Прямые на плоскости

Написать общее уравнение прямой:

Дано общее уравнение прямой $2 x-3 y-9 = 0$. Написать ее параметрическое уравнение. Какие отрезки отсекает эта прямая на осях координат? Найти ее угловой коэффициент (система координат прямоугольная).

Дано параметрическое уравнение прямой: $x = 1-3 t, y = 2+2 t$. Написать ее общее уравнение.

Составить общее и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}\right)$.

Дан треугольник $A B C: A(-2,3), B(4,1), C(6,-5)$. Написать уравнение прямой, содержащей медиану, проведенную из вершины $A$ этого треугольника.

Дан треугольник $A B C: A(4,4), B(-6,-1), C(-2,-4)$. Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла треугольника при вершине $C$. Система координат прямоугольная.

Через точку $(4,-3)$ провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3. Система координат прямоугольная.

В треугольнике $A B C$ углы $A$ и $B$ при его основании $A B$ острые и боковые стороны $B C$ и $A C$ не равны между собой. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей прямоугольников, вписанных в треугольник так, что две вершины прямоугольника лежат на основании данного треугольника, а две другие — на его боковых сторонах.

Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырехугольник так, что стороны этих параллелограммов параллельны диагоналям четырехугольника.

Даны две прямые $A x+B y+C = 0$ и $x = x_{0}+a t, y = y_{0}+b t$. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:

Даны две прямые

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:

В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение прямых $\ell_{1}$ и $\ell_{2}$. Если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения:

Даны три прямые $\ell_{i}: A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0, i = 1,2,3$. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы:

Найти необходимое и достаточное условие, при котором три прямые, заданные уравнениями $A_{i} x+B_{i} y+C_{i}, i = 1,2$, 3, принадлежат одному пучку (собственному или несобственному).

Даны три попарно различные прямые $\ell_{i}: A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0$, $i = 1,2,3$, принадлежащие одному собственному пучку. Пусть $\ell$ произвольная прямая, не принадлежащая тому же пучку и не параллельная данным прямым. В каком отношении точка $R = \ell_{3} \cap \ell$ может делить отрезок $P Q$, где $P = \ell_{1} \cap \ell , Q = \ell_{2} \cap \ell$?

Даны уравнения двух сторон треугольника $2 x-y = 0,5 x-y = 0$ и уравнение $3 x-y = 0$ одной из медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка $(3,9)$.

Даны три попарно различные прямые $\ell_{i}: A x+B y+C_{i} = 0$, $i = 1,2,3$, принадлежащие одному несобственному пучку. Пусть $\ell$ — произвольная прямая, не принадлежащая тому же пучку. В каком отношении точка $R = \ell_{3} \cap \ell$ может делить отрезок $P Q$, где $P = \ell_{1} \cap \ell$, $Q = \ell_{2} \cap \ell ?$

В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение трех прямых:

Пусть $\ell_{i}(i = 1,2,3)$ — прямые на плоскости с уравнениями $A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0$, образующие треугольник. Доказать, что любая функция вида $A x+B y+C$ является линейной комбинацией левых частей уравнений прямых $\ell_{i}$, т. е. существуют такие константы $\lambda_{i}$, что

для всех $x, y$.

Описать все тройки $\ell_{i}: A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0, i = 1,2,3$, прямых на плоскости, обладающих следующим свойством: любая функция вида $A x+B y+C$ представима как линейная комбинация левых частей уравнений прямых $\ell_{i}$, т. е. существуют такие константы $\lambda_{i}$, что

для всех $x, y$.

Описать всевозможные семейства прямых, уравнения которых $A x+B y+C = 0$ представимы в виде линейной комбинации

уравнений $A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0$ трех фиксированных прямых $\ell_{i}, i = 1,2,3$.

Не находя точку пересечения прямых $2 x-6 y+3 = 0$ и $5 x + y-2 = 0$, провести через нее прямые, параллельные осям координат, и прямую, проходящую через начало координат.

