eiφz+aw(z) = e^{i \varphi } z+a, где φ\varphi действительная и aa комплексная постоянные.

?
§
26 · Определение и общие свойства конформных отображений[19/11%]
Задача 26.1

Выяснить, конформно ли отображение f(z)f(z) в областях DD, указываемых в скобках:

?
(1)

f(z)=az+bcz+d,ad−bc≠0(D=C)f(z) = \frac{a z+b}{c z+d}, a d-b c \neq 0(D = \mathbb {C});

(2)

f(z)=z2(D={z:1<∣z∣<2,0<arg⁡z<3π2})f(z) = z^{2}\left(D = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < 2,0 < \arg z < \frac{3 \pi }{2}\right\} \right);

(3)

f(z)=z+1z(D={z:∣z∣<1})f(z) = z+\frac{1}{z}(D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} );

(4)

f(z)=ez(D={z:∣z∣<4})f(z) = e^{z} \quad (D = \left\{ z:\left|z\right| < 4\right\} );

(5)

f(z)=z2(D={z:3<∣z+2∣<4,0<arg⁡(z+2)<3π2})f(z) = z^{2}\left(D = \left\{ z: 3 < \left|z+2\right| < 4,0 < \arg (z+2) < \frac{3 \pi }{2}\right\} \right);

(6)

f(z)=ez(D={z:∣Re⁡[(1+i)z]∣<π})f(z) = e^{z} \quad (D = \left\{ z:\left|\operatorname {Re}[(1+i) z]\right| < \pi \right\} );

(7)

f(z)=z+1z(D={z:∣z−i∣<2})f(z) = z+\frac{1}{z} \quad (D = \left\{ z:\left|z-i\right| < \sqrt{2}\right\} ).

Задача 26.2

Доказать следующие утверждения:

?
(1)

отображение z2z^{2} конформно в области DD в том и только в том случае, когда области DD и −D-D не имеют общих точек;

(2)

отображение 12(z+1z)\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right) конформно в области DD в том и только в том случае, когда области DD и 1D\frac{1}{D} не имеют общих точек;

(3)

отображение eze^{z} конформно в области DD в том и только в том случае, когда области DD и D+2πiD+2 \pi i не имеют общих точек;

(4)

отображение tg⁡z\operatorname {tg} z конформно в области DD в том и только в том случае, когда области DD и D+πD+\pi не имеют общих точек;

(5)

отображение cos⁡z\cos z конформно в области DD в том и только в том случае, когда области D,−D,D+2π,−D+2πD,-D, D+2 \pi ,-D+2 \pi не имеют попарно общих точек.

Задача 26.3

Пусть n⩾2n \geqslant 2 — целое число, а α\alpha — произвольное действительное число. Доказать, что отображение zn+neiαzz^{n}+n e^{i \alpha } z конформно в круге {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}.

?
Задача 26.4

Доказать, что отображение z2+azz^{2}+a z конформно в полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} в том и только в том случае, когда выполняется неравенство Im⁡a⩾0\operatorname {Im} a \geqslant 0.

?
Задача 26.5

Доказать, что ни одна из регулярных в полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} ветвей функции z5\sqrt{z^{5}} не задает конформное отображение этой полуплоскости.

?
Задача 26.6

Доказать, что если функция Ln⁡z\operatorname {Ln} z допускает выделение в области DD регулярной ветви, то эта регулярная ветвь задает конформное отображение области DD.

?
Задача 26.7

Пусть nn — целое положительное число. Доказать, что если функция zn\sqrt[n]{z} допускает выделение в области DD регулярной ветви, то эта регулярная ветвь задает конформное отображение области DD.

?
Задача 26.8

Пусть отображение f(z)f(z) конформно на множестве EE, а отображение g(ζ)g(\zeta ) определено на множестве E′E^{\prime } значений f(z)f(z). Доказать, что отображение g(f(z))g(f(z)) конформно на множестве EE тогда и только тогда, когда g(ζ)g(\zeta ) конформно на множестве E′E^{\prime }.

?
Задача 26.9

Пусть функция f(z)f(z) регулярна и задает конформное отображение круга {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}, а f(0)=0f(0) = 0. Доказать, что многозначное отображение {f(zn)n}\left\{ \sqrt[n]{f\left(z^{n}\right)}\right\} в круге {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} распадается на nn регулярных и задающих конформные отображения в круге функций.

?
Задача 26.10

Доказать, что для конформности квадратного трехчлена az2+bz+ca z^{2}+b z+c в выпуклой области DD необходимо и достаточно, чтобы этот трехчлен был конформным в каждой точке области DD.

?
Задача 26.11

Пусть a,ba, b и z0z_{0} — заданные комплексные числа. Найти наибольшее значение RR, при котором отображение z2+az+bz^{2}+a z+b конформно в круге {z:∣z−z0∣<R}\left\{ z:\left|z-z_{0}\right| < R\right\}.

?
Задача 26.12

Доказать, что отображение z2+az+bz^{2}+a z+b конформно в каждой области DD, лежащей по одну сторону от какой-либо прямой, проходящей через точку z=−a2z = -\frac{a}{2}.

?
Задача 26.13

Доказать, что многочлен anzn+…+a1z+a0a_{n} z^{n}+\ldots +a_{1} z+a_{0} может быть конформным отображением в полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} только в том случае, если его степень не выше второй.

?
Задача 26.14

Убедиться, что следующие отображения не конформны в указываемых областях DD, хотя и конформны в каждой точке этих областей:

?
(1)

z2(D:={z:1<∣z∣<2})z^{2}(D: = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < 2\right\} );

(2)

z3(D:={z:Im⁡z>0})z^{3}(D: = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} );

(3)

ez(D:={z:∣z∣<4})e^{z}(D: = \left\{ z:\left|z\right| < 4\right\} ).

Задача 26.15

Доказать конформность отображения z3−3zz^{3}-3 z в области

{z:(Re⁡z)2>1+(Im⁡z)2,Re⁡z>0}. \left\{ z:(\operatorname {Re} z)^{2} > 1+(\operatorname {Im} z)^{2}, \operatorname {Re} z > 0\right\} .
?
Задача 26.16

Доказать конформность отображения z+ezz+e^{z} в полуплоскости {z:Re⁡z<0}\left\{ z: \operatorname {Re} z < 0\right\}.

?
Задача 26.17

Пусть −∞<a1<…<an<+∞-\infty < a_{1} < \ldots < a_{n} < +\infty. Доказать, что любая регулярная ветвь многозначной функции f(z)=(z−a1)…(z−an)nf(z) = \sqrt[n]{\left(z-a_{1}\right) \ldots \left(z-a_{n}\right)} в полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} задает конформное в этой полуплоскости отображение.

?
Задача 26.18

Пусть −∞<a1<a2<a3<a4<+∞,0<α<1-\infty < a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < +\infty , 0 < \alpha < 1. Доказать, что любая регулярная ветвь многозначной функции

f(z)=∫0z(ζ−a1)α−1(ζ−a2)−α(ζ−a3)α−1(ζ−a4)−αdζ f(z) = \int _{0}^{z}\left(\zeta -a_{1}\right)^{\alpha -1}\left(\zeta -a_{2}\right)^{-\alpha }\left(\zeta -a_{3}\right)^{\alpha -1}\left(\zeta -a_{4}\right)^{-\alpha } d \zeta

в полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} задает конформное отображение этой полуплоскости.

?
Задача 26.19

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области DD, ограниченной простой замкнутой кривой Γ\Gamma, и непрерывна в замыкании этой области. Доказать, что если образ кривой Γ\Gamma при отображении w=f(z)w = f(z) является простой замкнутой кривой, то отображение f(z)f(z) конформно в области DD.

?
§
27 · Дробно-линейные отображения[17/59%]
Задача 27.1

Пусть x=Re⁡z,y=Im⁡zx = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z, а CC — положительная постоянная. Найти образы каждой линии указанных семейств при отображении w=1zw = \frac{1}{z}:

?
(1)

семейство окружностей {(x,y):x2+y2=Cx}\left\{ (x, y): x^{2}+y^{2} = C x\right\};

(2)

семейство прямых {(x,y):y=x+C}\left\{ (x, y): y = x+C\right\};

(3)

семейство прямых {(x,y):y=Cx}\left\{ (x, y): y = C x\right\}.

