31

Применение конформных отображений при решении краевых задач для гармонических функций

[10/100%]
Показать
LaTeX
Задача 31.1

Решить классическую задачу Дирихле для единичного круга {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}:

{Δu=0,∣z∣<1;u∣∣z∣=1=12+sin⁡φ, где z=reiφ \begin{cases} \Delta u = 0, & \left|z\right| < 1 ; \\ \left.u\right|_{\left|z\right| = 1} = \frac{1}{2+\sin \varphi }, & \text{ где } z = r e^{i \varphi }\end{cases}
?
Задача 31.2

Решить общую задачу Дирихле для верхней полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\}:

{Δu=0,y>0u∣y=0=sin⁡x, где z=x+iy \begin{cases} \Delta u = 0, & y > 0 \\ \left.u\right|_{y = 0} = \sin x, & \text{ где } z = x+i y\end{cases}
?
Задача 31.3

Решить общую задачу Дирихле для нижней полуплоскости {z:Im⁡z<0}\left\{ z: \operatorname {Im} z < 0\right\}:

{Δu=0,y<0u∣Re⁡z⩾0=1,u∣Re⁡z<0=0 \begin{cases} \Delta u = 0, & y < 0 \\ \left.u\right|_{\operatorname {Re} z \geqslant 0} = 1, & \left.u\right|_{\operatorname {Re} z < 0} = 0\end{cases}
?
Задача 31.4

Решить общую задачу Дирихле для внешности единичного круга {z:∣z∣>1}\left\{ z:\left|z\right| > 1\right\}:

{Δu=0,∣z∣>1u∣∣z∣=1=15−4cos⁡φ \begin{cases} \Delta u = 0, \quad \left|z\right| > 1 \\ \left.u\right|_{\left|z\right| = 1} = \frac{1}{5-4 \cos \varphi } \end{cases}
?
Задача 31.5

Решить общую задачу Дирихле для первой четверти плоскости D={z:Im⁡z>0,Re⁡z>0}:D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0, \operatorname {Re} z > 0\right\} :

{Δu=0,z∈D;u∣Im⁡z=0Im⁡z>0=0,u∣Im⁡z=0=1. \begin{cases} \Delta u = 0, \quad z \in D ; \\ \left.u\right|_{\substack {\operatorname {Im} z = 0 \\ \operatorname {Im} z > 0}} = 0,\left.\quad u\right|_{\operatorname {Im} z = 0} = 1. \end{cases}
?
Задача 31.6

Решить общую задачу Дирихле для полуполосы D={z:0<Im⁡z<π,Re⁡z>0}:{Δu=0,z∈D;u∣Im⁡z=0Re⁡z>0=0,u∣Re⁡z>0Im⁡z=πRe⁡z=0,u∣Re⁡z=00⩽Im⁡z⩽π=1.D = \left\{ z: 0 < \operatorname {Im} z < \pi , \operatorname {Re} z > 0\right\} : \begin{cases} \Delta u = 0, & z \in D ; \\ \left.u\right|_{\substack {\operatorname {Im} z = 0 \\ \operatorname {Re} z > 0}} = 0, & \left.u\right|_{\operatorname {Re} z > 0}^{\operatorname {Im} z = \pi } \\ \operatorname {Re} z & = 0,\left.u\right|_{\substack {\operatorname {Re} z = 0 \\ 0 \leqslant \operatorname {Im} z \leqslant \pi }} = 1.\end{cases}

?
Задача 31.7

Решить общую задачу Дирихле для области

D={z:Im⁡z>0,∣z+il∣<R}, D = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0,\left|z+i l\right| < R\right\} ,

где l>R>0l > R > 0:

{Δu=0,z∈D;u∣Im⁡z=0=0,u∣∣z+il∣=R=T=const. \begin{cases} \Delta u = 0, & z \in D ; \\ \left.u\right|_{\operatorname {Im} z = 0} = 0, & \left.u\right|_{\left|z+i l\right| = R} = T = \mathrm{const}.\end{cases}
?
Задача 31.8

Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в единичном круге {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}.

?
Задача 31.9

Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в на верхней полуплоскости {z:Im⁡z>0}\left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\}.

?
Задача 31.10

Найти функцию Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в единичном полукруге {z:∣z∣<1,Im⁡z>0}\left\{ z:\left|z\right| < 1, \operatorname {Im} z > 0\right\}.

?