Даны две точки $P(1,2)$ и $Q(3,-4)$. Не находя уравнения прямой $P Q$, найти точку $R$ ее пересечения с прямой $x+y-2 = 0$ и отношение $\lambda$, в котором она делит отрезок $P Q$.

Окружность, вписанная в треугольник $A B C$, касается его сторон $B C, C A$ и $A B$ соответственно в точках $P, Q$ и $R$. Доказать, что прямые $A P, B Q$ и $C R$ проходят через одну точку.

Стороны $B C, C A$ и $A B$ треугольника $A B C$ разделены точками $P, Q$ и $R$ в отношениях:

При каких необходимых и достаточных условиях

При каком необходимом и достаточном условии точка $(x_{0}, y_{0})$ лежит между двумя параллельными прямыми $A x+B y+C = 0$ и $A x + B y+D = 0$?

Две параллельные прямые $3 x-y-2 = 0$ и $3 x-y-7 = 0$ делят плоскость на три области: полосу и две полуплоскости. В каких областях лежат следующие точки: $A(4,5), B(0,-3), C(5,1), D(1,4)$?

Даны две точки $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ и прямая $\ell : A x+B y + C = 0$. Не находя точку пересечения прямых $\ell$ и $P Q$, найти отношение $\lambda$, в котором она делит отрезок $P Q$.

Даны две точки $A(-3,1), B(5,4)$ и прямые

Доказать, что прямая $5 x-y-5 = 0$ пересекает отрезок прямой $3 x-2 y-6 = 0$, заключенный между осями координат.

Определить положение прямой $x-7 y+5 = 0$ относительно треугольника, вершины которого находятся в точках $A(3,1), B(-2,4)$ и $C(1,0)$.

Доказать, что вектор с координатами $(A, B)$ всегда направлен в сторону < чоложительной полуплоскости относительно прямой $A x+B y+C = 0$. Верно ли, что он всегда ортогонален этой прямой?

Даны две пересекающиеся прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y+C_{2} = 0$ и не лежащая на них точка $(x_{0}, y_{0})$. Найти направляющие векторы $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}$ сторон того угла между прямыми, в котором лежит точка $\left(x_{0}, y_{0}\right)$.

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ лежала внутри треугольника, образованного прямыми $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ и $A_{3} x+B_{3} y+C_{3} = 0$.

Дана прямая $x-2 y+1 = 0$, содержащая основание $B C$ треугольника $A B C$, и вершина $A(3,-4)$, противолежащая этому основанию. Найти уравнение высоты, опущенной из $A$ на сторону $B C$.

Найти проекцию точки $(-3,7)$ на прямую $5 x-4 y+2 = 0$.

Найти точку, симметричную точке $(0,11)$ относительно прямой $x+7 y-52 = 0$.

На прямой $2 x-3 y+18 = 0$ найти такую точку $C$, чтобы сумма расстояний до двух данных точек $A(-7,-3)$ и $B(5,5)$ была бы наименьшей.

Вершина треугольника находится в точке $(1,3)$, а биссектрисы двух его углов принадлежат прямым $y+3 = 0$ и $2 x+y+5 = 0$. Написать уравнение стороны треугольника, противолежащей данной вершине.

Написать уравнения сторон равнобедренной трапеции, зная середины ее оснований $(1,1),(2,8)$ и точки $(4,-3),(-15,14)$ на ее боковых сторонах.

Дано уравнение стороны ромба $x+3 y-8 = 0$ и уравнение его диагонали $2 x+y+4 = 0$. Написать уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка $(-9,-1)$ лежит на стороне, параллельной данной.

На прямой $2 x-3 y+6 = 0$ найти точки, находящиеся на расстоянии $2 / 5$ от прямой $3 x-4 y+11 = 0$.

Составить уравнения прямых, параллельных прямой $8 x + 6 y-7 = 0$ и отстоящих от нее на расстоянии 2.