Задача 27.2

Пусть x=Re⁡z,y=Im⁡zx = \operatorname {Re} z, \quad y = \operatorname {Im} z. Найти образы каждой области указанных семейств при отображении w=1zw = \frac{1}{z}:

?
(1)

семейство кругов {(x,y):x2+y2<Cx}\left\{ (x, y): x^{2}+y^{2} < C x\right\} (здесь CC — положительная постоянная);

(2)

семейство кругов {(x,y):x2+y2<Cx}\left\{ (x, y): x^{2}+y^{2} < C x\right\} (здесь CC-отрицательная постоянная);

(3)

семейство кругов {(x,y):x2+y2<Cy}\left\{ (x, y): x^{2}+y^{2} < C y\right\} (CC — положительная постоянная);

(4)

семейство полуплоскостей {(x,y):y>Cx}\left\{ (x, y): y > C x\right\} (CC — положительная постоянная);

(5)

семейство кругов {z:∣z−a∣<R}\left\{ z:\left|z-a\right| < R\right\}, где aa — фиксированная точка, а положительная постоянная RR удовлетворяет условию R<∣a∣R < \left|a\right|;

(6)

семейство кругов {z:∣z−a∣<R}\left\{ z:\left|z-a\right| < R\right\}, где aa — фиксированная точка, а постоянная RR удовлетворяет условию R>∣a∣R > \left|a\right|.

Задача 27.3

Найти образ круга {z:∣z−1∣<2}\left\{ z:\left|z-1\right| < 2\right\} при следующих отображениях:

?
(1)

w=1−2izw = 1-2 i z;

(2)

w=2izz+3w = \frac{2 i z}{z+3};

(3)

w=z+1z−2w = \frac{z+1}{z-2};

(4)

w=z−12z−6w = \frac{z-1}{2 z-6}.

Задача 27.4

Найти образ полуплоскости {z:Re⁡z<1}\left\{ z: \operatorname {Re} z < 1\right\} при следующих отображениях:

?
(1)

w=(1+i)z+1w = (1+i) z+1;

(2)

w=zz−1+iw = \frac{z}{z-1+i};

(3)

w=zz−2w = \frac{z}{z-2};

(4)

w=4zz+1w = \frac{4 z}{z+1};

(5)

w=z−3+iz+1+iw = \frac{z-3+i}{z+1+i}.

Задача 27.5

Найти образы указанных областей DD при указанных отображениях:

?
(1)

D={z:∣z∣<1,Im⁡z>0},w=1−z1+zD = \left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = \frac{1-z}{1+z};

(2)

D={z:z∉[−2,1]},w=z+21−zD = \left\{ z: z \notin [-2,1]\right\} , w = \frac{z+2}{1-z};

(3)

D={z:∣z−i∣>1,Im⁡z>0},w=1zD = \left\{ z:\left|z-i\right| > 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = \frac{1}{z};

(4)

D={z:1<∣z∣<2},w=2z−1D = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < 2\right\} , w = \frac{2}{z-1}.

Задача 27.6

Отыскать дробно-линейные функции w(z)w(z), удовлетворяющие условиям:

?
(1)

w(0)=4,w(1+i)=2+2i,w(2i)=0w(0) = 4, w(1+i) = 2+2 i, w(2 i) = 0;

(2)

w(0)=0,w(1+i)=2+2i,w(2i)=4w(0) = 0, w(1+i) = 2+2 i, w(2 i) = 4;

(3)

w(0)=0,w(1+i)=∞,w(2i)=2iw(0) = 0, w(1+i) = \infty , w(2 i) = 2 i.

Найти образ круга {z:∣z−i∣<1}\left\{ z:\left|z-i\right| < 1\right\} при отображениях, задаваемых этими функциями.

Задача 27.7

Отыскать дробно-линейные функции w(z)w(z), удовлетворяющие условиям:

?
(1)

w(i)=2,w(∞)=1+i,w(−i)=0w(i) = 2, w(\infty ) = 1+i, w(-i) = 0;

(2)

w(i)=0,w(∞)=1,w(−i)=∞w(i) = 0, w(\infty ) = 1, w(-i) = \infty;

(3)

w(i)=−2,w(∞)=2i,w(−i)=2w(i) = -2, w(\infty ) = 2 i, w(-i) = 2.

Найти образ полуплоскости {z:Re⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Re} z > 0\right\} при отображениях, задаваемых этими функциями.

Задача 27.8

Найти функцию w(z)w(z), конформно отображающую область DD на область D1D_{1} и удовлетворяющую указанным условиям:

?
(1)

D={z:∣z∣<1},D1={w:∣w∣<1},w(z0)=0,arg⁡w′(z0)=α(∣z0∣<1)D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , \quad D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , \quad w\left(z_{0}\right) = 0, \quad \arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\left|z_{0}\right| < 1\right);

(2)

D={z:∣z∣<1},D1={w:∣w∣<1},w(z0)=w0,arg⁡w′(z0)=α(∣z0∣<1,∣w0∣<1)D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w\left(z_{0}\right) = w_{0}, \arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\left|z_{0}\right| < 1,\left|w_{0}\right| < 1\right);

(3)

D={z:∣Im⁡z∣>0},D1={w:∣w∣<1},w(z0)=0,arg⁡w′(z0)=α(Im⁡z0>0)D = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w\left(z_{0}\right) = 0, \arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\operatorname {Im} z_{0} > 0\right);

(4)

D={z:∣Im⁡z∣>0},D1={w:∣w∣<1},w(z0)=w0,arg⁡w′(z0)=α(Im⁡z0>0,∣w0∣<1)D = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w\left(z_{0}\right) = w_{0}, \arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\operatorname {Im} z_{0} > 0,\left|w_{0}\right| < 1\right);

(5)

D={z:∣Im⁡z∣>0},D1={w:Im⁡w>0},w(z0)=w0D = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\} , w\left(z_{0}\right) = w_{0}, arg⁡w′(z0)=α(Im⁡z0>0,Im⁡w0>0);\arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\operatorname {Im} z_{0} > 0, \operatorname {Im} w_{0} > 0\right) ;

(6)

D={z:∣z∣<1},D1={w:∣w∣<1},w(1)=1,w(i)=3i−45D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(1) = 1, w(i) = \frac{3 i-4}{5}, w(−1)=−1w(-1) = -1;

(7)

D={z:∣z∣<1},D1={w:∣w∣<1},w(i)=i,w(i2)=4i5D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(i) = i, w\left(\frac{i}{2}\right) = \frac{4 i}{5};

(8)

D={z:∣z∣<1},D1={w:∣w∣<1},w(12)=12D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}, arg⁡w′(12)=π2\arg w^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi }{2};

(9)

D={z:Im⁡z>0},D1={w:∣w∣<1},w(0)=i,w(−1)=1D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(0) = i, w(-1) = 1, w(∞)=−1w(\infty ) = -1;

(10)

D={z:Im⁡z>0},D1={w:∣w∣<1},w(0)=−i,w(2i)=i3D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(0) = -i, w(2 i) = \frac{i}{3};

(11)

D={z:Im⁡z>0},D1={w:∣w∣<1},w(1+i)=0D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , \quad D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , \quad w(1+i) = 0, arg⁡w′(1+i)=π\arg w^{\prime }(1+i) = \pi;

(12)

D={z:Im⁡z>0},D1={w:Im⁡w>0},w(−1)=0,w(0)=2D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\} , w(-1) = 0, w(0) = 2, w(1)=∞w(1) = \infty;

(13)

D={z:Im⁡z>0},D1={w:Im⁡w>0},w(−1)=−2D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\} , w(-1) = -2, w(−2+i)=1+3i;w(-2+i) = 1+3 i ;

(14)

D={z:Im⁡z>0},D1={w:Im⁡w>0},w(1+i)=iD = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , \quad D_{1} = \left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\} , \quad w(1+i) = i, arg⁡w′(1+i)=π2\arg w^{\prime }(1+i) = \frac{\pi }{2};

(15)

D={z:∣z−1−i∣<2},D1={w:∣w∣<1},w(i)=0,arg⁡w′(i)=π2D = \left\{ z:\left|z-1-i\right| < 2\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(i) = 0, \arg w^{\prime }(i) = \frac{\pi }{2};

(16)

D={z:Re⁡z>−1},D1={w:∣w∣<1},w(0)=0,arg⁡w′(0)=πD = \left\{ z: \operatorname {Re} z > -1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(0) = 0, \arg w^{\prime }(0) = \pi.

Задача 27.9

Найти общий вид конформного отображения следующих областей на кольцо {w:1<∣w∣<R}\left\{ w: 1 < \left|w\right| < R\right\}:

?
(1)

{z:∣z−3∣>9,∣z−8∣<16}\left\{ z:\left|z-3\right| > 9,\left|z-8\right| < 16\right\};

(2)

{z:∣z−5∣>4, Re z>0}\left\{ z:\left|z-5\right| > 4\text{, Re }z > 0\right\}.