Через точку $(3,-1)$ провести прямую, отстоящую от точки $(2,-3)$ на расстоянии 1.

Через точку пересечения прямых $3 x+y+10 = 0,4 x+5 y + 6 = 0$ провести прямую, отстоящую от начала координат на расстоянии 4.

Составить уравнение геометрического места точек, находящихся на одинаковом расстоянии от прямых $7 x+y+10 = 0$ и $x + y+2 = 0$.

Даны две пересекающиеся прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x + B_{2} y+C_{2} = 0$ и точка $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, не принадлежащая ни одной из этих прямых. Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми, в котором лежит эта точка.

Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми $2 x-y-1 = 0$ и $11 x+2 y+8 = 0$, внутри которого лежит точка $(1,2)$.

Написать уравнение биссектрисы острого угла между двумя прямыми $x-3 y-1 = 0$ и $3 x-y+5 = 0$.

Написать уравнения касательных к окружности с центром $(1,1)$ и радиусом 2, проведенных из точки $(-7,-1)$.

Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями: $3 x-4 y = 0,4 x- -3 y = 0,5 x+12 y-10 = 0$.

Дана вершина $(4,0)$ треугольника и его высоты, проведенные из двух других вершин: $3 x-y-2 = 0, x+y = 0$. Найти эти вершины.

Центр симметрии квадрата находится в точке $(-1,0)$, а одна из его сторон задается уравнением $x+3 y-5 = 0$. Составить уравнения трех других сторон.

Составить уравнения сторон квадрата, две параллельные стороны которого проходят через точки $(2,1)$ и $(3,5)$, а две другие через точки $(0,1)$ и $(-3,-1)$.

Составить уравнение окружности радиусом $\sqrt{5}$, касающейся прямой $x+2 y-3 = 0$, зная, что ее центр лежит на оси $O y$.

Составить уравнение касательных к окружности

параллельных прямой $3 x-4 y = 0$.

Составить уравнение касательных к окружности

перпендикулярных прямой $4 x+3 y = 0$.

Найти центр круга, вписанного в треугольник, ограниченный осями координат и прямой $3 x-4 y-5 = 0$.

Найти центр $C$ и радиус $r$ окружности, проходящей через точку $(-1,3)$ и касающейся прямых $7 x+y = 0, x-y+8 = 0$.

Найти центр $C$ и радиус $r$ круга, вписанного в треугольник, стороны которого заданы уравнениями: $x+y+12 = 0,7 x+y = 0$, $7 x-y+28 = 0$.

Найти координаты центра окружности:

Дан треугольник с вершинами $A(1,1), B(-1,-1), C(7,-5)$. Найти уравнения биссектрис внутренних углов, центр $C$ вписанного круга и его радиус $r$.

В условиях предыдущей задачи найти центр $C^{\prime }$ и радиус $r^{\prime }$ круга, касающегося стороны $A B$ и продолжений сторон $A C$ и $B C$ треугольника $A B C$.

Задача 321: дан треугольник с вершинами $A(1,1), B(-1,-1), C(7,-5)$.

По двум вершинам $A(0,1), B(1,1)$ и точке пересечения высот $P(-3,4)$ треугольника найти третью вершину $C$.

(Прямая Эйлера). Доказать, что во всяком треугольнике точка пересечения высот, точка пересечения медиан и центр описанного круга лежат на одной прямой.

Написать уравнения сторон ромба $A B C D$, зная точку $M(1,6)$ пересечения его диагоналей и точки на трех его сторонах: $P(3,0)$ на $A B, Q(6,6)$ — на $B C, R(5,9)$ — на $C D$.

Написать уравнения сторон квадрата $A B C D$, зная его центр $(1,6)$ и точки на двух его смежных сторонах: $(4,9)$ — на $A B,(-5,4)$ на $B C$.

Даны вершина $P(3,5)$ равнобедренного треугольника, уравнение его основания $x-2 y+12 = 0$ и площадь $S = 15$. Написать уравнения боковых сторон.

Пусть $v_{1}$ и $v_{2}$ — направляющие векторы прямых $\ell_{1}$ и $\ell_{2}$ соответственно. Известно, что угол от вектора $v_{1}$ до вектора $v_{2}$ равен $6 \pi / 5$. Чему равен угол:

Определить (ориентированный) угол от первой прямой до второй, если известны их угловые коэффициенты $k_{1} = 1 / 3$ и $k_{2} = -1 / 2$ соответственно.

Через точку $(3,1)$ провести прямые, образующие с прямой $2 x+3 y-1 = 0$ угол $\pi / 4$.

Найти внутренние углы треугольника, образованного прямыми

Даны координаты $\left(\alpha_{1}, \beta_{1}\right),\left(\alpha_{2}, \beta_{2}\right)$ направляющих векторов двух пересекающихся прямых. Выразить через них угол от первой прямой до второй.

Даны две точки $A(3,3), B(0,2)$. На прямой $x+y-4 = 0$ найти точку $M$, из которой отрезок $A B$ виден под углом $\pi / 4$.

Даны уравнения основания равнобедренного треугольника $x+y-1 = 0$ и боковой его стороны $x-2 y-2 = 0$; точка $(-2,0)$ лежит на другой боковой стороне. Найти уравнение третьей стороны треугольника.

Даны две прямые: $x+y = 0$ и $x-2 y+6 = 0$. Найти третью прямую так, чтобы вторая из указанных прямых была биссектрисой угла между ней и первой прямой.

Даны две вершины треугольника $A B C: A(1,2), B(3,4)$ и тангенсы внутренних углов при этих вершинах: $\operatorname {tg} A = -1 / 2, \operatorname {tg} B = 1 / 3$.

Найти третью вершину треугольника, зная, что она лежит по ту же сторону от прямой $A B$, что и начало координат.

Даны две прямые $x+y+1 = 0$ и $7 x-y+7 = 0$. Найти косинус того угла между ними, в котором лежит точка $(1,2)$.

Даны две прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ и точка $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, не принадлежащая ни одной из этих прямых. Найти косинус того угла $\varphi$ между ними, в котором лежит данная точка.

Три прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ и $A_{3} x + B_{3} y+C_{3} = 0$ образуют треугольник. Найти косинус внутреннего угла этого треугольника, образованного первой и второй прямыми.

Три прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ и $A_{3} x + B_{3} y+C_{3} = 0$ проходят через одну точку. Найти необходимое и достаточное условие того, что третья прямая проходит в остром угле, образованном первой и второй прямыми.

Найти тангенс угла $\alpha$ от оси $O x$ до прямой $y = k x+b$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти тангенс угла $\alpha$ от оси $O x$ до прямой $y = k x+b$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Найти тангенс угла $\varphi$ от прямой $y = k_{1} x+b_{1}$ до прямой $y = k_{2} x+b_{2}$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти тангенс угла $\varphi$ от прямой $y = k_{1} x+b_{1}$ до прямой $y = k_{2} x+b_{2}$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0$ и $A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых $y = k_{1} x+b_{1}$ и $y = k_{2} x+b_{2}$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1$, $\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ на прямую $A x+B y+C = 0$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ составить уравнения семейства прямых:

Найти расстояние $d$ от точки $(x_{0}, y_{0})$ до прямой $A x+B y + C = 0$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти расстояние $d$ от точки $(x_{0}, y_{0})$ до прямой $A x+B y + C = 0$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Найти расстояние $d$ от точки $(2,1)$ до прямой $10 x+56 y- -37 = 0$, если $g_{11} = 4, g_{12} = 8, g_{22} = 25$.

Составить уравнения биссектрис углов между координатными осями, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$. Рассмотреть частный случай $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.