Задача 27.10

Пусть w(z)w(z) — произвольная дробно-линейная функция, а z1,z2,z3,z4z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} — четыре попарно различные точки расширенной комплексной плоскости. Обозначим

wk=w(zk),k=1,2,3,4. w_{k} = w\left(z_{k}\right), \quad k = 1,2,3,4.

Доказать, что

w4−w1w4−w2:w3−w1w3−w2=z4−z1z4−z2:z3−z1z3−z2. \frac{w_{4}-w_{1}}{w_{4}-w_{2}}: \frac{w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}} = \frac{z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}: \frac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}.
?
Задача 27.11

Доказать, что линии уровня модуля дробно-линейной функции являются окружностями или прямыми линиями.

?
Задача 27.12

Доказать, что линии уровня действительной части дробно-линейной функции являются окружностями или прямыми линиями.

?
Задача 27.13

Найти условие, которому должны удовлетворять точки z1,z1∗,z2,z2∗z_{1}, z_{1}^{*}, z_{2}, z_{2}^{*}, чтобы существовала окружность (или прямая), относительно которой точки zkz_{k} были бы симметричны с точками zk∗(k=1,2)z_{k}^{*}(k = 1,2).

?
Задача 27.14

Пусть функция w(z)w(z) мероморфна в области DD. Доказать следующие утверждения:

?
(1)

если при отображении w=w(z)w = w(z) образом любого отрезка прямой (лежащего в области DD) является отрезок прямой, то w(z)w(z) — линейная функция;

(2)

если при отображении w=w(z)w = w(z) образом любого отрезка прямой (лежащего в области DD) является дуга окружности или отрезок прямой, то w=w(z)w = w(z) — дробно-линейная функция.

Точка a∈C‾a \in \overline{\mathbb {C}} называется неподвижной точкой дробно-линейного преобразования ff, если f(a)=af(a) = a.

Задача 27.15

Доказать утверждения:

?
(1)

каждое дробно-линейное преобразование имеет хотя бы одну неподвижную точку (конечную или бесконечную);

(2)

каждое дробно-линейное преобразование, отличное от тождественного, имеет не более двух неподвижных точек (конечных и бесконечных).

Задача 27.16

Доказать, что дробно-линейное преобразование ff с единственной неподвижной точкой a∈C‾a \in \overline{\mathbb {C}} удовлетворяет уравнению

1f(z)−a=1z−a+A,A∈C \frac{1}{f(z)-a} = \frac{1}{z-a}+A, \quad A \in \mathbb {C}

при a≠∞a \neq \infty, а при a=∞a = \infty имеет вид

f(z)=z+A,A∈C. f(z) = z+A, \quad A \in \mathbb {C}.
?
Задача 27.17

Доказать, что дробно-линейное преобразование ff с двумя различными конечными неподвижными точками aa и bb удовлетворяет уравнению

f(z)−af(z)−b=A⋅z−az−b,A∈C \frac{f(z)-a}{f(z)-b} = A \cdot \frac{z-a}{z-b}, \quad A \in \mathbb {C}
?
§
28 · Конформные отображения элементарными функциями[22/68%]
Задача 28.1

Найти образы при отображении w=z2w = z^{2} следующих линий:

?
(1)

{z:arg⁡z=α}(−π<α⩽π)\left\{ z: \arg z = \alpha \right\} \quad (-\pi < \alpha \leqslant \pi );

(2)

{z:Re⁡z=a}(a>0)\left\{ z: \operatorname {Re} z = a\right\} (a > 0);

(3)

{z:Im⁡z=a}(a>0)\left\{ z: \operatorname {Im} z = a\right\} (a > 0);

(4)

{z:∣z∣=ρ,∣arg⁡z∣<π4}\left\{ z:\left|z\right| = \rho ,\left|\arg z\right| < \frac{\pi }{4}\right\}.

Задача 28.2

Найти образы при отображении w=z2w = z^{2} следующих областей:

?
(1)

{z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\};

(2)

{z:Re⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Re} z > 0\right\};

(3)

{z:π<arg⁡z<3π2}\left\{ z: \pi < \arg z < \frac{3 \pi }{2}\right\};

(4)

{z:∣z∣<1,5π4π<arg⁡z<3π2}\left\{ z:\left|z\right| < 1, \frac{5 \pi }{4} \pi < \arg z < \frac{3 \pi }{2}\right\};

(5)

{z:Im⁡z<−1}\left\{ z: \operatorname {Im} z < -1\right\};

(6)

{z:Re⁡z>1}\left\{ z: \operatorname {Re} z > 1\right\};

(7)

{z:∣z∣<2,0<arg⁡z<π2}\left\{ z:\left|z\right| < 2,0 < \arg z < \frac{\pi }{2}\right\};

(8)

{z:∣z∣>12,Re⁡z>0}\left\{ z:\left|z\right| > \frac{1}{2}, \operatorname {Re} z > 0\right\}.

Задача 28.3

Найти образы следующих областей DD при отображении регулярной ветвью f(z)f(z) функции {z:z}\left\{ z: \sqrt{z}\right\}, выделяемой ее значением в указанной точке:

?
(1)

D={z:Im⁡z>0},g(i)=−1+i2D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , g(i) = -\frac{1+i}{\sqrt{2}};

(2)

D={z:Re⁡z>0},g(1)=1D = \left\{ z: \operatorname {Re} z > 0\right\} , g(1) = 1;

(3)

D={z:z∉[0,+∞]},g(−1)=−iD = \left\{ z: z \notin [0,+\infty ]\right\} , g(-1) = -i;

(4)

D={z:z∉[−∞,−1]},g(4)=2D = \left\{ z: z \notin [-\infty ,-1]\right\} , g(4) = 2;

(5)

D={z:∣z∣<1,Im⁡z>0},g(i/2)=1+i2D = \left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , g(i / 2) = \frac{1+i}{2};

(6)

D={z:∣z∣>1,3π4<arg⁡z<5π4},g(−1)=iD = \left\{ z:\left|z\right| > 1, \frac{3 \pi }{4} < \arg z < \frac{5 \pi }{4}\right\} , g(-1) = i;

(7)

D={z:(Im⁡z)2>2Re⁡z+1},g(−1)=−iD = \left\{ z:(\operatorname {Im} z)^{2} > 2 \operatorname {Re} z+1\right\} , g(-1) = -i;

(8)

D={z:Im⁡z>0,(Im⁡z)2>4Re⁡z+4},g(−1)=iD = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0,(\operatorname {Im} z)^{2} > 4 \operatorname {Re} z+4\right\} , g(-1) = i.

Задача 28.4

Найти образы множеств EE при указанных отображениях:

?
(1)

E={z:arg⁡z=π4},w=z3;E = \left\{ z: \arg z = \frac{\pi }{4}\right\} , w = z^{3} ;

(2)

E={z:∣z∣=2,n8<arg⁡z<π4},w=z4E = \left\{ z:\left|z\right| = 2, \frac{n}{8} < \arg z < \frac{\pi }{4}\right\} , w = z^{4};

(3)

E={z:∣z∣<1,Im⁡z>0},w=z3/2,w(i2)=1−i4E = \left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = z^{3 / 2}, w\left(\frac{i}{2}\right) = \frac{1-i}{4};

(4)

E={z:∣z∣>4, Re⁡z>0},w=z−3/2,w(9)=−127E = \left\{ z:\left|z\right| > 4\text{, }\operatorname {Re} z > 0\right\} , w = z^{-3 / 2}, w(9) = -\frac{1}{27};

(5)

E={z:∣arg⁡z∣<π8,z∈[0,1]},w=z8E = \left\{ z:\left|\arg z\right| < \frac{\pi }{8}, z \in [0,1]\right\} , w = z^{8}.

Задача 28.5

Найти какие-либо функции w(z)w(z), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.31-28.45, на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
(1)

Рис. 28.31Рис. 28.31

(2)

Рис. 28.32Рис. 28.32

(3)

Рис. 28.33Рис. 28.33

(4)

Рис. 28.34Рис. 28.34

(5)

Рис. 28.35Рис. 28.35

(6)

Рис. 28.36Рис. 28.36

(7)

Рис. 28.37Рис. 28.37

(8)

Рис. 28.38Рис. 28.38

(9)

Рис. 28.39Рис. 28.39

(10)

Рис. 28.41Рис. 28.41

(11)

Рис. 28.42Рис. 28.42

(12)

Рис. 28.43Рис. 28.43

(13)

Рис. 28.44Рис. 28.44

(14)

Рис. 28.45Рис. 28.45

Задача 28.6

Найти функцию w(z)w(z), конформно отображающую область

{(x,y):y2>4(x+1)}(x=Re⁡z,y=Im⁡z) \left\{ (x, y): y^{2} > 4(x+1)\right\} (x = \operatorname {Re} z, y = \operatorname {Im} z)

на круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} и удовлетворяющую условиям

w(−4)=0,arg⁡w′(−4)=0. w(-4) = 0, \quad \arg w^{\prime }(-4) = 0.
?
Задача 28.7

Найти функцию w(z)w(z), конформно отображающую угол {z:∣arg⁡z∣<π4}\left\{ z:\left|\arg z\right| < \frac{\pi }{4}\right\} на круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} и удовлетворяющую условиям

w(1)=0,arg⁡w′(1)=π. w(1) = 0, \quad \arg w^{\prime }(1) = \pi .
?
Задача 28.8

Найти образы следующих областей DD при отображении регулярной ветвью функции w=z+z2−1w = z+\sqrt{z^{2}-1}, выделяемой ее значением в указываемой точке (в неравенствах, определяющих область, положено x=Re⁡zx = \operatorname {Re} z, y=Im⁡zy = \operatorname {Im} z, а a,ba, b и α\alpha — действительные постоянные):

?
(1)

D={(x,y):x2a2+y2a2−1>1},(a>0),w(∞)=0;D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} > 1\right\} ,(a > 0), w(\infty ) = 0 ;

(2)

D={(x,y):x2a2−y21−a2<1},(0<a<1),w(0)=iD = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{1-a^{2}} < 1\right\} ,(0 < a < 1), w(0) = i;

(3)

D={z:z∉[−∞,−1],z∉[1,+∞]},w(0)=iD = \left\{ z: z \notin [-\infty ,-1], z \notin [1,+\infty ]\right\} , w(0) = i;

(4)

D={z:z∉[−1,1]},w(∞)=∞D = \left\{ z: z \notin [-1,1]\right\} , w(\infty ) = \infty;

(5)

D={z:Im⁡z>0},w(+i∞)=0D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , w(+i \infty ) = 0;

(6)

D={(x,y):x2a2+y2a2−1<1,y>0},(a>1),w(+i0)=iD = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} < 1, y > 0\right\} ,(a > 1), w(+i 0) = i;

(7)

D={(x,y):x2cos⁡2α−y2sin⁡2α>1,x>0,y>0}D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha }-\frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha } > 1, x > 0, y > 0\right\}, (0<α<π2),w(+∞)=0;\left(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\right), w(+\infty ) = 0 ;

(8)

D={(x,y):x2a2+y2a2−1<1,z∉[−1,1]},(a>1),w(+i0)=−iD = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} < 1, z \notin [-1,1]\right\} ,(a > 1), w(+i 0) = -i;

(9)

D={(x,y):x2a2+y2a2−1<1,x2b2+y2b2−1>1}D = \left\{ (x, y): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} < 1, \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}-1} > 1\right\}, (a>b>1),w(z)>1(a > b > 1), w(z) > 1 при b<z<ab < z < a.

Задача 28.9

Доказать, что образом области {z:∣z−ih∣>1+h2}\left\{ z:\left|z-i h\right| > \sqrt{1+h^{2}}\right\} при отображении w=12(z+1z)w = \frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right) является вся плоскость ww с разрезом по дуге окружности, имеющей концы в точках w=±1w = \pm 1 и проходящей через точку w=ihw = i h.

?
Задача 28.10

Найти какие-либо функции w(z)w(z), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.46-28.61, на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
(1)

Рис. 28.46Рис. 28.46

(2)

Рис. 28.47Рис. 28.47

(3)

Рис. 28.48Рис. 28.48

(4)

Рис. 28.49Рис. 28.49

(5)

Рис. 28.50Рис. 28.50

(6)

Рис. 28.51Рис. 28.51

(7)

Рис. 28.52Рис. 28.52

(8)

Рис. 28.53Рис. 28.53

(9)

Рис. 28.54Рис. 28.54

(10)

Рис. 28.55Рис. 28.55

(11)

Рис. 28.56Рис. 28.56

(12)

Рис. 28.57Рис. 28.57

(13)

Рис. 28.59Рис. 28.59

(14)

Рис. 28.61Рис. 28.61

Задача 28.11

Найти какие-либо функции w(z)w(z), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.62-28.69, на круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}.

?
(1)

Рис. 28.62Рис. 28.62

(2)

Рис. 28.63Рис. 28.63

(3)

Рис. 28.64Рис. 28.64

(4)

Рис. 28.65Рис. 28.65

(5)

Рис. 28.66Рис. 28.66

(6)

Рис. 28.67Рис. 28.67

(7)

Рис. 28.68Рис. 28.68

(8)

Рис. 28.69Рис. 28.69

Задача 28.12

Найти функцию w(z)w(z), конформно отображающую полукруг {z:∣z∣<1,Im⁡z>0}\left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}, на круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} и удовлетворяющую условиям

w(i2)=0,arg⁡w′(i2)=0. w\left(\frac{i}{2}\right) = 0, \quad \arg w^{\prime }\left(\frac{i}{2}\right) = 0.
?
Задача 28.13

Найти функцию w(z)w(z), конформно отображающую область {z=x+iy:x2−y2<1}\left\{ z = x+i y: x^{2}-y^{2} < 1\right\} на круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} и удовлетворяющую условиям w(0)=0,w(1)=1w(0) = 0, w(1) = 1.

?
Задача 28.14

Найти функцию w(z)w(z), конформно отображающую круг {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}, разрезанный по радиусу [−1,0][-1,0], на круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} и удовлетворяющую условиям

w(1)=−1,w(−1+i0)=7−4i29,w(−1−i0)=7+4i29. w(1) = -1, \quad w(-1+i 0) = \frac{7-4 i \sqrt{2}}{9}, \quad w(-1-i 0) = \frac{7+4 i \sqrt{2}}{9}.
?
Задача 28.15

Найти функцию w(z)w(z), конформно отображающую всю плоскость zz с разрезом по дуге окружности {z:∣z∣=1,Im⁡z>0}\left\{ z:\left|z\right| = 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}, на всю плоскость ww с разрезом по отрезку [−1,1][-1,1] и удовлетворяющую условиям w(1)=1w(1) = 1, w(∞)=∞w(\infty ) = \infty.

?
Задача 28.16

Найти образы следующих линий при отображении функцией w=12(z+1z):w = \frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right):

?
(1)

{z:∣z∣=1,Im⁡z>0}\left\{ z:\left|z\right| = 1, \operatorname {Im} z > 0\right\};

(2)

{z:∣z∣=1,−3π4<arg⁡z<−π4}\left\{ z:\left|z\right| = 1,-\frac{3 \pi }{4} < \arg z < -\frac{\pi }{4}\right\};

(3)

{z:∣z∣=2}\left\{ z:\left|z\right| = 2\right\};

(4)

{z:∣z∣=12}\left\{ z:\left|z\right| = \frac{1}{2}\right\};

(5)

{z:arg⁡z=π4}\left\{ z: \arg z = \frac{\pi }{4}\right\};

(6)

{z:arg⁡z=3π4}\left\{ z: \arg z = \frac{3 \pi }{4}\right\}.

Задача 28.17

Найти образы следующих областей при отображении функцией w=12(z+1z):w = \frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right):

?
(1)

{z:∣z∣>2}\left\{ z:\left|z\right| > 2\right\};

(2)

{z:∣z∣<12}\left\{ z:\left|z\right| < \frac{1}{2}\right\};

(3)

{z:π4<arg⁡z=3π4}\left\{ z: \frac{\pi }{4} < \arg z = \frac{3 \pi }{4}\right\};

(4)

{z:π4<arg⁡z=3π4,z∉[0,i]}\left\{ z: \frac{\pi }{4} < \arg z = \frac{3 \pi }{4}, z \notin [0, i]\right\};

(5)

{z:∣z∣<1,z∉[0,1]}\left\{ z:\left|z\right| < 1, z \notin [0,1]\right\};

(6)

{z:∣z∣>1,z∉[−2,−1],z∉[1,+∞]}\left\{ z:\left|z\right| > 1, z \notin [-2,-1], z \notin [1,+\infty ]\right\};

(7)

{z:Im⁡z>0}\{z:∣z∣=1,0<arg⁡z<π4,3π4<arg⁡z<π}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} \backslash \left\{ z:\left|z\right| = 1,0 < \arg z < \frac{\pi }{4}, \frac{3 \pi }{4} < \arg z < \pi \right\};

(8)

{z:∣z∣<1,Im⁡z<0,z∉[−i,−i2]}\left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z < 0, z \notin \left[-i,-\frac{i}{2}\right]\right\};

(9)

{z:∣z∣<1,0<arg⁡z<π2}\left\{ z:\left|z\right| < 1,0 < \arg z < \frac{\pi }{2}\right\};

(10)

{z:∣z∣<1,−3π4<arg⁡z<−π4}\left\{ z:\left|z\right| < 1,-\frac{3 \pi }{4} < \arg z < -\frac{\pi }{4}\right\}.

Задача 28.18

Найти образы областей DD при отображениях, осуществляемых указанными функциями:

?
(1)

D={z:−π<Im⁡z<0},w=ezD = \left\{ z:-\pi < \operatorname {Im} z < 0\right\} , w = e^{z};

(2)

D={z:∣Im⁡z∣<π},w=ezD = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \pi \right\} , w = e^{z};

(3)

D={z:∣Im⁡z∣<π2},w=ezD = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \frac{\pi }{2}\right\} , w = e^{z};

(4)

D={z:0<Im⁡z<2π,Re⁡z>0},w=ezD = \left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < 2 \pi , \operatorname {Re} z > 0\right\} , w = e^{z};

(5)

D={z:0<Im⁡z<π2,Re⁡z>0},w=e2zD = \left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < \frac{\pi }{2}, \operatorname {Re} z > 0\right\} , w = e^{2 z};

(6)

D={z:0<Re⁡z<π,Im⁡z>0},w=eizD = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < \pi , \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = e^{i z};

(7)

D={z:z∉[0,+∞]},w=ln⁡z,w(−1)=−πiD = \left\{ z: z \notin [0,+\infty ]\right\} , w = \ln z, w(-1) = -\pi i;

(8)

D={z:Im⁡z>0},w=ln⁡z,w(i)=πi2D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = \ln z, w(i) = \frac{\pi i}{2};

(9)

D={z:z∉[−∞,0],z∉[1,+∞]},w=ln⁡z,w(i)=πi2D = \left\{ z: z \notin [-\infty , 0], z \notin [1,+\infty ]\right\} , w = \ln z, w(i) = \frac{\pi i}{2};

(10)

D={z:∣z∣<1,Im⁡z>0},w=ln⁡z,w(i−i0)=−3πi2D = \left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = \ln z, w(i-i 0) = -\frac{3 \pi i}{2};

(11)

D={z:∣z∣<1,z∉[0,1]},w=ln⁡z,w(−1+0)=−πiD = \left\{ z:\left|z\right| < 1, z \notin [0,1]\right\} , w = \ln z, w(-1+0) = -\pi i;

(12)

D={z:∣Im⁡z∣<π4},w=th⁡zD = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \frac{\pi }{4}\right\} , w = \operatorname {th} z;

(13)

D={z:0<Re⁡z<π},w=tg⁡zD = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < \pi \right\} , w = \operatorname {tg} z;

(14)

D={z:0<Re⁡z<π4},w=ctg⁡zD = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < \frac{\pi }{4}\right\} , w = \operatorname {ctg} z;

(15)

D={z:0<Re⁡z<1,Im⁡z>0},w=tg⁡πzD = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\} , w = \operatorname {tg} \pi z;

(16)

D={z:0<Im⁡z<π},w=ch⁡zD = \left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < \pi \right\} , w = \operatorname {ch} z;

(17)

D={z:Re⁡z>0,−1<Im⁡z<0},w=ch⁡πzD = \left\{ z: \operatorname {Re} z > 0,-1 < \operatorname {Im} z < 0\right\} , w = \operatorname {ch} \pi z;

(18)

D={z:Re⁡z>0,0<Im⁡z<1,z∉[i2,1+i2]},w=ch⁡πzD = \left\{ z: \operatorname {Re} z > 0,0 < \operatorname {Im} z < 1, z \notin \left[\frac{i}{2}, \frac{1+i}{2}\right]\right\} , w = \operatorname {ch} \pi z;

(19)

D={z:∣Im⁡z∣<π,Re⁡z>0},w=sh⁡zD = \left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \pi , \operatorname {Re} z > 0\right\} , w = \operatorname {sh} z;

(20)

D={z:0<Re⁡z<2π, Im⁡z>0}D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < 2 \pi \text{, }\operatorname {Im} z > 0\right\}, w=sin⁡zw = \sin z.

Задача 28.19

Найти какие-либо функции w(z)w(z), осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.70-28.85, на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
(1)

Рис. 28.70Рис. 28.70

(2)

Рис. 28.71Рис. 28.71

(3)

Рис. 28.72Рис. 28.72

(4)

Рис. 28.73Рис. 28.73

(5)

Рис. 28.74Рис. 28.74

(6)

Рис. 28.75Рис. 28.75

(7)

Рис. 28.76Рис. 28.76

(8)

Рис. 28.77Рис. 28.77

(9)

Рис. 28.78Рис. 28.78

(10)

Рис. 28.79Рис. 28.79

(11)

Рис. 28.80Рис. 28.80

(12)

Рис. 28.81Рис. 28.81

(13)

Рис. 28.82Рис. 28.82

(14)

Рис. 28.83Рис. 28.83

(15)

Рис. 28.84Рис. 28.84

(16)

Рис. 28.85Рис. 28.85

Задача 28.20

Найти какие-либо функции w(z)w(z), конформно отображающие области, изображенные на рис. 28.86-28.91, на полосу {w:0<Im⁡w<1}\left\{ w: 0 < \operatorname {Im} w < 1\right\}.

?
(1)

Рис. 28.86Рис. 28.86

(2)

Рис. 28.87Рис. 28.87

(3)

Рис. 28.88Рис. 28.88

(4)

Рис. 28.89Рис. 28.89

(5)

Рис. 28.90Рис. 28.90

(6)

Рис. 28.91Рис. 28.91

Задача 28.21

Найти функцию w(z)w(z) конформно отображающую полосу {z:∣Im⁡z∣<π}\left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < \pi \right\} на полосу {w:∣Im⁡w∣<π}\left\{ w:\left|\operatorname {Im} w\right| < \pi \right\} и удовлетворяющую условиям

w(πi)=+∞,w(+∞)=−πi,w(−πi)=−∞. w(\pi i) = +\infty , \quad w(+\infty ) = -\pi i, \quad w(-\pi i) = -\infty .
?
Задача 28.22

Найти какие-нибудь функции, осуществляющие конформные отображения областей, изображенных на рис. 28.92-28.107, на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
(1)

Рис. 28.92Рис. 28.92

(2)

Рис. 28.93Рис. 28.93

(3)

Рис. 28.94Рис. 28.94

(4)

Рис. 28.95Рис. 28.95

(5)

Рис. 28.96Рис. 28.96

(6)

Рис. 28.97Рис. 28.97

(7)

Рис. 28.98Рис. 28.98

(8)

Рис. 28.99Рис. 28.99

(9)

Рис. 28.100Рис. 28.100

(10)

Рис. 28.101Рис. 28.101

(11)

Рис. 28.102Рис. 28.102

(12)

Рис. 28.103Рис. 28.103

(13)

Рис. 28.104Рис. 28.104

(14)

Рис. 28.105Рис. 28.105

(15)

Рис. 28.106Рис. 28.106

(16)

Рис. 28.107Рис. 28.107

§
29 · Принцип симметрии[20/5%]
Задача 29.1

Обозначим через w(z)w(z) функцию, конформно отображающую угол {z:0<arg⁡z<π2}\left\{ z: 0 < \arg z < \frac{\pi }{2}\right\} на сектор {w:∣w∣>1,0<arg⁡w<π2}\left\{ w:\left|w\right| > 1,0 < \arg w < \frac{\pi }{2}\right\}, и удовлетворяющую условиям w(1)=1,w(i)=i,w(∞)=∞w(1) = 1, w(i) = i, w(\infty ) = \infty. Отыскав функцию w(z)w(z), убедиться, что она:

?
(1)

конформно отображает область, изображенную на рис. 29.12, на область {w:Im⁡w>0,∣w∣>1}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0,\left|w\right| > 1\right\};

Рис. 29.12Рис. 29.12

(2)

конформно отображает область, изображенную на рис. 29.13, на область {w:∣w∣>1}\left\{ w:\left|w\right| > 1\right\}.

Рис. 29.13Рис. 29.13

Задача 29.2

Обозначим через w(z)=w(z;z1,z2,z3)w(z) = w\left(z ; z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) функцию, конформно отображающую полукруг {z:∣z∣<1,Im⁡z>0}\left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}, на такой же полукруг в плоскости ww и удовлетворяющую условиям

w(z1)=1,w(z2)=i,w(z3)=−1 w\left(z_{1}\right) = 1, \quad w\left(z_{2}\right) = i, \quad w\left(z_{3}\right) = -1

(точки z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} лежат на границе полукруга {z:∣z∣<1,Im⁡z>0}\left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}). Установить, каким условиям должны удовлетворять точки z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3}, чтобы функция w(z)w(z) конформно отображала круг {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} на:

?
(1)

круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\};

(2)

полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\};

(3)

область, изображенную на рис. 29.14;

Рис. 29.14Рис. 29.14

(4)

область, изображенную на рис. 29.15;

Рис. 29.15Рис. 29.15

(5)

область, изображенную на рис. 29.16;

Рис. 29.16Рис. 29.16

(6)

область, изображенную на рис. 29.17.

Рис. 29.17Рис. 29.17

Задача 29.3

Найти какие-либо функции w(z)w(z), конформно отображающие области, изображенные на рис. 29.18-29.29, на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
(1)

Рис. 29.18Рис. 29.18

(2)

Рис. 29.19Рис. 29.19

(3)

Рис. 29.20Рис. 29.20

(4)

Рис. 29.21Рис. 29.21

(5)

Рис. 29.22Рис. 29.22

(6)

Рис. 29.23Рис. 29.23

(7)

Рис. 29.24Рис. 29.24

(8)

Рис. 29.25Рис. 29.25

(9)

Рис. 29.26Рис. 29.26

(10)

Рис. 29.27Рис. 29.27

(11)

Рис. 29.28Рис. 29.28

(12)

Рис. 29.29Рис. 29.29

Задача 29.4

Найти какую-либо функцию w(z)w(z), конформно отображающую область

{z=x+iy:x2cos⁡2α−y2sin⁡2α>1,x>0} \left\{ z = x+i y: \frac{x^{2}}{\cos ^{2} \alpha }-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \alpha } > 1, x > 0\right\}

(α\alpha — постоянная, 0<α<π/20 < \alpha < \pi / 2) на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
Задача 29.5

Найти какую-либо функцию w(z)w(z), конформно отображающую область

{z=x+iy:y2<2p(x+p2)},p>0 \left\{ z = x+i y: \quad y^{2} < 2 p\left(x+\frac{p}{2}\right)\right\} , \quad p > 0

на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
Задача 29.6

Найти какие-либо функции w(z)w(z), конформно отображающие области, изображенные на рис. 29.30-29.33, на круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}.

?
(1)

Рис. 29.30Рис. 29.30

(2)

Рис. 29.31Рис. 29.31

(3)

Рис. 29.32Рис. 29.32

(4)

Рис. 29.33Рис. 29.33

Задача 29.7

Найти какую-либо функцию w(z)w(z), конформно отображающую область

{z:z∉[kπi,kπi+i∞](k=0,±1,±2,…)} \left\{ z: z \notin [k \pi i, k \pi i+i \infty ] \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )\right\}

на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
Задача 29.8

Найти какую-либо функцию w(z)w(z), конформно отображающую область

{z:Im⁡z>0,z∉[kπ,kπ+πi](k=0,±1,±2,…)} \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0, z \notin [k \pi , k \pi +\pi i] \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )\right\}

на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
Задача 29.9

Найти какую-либо функцию w(z)w(z), конформно отображающую область {z:Im⁡>0,z∉[2k,2k+2i],z∉[2k+1,2k+1+i](k=0,±1,…)}\left\{ z: \operatorname {Im} > 0, z \notin [2 k, 2 k+2 i], z \notin [2 k+1,2 k+1+i] \quad (k = 0, \pm 1, \ldots )\right\} на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
Задача 29.10

Найти какие-либо функции w(z)w(z), конформно отображающие области, изображенные на рис. 29.34-29.36, на полуплоскость {w:Im⁡w>0}\left\{ w: \operatorname {Im} w > 0\right\}.

?
(1)

Рис. 29.34Рис. 29.34

(2)

Рис. 29.35Рис. 29.35

(3)

Рис. 29.36Рис. 29.36

Задача 29.11

Пусть функция f(z)f(z) регулярна при {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\}, непрерывна при {z:Im⁡z⩾0}\left\{ z: \operatorname {Im} z \geqslant 0\right\} и принимает на действительной оси действительные значения. Доказать, что функцию f(z)f(z) можно регулярно продолжить на всю комплексную плоскость.

?
Задача 29.12

Пусть функция f(z)f(z) регулярна при {z:0<Re⁡z<1}\left\{ z: 0 < \operatorname {Re} z < 1\right\}, непрерывна при {z:0⩽Re⁡z⩽1}\left\{ z: 0 \leqslant \operatorname {Re} z \leqslant 1\right\} и принимает действительные значения на прямых {z:Re⁡z=0}\left\{ z: \operatorname {Re} z = 0\right\} и {z:Re⁡z=1}\left\{ z: \operatorname {Re} z = 1\right\}. Доказать, что функцию f(z)f(z) можно peгулярно продолжить на всю комплексную плоскость и что функция F(z)F(z), осуществляющая это аналитическое продолжение, удовлетворяет условию F(z+2)=F(z)F(z+2) = F(z).

?
Задача 29.13

Пусть функция f(z)f(z) регулярна при {z:0<Im⁡z<1}\left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < 1\right\}, непрерывна при {z:0⩽Im⁡z⩽1}\left\{ z: 0 \leqslant \operatorname {Im} z \leqslant 1\right\} и удовлетворяет условиям

Re⁡f(z)=0(Im⁡z=0);Im⁡f(z)=0(Im⁡z=1) \operatorname {Re} f(z) = 0 \quad (\operatorname {Im} z = 0) ; \quad \operatorname {Im} f(z) = 0 \quad (\operatorname {Im} z = 1)

Доказать, что функцию f(z)f(z) можно регулярно продолжить на всю плоскость и что функция F(z)F(z), осуществляющая это аналитическое продолжение, удовлетворяет условию F(z+2i)=−F(z)F(z+2 i) = -F(z).

?
Задача 29.14

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в прямоугольнике

{z:∣Im⁡z∣<h,0<Re⁡z<1}, \left\{ z:|\operatorname {Im} z| < h, 0 < \operatorname {Re} z < 1\right\} ,

непрерывна в замыкании этого прямоугольника и удовлетворяет условиям

Im⁡f(z)=0(Re⁡z=0,∣Im⁡z∣<h);Im⁡f(z)=1(Re⁡z=1,∣Im⁡z∣<h) \begin{array}{ll} \operatorname {Im} f(z) = 0 & (\operatorname {Re} z = 0,|\operatorname {Im} z| < h) ; \\ \operatorname {Im} f(z) = 1 & (\operatorname {Re} z = 1,|\operatorname {Im} z| < h) \end{array}

Доказать, что функцию f(z)f(z) можно регулярно продолжить на полосу {z:∣Im⁡z∣<h}\left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < h\right\} и что функция F(z)F(z), осуществляющая это продолжение, имеет вид iz+F1(z)i z+F_{1}(z), где функция F1(z)F_{1}(z) регулярна в полосе {z:∣Im⁡z∣<h}\left\{ z:\left|\operatorname {Im} z\right| < h\right\} и периодична с периодом 2.

?
Задача 29.15

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в полукольце

{z:ρ<∣z∣<R,Im⁡z>0}, \left\{ z: \rho < \left|z\right| < R, \operatorname {Im} z > 0\right\} ,

непрерывна в его замыкании и принимает действительные значения на отрезках (−R,−ρ)(-R,-\rho ) и (ρ,R)(\rho , R). Доказать, что функцию f(z)f(z) можно регулярно продолжить в кольцо {z:ρ<∣z∣<R}\left\{ z: \rho < \left|z\right| < R\right\} до регулярной в этом кольце функции.

?
Задача 29.16

Пусть функция f(z)f(z) конформно отображает прямоугольник {z:∣Re⁡z∣<h,∣Im⁡z∣<h}\left\{ z:\left|\operatorname {Re} z\right| < h,\left|\operatorname {Im} z\right| < h\right\} на какой-либо круг (или полуплоскость). Доказать, что регулярное продолжение функции f(z)f(z) является функцией, мероморфной во всей плоскости и периодической с периодами 4h4 h и 4ih4 i h.

?
Задача 29.17

Пусть функция f(z)f(z) конформно отображает сектор

{z:∣z∣<1,0<arg⁡z<πn}, \left\{ z:\left|z\right| < 1,0 < \arg z < \frac{\pi }{n}\right\} ,

на треугольник с теми же вершинами 0,1,eπi/n0,1, e^{\pi i / n}, причем таким образом, что эти вершины остаются на месте. Доказать, что функцию f(z)f(z) можно регулярно продолжить в круг {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} и что функция F(z)F(z), осуществляющая это аналитическое продолжение, конформно отображает круг {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} на правильный 2n2 n-угольник (с центром в точке 0 и одной из вершин в точке 1).

?
Задача 29.18

Доказать, что любое конформное отображение круга на круг (или на полуплоскость) является дробно-линейным отображением.

?
Задача 29.19

Доказать, что не существует функции, конформно отображающей кольцо {z:1<∣z∣<R1}\left\{ z: 1 < \left|z\right| < R_{1}\right\} на кольцо {z:1<∣z∣<R2}\left\{ z: 1 < \left|z\right| < R_{2}\right\}, если только R1≠R2R_{1} \neq R_{2}.

?
Задача 29.20

Пусть функция f(z)f(z) конформно отображает полуплоскость {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} на область:

{w:Im⁡w>0,0<Re⁡w<1,∣w−12∣>12} \left\{ w: \operatorname {Im} w > 0,0 < \operatorname {Re} w < 1,\left|w-\frac{1}{2}\right| > \frac{1}{2}\right\}

Доказать, что регулярное продолжение функции f(z)f(z) приводит к функции F(z)F(z), регулярной во всей расширенной комплексной плоскости с тремя выколотыми точками (прообразы точек 0,1 и ∞\infty).

?
§
30 · Отображение многоугольников[11/73%]
Задача 30.1

Найти функции w(z)w(z), конформно отображающие полуплоскость {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} на многоугольники, изображенные на рис. 30.5-30.18, таким образом, чтобы w(0)=A1,w(1)=A2,w(∞)=A3w(0) = A_{1}, w(1) = A_{2}, w(\infty ) = A_{3} (вершины AkA_{k} обозначены на рисунках).

?
(1)

Рис. 30.5Рис. 30.5

(2)

Рис. 30.6Рис. 30.6

(3)

Рис. 30.7Рис. 30.7

(4)

Рис. 30.8Рис. 30.8

(5)

Рис. 30.9Рис. 30.9

(6)

Рис. 30.10Рис. 30.10

(7)

Рис. 30.11Рис. 30.11

(8)

Рис. 30.12Рис. 30.12

(9)

Рис. 30.13Рис. 30.13

(10)

Рис. 30.14Рис. 30.14

(11)

Рис. 30.15Рис. 30.15

(12)

Рис. 30.16Рис. 30.16

(13)

Рис. 30.17Рис. 30.17

(14)

Рис. 30.18Рис. 30.18

Задача 30.2

Найти какие-либо функции w(z)w(z), конформно отображающие полуплоскость {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} на симметричные многоугольники, изображенные на рис. 30.19-30.24.

?
(1)

Рис. 30.19Рис. 30.19

(2)

Рис. 30.20Рис. 30.20

(3)

Рис. 30.21Рис. 30.21

(4)

Рис. 30.22Рис. 30.22

(5)

Рис. 30.23Рис. 30.23

(6)

Рис. 30.24Рис. 30.24

Задача 30.3

Найти функции w(z)w(z), конформно отображающие область {z:∣z∣>1}\left\{ z:\left|z\right| > 1\right\} на многоугольники с внутренней точкой w=∞w = \infty, изображенные на рис. 30.25-30.27, таким образом, чтобы w(∞)=∞,w(1)=A1w(\infty ) = \infty , w(1) = A_{1}.

?
(1)

Рис. 30.25Рис. 30.25

(2)

Рис. 30.26Рис. 30.26

(3)

Рис. 30.27Рис. 30.27

Задача 30.4

Найти функции w(z)w(z), конформно отображающие полуплоскость {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} на области, изображенные на рис. 30.28-30.31, таким образом, чтобы

w(0)=A1,w(1)=A2,w(∞)=A3. w(0) = A_{1}, \quad w(1) = A_{2}, \quad w(\infty ) = A_{3}.
?
(1)

Рис. 30.28Рис. 30.28

(2)

Рис. 30.29Рис. 30.29

(3)

Рис. 30.30Рис. 30.30

(4)

Рис. 30.31Рис. 30.31

Задача 30.5

Найти функции w(z)w(z), конформно отображающие всю плоскость zz с разрезом по отрезку [−1,1][-1,1] на области, изображенные на рис. 30.32-30.34, таким образом, чтобы w(∞)=∞,w(1)=A1w(\infty ) = \infty , w(1) = A_{1}.

?
(1)

Рис. 30.32Рис. 30.32

(2)

Рис. 30.33Рис. 30.33

(3)

Рис. 30.34Рис. 30.34

Задача 30.6

Найти функции w(z)w(z), конформно отображающие полосу {z:∣Im⁡∣<12}\left\{ z:\left|\operatorname {Im}\right| < \frac{1}{2}\right\} на области, изображенные на рис. 30.35-30.37, таким образом, чтобы w(0)=0,w(+∞)=A1w(0) = 0, w(+\infty ) = A_{1}.

?
(1)

Рис. 30.35Рис. 30.35

(2)

Рис. 30.36Рис. 30.36

(3)

Рис. 30.37Рис. 30.37

Задача 30.7

Найти функции w(z)w(z), конформно отображающие полуполосу {z:Re⁡z>0,∣Im⁡z∣<π2}\left\{ z: \operatorname {Re} z > 0,\left|\operatorname {Im} z\right| < \frac{\pi }{2}\right\} на области, изображенные на рис. 30.38-30.39, таким образом, чтобы

w(−πi2)=A1,w(∞)=A2,w(πi2)=A3 w\left(-\frac{\pi i}{2}\right) = A_{1}, \quad w(\infty ) = A_{2}, \quad w\left(\frac{\pi i}{2}\right) = A_{3}
?
(1)

Рис. 30.38Рис. 30.38

(2)

Рис. 30.39Рис. 30.39

Задача 30.8

Найти какую-либо функцию w(z)w(z), конформно отображающую полуплоскость {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} на плоскость ww с разрезами по лучам

[ki,ki+i∞],[(k+14)i,(k+14)i+i∞](k=0,±1,±2,…) [k i, k i+i \infty ], \quad \left[\left(k+\frac{1}{4}\right) i,\left(k+\frac{1}{4}\right) i+i \infty \right] \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )
?
Задача 30.9

Найти какую-либо функцию w(z)w(z), конформно отображающую полуплоскость {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} на полуплоскость ww, из которой выброшены полосы

{w:Re⁡w<0,∣k−Im⁡w∣<14}(k=0,±1,±2,…) \left\{ w: \operatorname {Re} w < 0,\left|k-\operatorname {Im} w\right| < \frac{1}{4}\right\} \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )
?
Задача 30.10

Найти функции w(z)w(z), конформно отображающую полуплоскость {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} на многоугольники, изображенные на рис. 30.40-30.42, таким образом, чтобы w(0)=A1,w(1)=A2,w(∞)=A3w(0) = A_{1}, w(1) = A_{2}, w(\infty ) = A_{3}.

?
(1)

Рис. 30.40Рис. 30.40

(2)

Рис. 30.41Рис. 30.41

(3)

Рис. 30.42Рис. 30.42

Задача 30.11

Найти функцию w(z)w(z), конформно отображающую круг {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} на правильный nn-угольник, вписанный в круг {w:∣w∣<1}\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}, таким образом, чтобы w(0)=0,w(1)=1w(0) = 0, w(1) = 1.

?
§
31 · Применение конформных отображений при решении краевых задач для гармонических функций[10/100%]
Задача 31.1

Решить классическую задачу Дирихле для единичного круга {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}:

{Δu=0,∣z∣<1;u∣∣z∣=1=12+sin⁡φ, где z=reiφ \begin{cases} \Delta u = 0, & \left|z\right| < 1 ; \\ \left.u\right|_{\left|z\right| = 1} = \frac{1}{2+\sin \varphi }, & \text{ где } z = r e^{i \varphi }\end{cases}
?
Задача 31.2

Решить общую задачу Дирихле для верхней полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\}:

{Δu=0,y>0u∣y=0=sin⁡x, где z=x+iy \begin{cases} \Delta u = 0, & y > 0 \\ \left.u\right|_{y = 0} = \sin x, & \text{ где } z = x+i y\end{cases}
?
Задача 31.3

Решить общую задачу Дирихле для нижней полуплоскости {z:Im⁡z<0}\left\{ z: \operatorname {Im} z < 0\right\}:

{Δu=0,y<0u∣Re⁡z⩾0=1,u∣Re⁡z<0=0 \begin{cases} \Delta u = 0, & y < 0 \\ \left.u\right|_{\operatorname {Re} z \geqslant 0} = 1, & \left.u\right|_{\operatorname {Re} z < 0} = 0\end{cases}
?
Задача 31.4

Решить общую задачу Дирихле для внешности единичного круга {z:∣z∣>1}\left\{ z:\left|z\right| > 1\right\}:

{Δu=0,∣z∣>1u∣∣z∣=1=15−4cos⁡φ \begin{cases} \Delta u = 0, \quad \left|z\right| > 1 \\ \left.u\right|_{\left|z\right| = 1} = \frac{1}{5-4 \cos \varphi } \end{cases}
?
Задача 31.5

Решить общую задачу Дирихле для первой четверти плоскости D={z:Im⁡z>0,Re⁡z>0}:D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0, \operatorname {Re} z > 0\right\} :

{Δu=0,z∈D;u∣Im⁡z=0Im⁡z>0=0,u∣Im⁡z=0=1. \begin{cases} \Delta u = 0, \quad z \in D ; \\ \left.u\right|_{\substack {\operatorname {Im} z = 0 \\ \operatorname {Im} z > 0}} = 0,\left.\quad u\right|_{\operatorname {Im} z = 0} = 1. \end{cases}
?
Задача 31.6

Решить общую задачу Дирихле для полуполосы D={z:0<Im⁡z<π,Re⁡z>0}:{Δu=0,z∈D;u∣Im⁡z=0Re⁡z>0=0,u∣Re⁡z>0Im⁡z=πRe⁡z=0,u∣Re⁡z=00⩽Im⁡z⩽π=1.D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < \pi , \operatorname {Re} z > 0\right\} : \begin{cases} \Delta u = 0, & z \in D ; \\ \left.u\right|_{\substack {\operatorname {Im} z = 0 \\ \operatorname {Re} z > 0}} = 0, & \left.u\right|_{\operatorname {Re} z > 0}^{\operatorname {Im} z = \pi } \\ \operatorname {Re} z & = 0,\left.u\right|_{\substack {\operatorname {Re} z = 0 \\ 0 \leqslant \operatorname {Im} z \leqslant \pi }} = 1.\end{cases}

?
Задача 31.7

Решить общую задачу Дирихле для области

D={z:Im⁡z>0,∣z+il∣<R}, D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0,\left|z+i l\right| < R\right\} ,

где l>R>0l > R > 0:

{Δu=0,z∈D;u∣Im⁡z=0=0,u∣∣z+il∣=R=T=const. \begin{cases} \Delta u = 0, & z \in D ; \\ \left.u\right|_{\operatorname {Im} z = 0} = 0, & \left.u\right|_{\left|z+i l\right| = R} = T = \mathrm{const}.\end{cases}
?
Задача 31.8

Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в единичном круге {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}.

?
Задача 31.9

Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в на верхней полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\}.

?
Задача 31.10

Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в единичном полукруге {z:∣z∣<1,Im⁡z>0}\left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}.

?
§
32 · Преобразование Лапласа (операционное исчисление) и его применение к решению дифференциальных уравнений[4/100%]
Задача 32.1

Найти изображение F(p)F(p) оригинала f(t)f(t), если:

?
(1)

f(t)=sin⁡tsin⁡3tf(t) = \sin t \sin 3 t;

(2)

f(t)=tsh⁡t;f(t) = t \operatorname {sh} t ;

(3)

f(t)=sin⁡3tf(t) = \sin^{3} t;

(4)

f(t)=cos⁡4t+sin⁡4tf(t) = \cos^{4} t+\sin^{4} t.

Задача 32.2

Найти оригинал f(t)f(t) по его изображению F(p)F(p), если:

?
(1)

F(p)=1p2−4p+5F(p) = \frac{1}{p^{2}-4 p+5};

(2)

F(p)=1p2(p2+1)F(p) = \frac{1}{p^{2}\left(p^{2}+1\right)};

(3)

F(p)=p+1p3−2p2−5p+6F(p) = \frac{p+1}{p^{3}-2 p^{2}-5 p+6};

(4)

F(p)=1p(p−1)(p2+4)F(p) = \frac{1}{p(p-1)\left(p^{2}+4\right)};

(5)

F(p)=1(p+1)(p+3)3F(p) = \frac{1}{(p+1)(p+3)^{3}};

(6)

F(p)=p2+2p−1p3+3p2+3p+1F(p) = \frac{p^{2}+2 p-1}{p^{3}+3 p^{2}+3 p+1};

(7)

F(p)=(5p+3)(p−1)(p2+2p+5)F(p) = \frac{(5 p+3)}{(p-1)\left(p^{2}+2 p+5\right)};

(8)

F(p)=p2(p2+4)(p2+9)F(p) = \frac{p^{2}}{\left(p^{2}+4\right)\left(p^{2}+9\right)};

(9)

F(p)=1(p+1)3(p+3)F(p) = \frac{1}{(p+1)^{3}(p+3)};

(10)

F(p)=1(p−1)2(p−2)3F(p) = \frac{1}{(p-1)^{2}(p-2)^{3}}.

Задача 32.3

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с заданными начальными условиями:

?
(1)

x′′(t)−2x′(t)+x(t)=t2et,x(0)=0,x′(0)=1x^{\prime \prime }(t)-2 x^{\prime }(t)+x(t) = t^{2} e^{t}, x(0) = 0, x^{\prime }(0) = 1;

(2)

x(3)(t)+3x(2)(t)+3x′(t)+x(t)=1,x(0)=x′(0)=x′′(0)=0x^{(3)}(t)+3 x^{(2)}(t)+3 x^{\prime }(t)+x(t) = 1, x(0) = x^{\prime }(0) = x^{\prime \prime }(0) = 0;

(3)

x(3)(t)−2x(2)(t)+x′(t)=4,x(0)=1,x′(0)=2,x′′(0)=−2x^{(3)}(t)-2 x^{(2)}(t)+x^{\prime }(t) = 4, x(0) = 1, x^{\prime }(0) = 2, x^{\prime \prime }(0) = -2;

(4)

x(3)(t)+x(2)(t)=cos⁡t,x(0)=−2,x′(0)=x′′(0)=0x^{(3)}(t)+x^{(2)}(t) = \cos t, x(0) = -2, x^{\prime }(0) = x^{\prime \prime }(0) = 0;

(5)

x′′(t)+x(t)=2cos⁡t,x(0)=−1,x′(0)=1x^{\prime \prime }(t)+x(t) = 2 \cos t, x(0) = -1, x^{\prime }(0) = 1;

(6)

x′′(t)+4x(t)=2sin⁡2t,x(0)=−1,x′(0)=0x^{\prime \prime }(t)+4 x(t) = 2 \sin 2 t, x(0) = -1, x^{\prime }(0) = 0;

(7)

x(4)(t)−x(t)=1,x(0)=1,x′(0)=1,x′′(0)=2,x(3)(0)=−1x^{(4)}(t)-x(t) = 1, x(0) = 1, x^{\prime }(0) = 1, x^{\prime \prime }(0) = 2, x^{(3)}(0) = -1;

(8)

x(4)(t)−5x(2)(t)+10x′(t)−6x(t)=0x^{(4)}(t)-5 x^{(2)}(t)+10 x^{\prime }(t)-6 x(t) = 0, x(0)=1,x′(0)=0,x′′(0)=6,x(3)(0)=−14x(0) = 1, x^{\prime }(0) = 0, x^{\prime \prime }(0) = 6, x^{(3)}(0) = -14.

Задача 32.4

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями:

?
(1)

{x′(t)=−x(t)+2y(t),y′(t)=−x(t)−4y(t),x(0)=y(0)=1;\begin{cases} x^{\prime }(t) = -x(t)+2 y(t), \\ y^{\prime }(t) = -x(t)-4 y(t),\end{cases} \quad x(0) = y(0) = 1 ;

(2)

{x′(t)−2x(t)−4y(t)=0,y′(t)+x(t)+2y(t)=0,x(0)=2,y(0)=1\begin{cases} x^{\prime }(t)-2 x(t)-4 y(t) = 0, \\ y^{\prime }(t)+x(t)+2 y(t) = 0,\end{cases} \quad x(0) = 2, \quad y(0) = 1;

(3)

{x′(t)+3x(t)−4y(t)=9e2t,2x(t)+y′(t)−3y(t)=3e2t,x(0)=2,y(0)=0\begin{cases} x^{\prime }(t)+3 x(t)-4 y(t) = 9 e^{2 t}, \\ 2 x(t)+y^{\prime }(t)-3 y(t) = 3 e^{2 t},\end{cases} \quad x(0) = 2, \quad y(0) = 0;

(4)

{x′(t)+y′(t)=1,x(2)(t)+y′(t)+x(t)=et,x(0)=1,x′(0)=2,y(0)=0,y′(0)=−1\begin{cases} x^{\prime }(t)+y^{\prime }(t) = 1, \\ x^{(2)}(t)+y^{\prime }(t)+x(t) = e^{t},\end{cases} x(0) = 1, x^{\prime }(0) = 2, y(0) = 0, y^{\prime }(0) = -1.