Взаимное расположение прямых на плоскости. Пучки прямых

Даны две прямые $A x+B y+C = 0$ и $x = x_{0}+a t, y = y_{0}+b t$. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:

Даны две прямые

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:

В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение прямых $\ell_{1}$ и $\ell_{2}$. Если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения:

Даны три прямые $\ell_{i}: A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0, i = 1,2,3$. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы:

Найти необходимое и достаточное условие, при котором три прямые, заданные уравнениями $A_{i} x+B_{i} y+C_{i}, i = 1,2$, 3, принадлежат одному пучку (собственному или несобственному).

Даны три попарно различные прямые $\ell_{i}: A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0$, $i = 1,2,3$, принадлежащие одному собственному пучку. Пусть $\ell$ произвольная прямая, не принадлежащая тому же пучку и не параллельная данным прямым. В каком отношении точка $R = \ell_{3} \cap \ell$ может делить отрезок $P Q$, где $P = \ell_{1} \cap \ell , Q = \ell_{2} \cap \ell$?

Даны уравнения двух сторон треугольника $2 x-y = 0,5 x-y = 0$ и уравнение $3 x-y = 0$ одной из медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка $(3,9)$.

Даны три попарно различные прямые $\ell_{i}: A x+B y+C_{i} = 0$, $i = 1,2,3$, принадлежащие одному несобственному пучку. Пусть $\ell$ — произвольная прямая, не принадлежащая тому же пучку. В каком отношении точка $R = \ell_{3} \cap \ell$ может делить отрезок $P Q$, где $P = \ell_{1} \cap \ell$, $Q = \ell_{2} \cap \ell ?$

В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение трех прямых:

Пусть $\ell_{i}(i = 1,2,3)$ — прямые на плоскости с уравнениями $A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0$, образующие треугольник. Доказать, что любая функция вида $A x+B y+C$ является линейной комбинацией левых частей уравнений прямых $\ell_{i}$, т. е. существуют такие константы $\lambda_{i}$, что

для всех $x, y$.

Описать все тройки $\ell_{i}: A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0, i = 1,2,3$, прямых на плоскости, обладающих следующим свойством: любая функция вида $A x+B y+C$ представима как линейная комбинация левых частей уравнений прямых $\ell_{i}$, т. е. существуют такие константы $\lambda_{i}$, что

для всех $x, y$.

Описать всевозможные семейства прямых, уравнения которых $A x+B y+C = 0$ представимы в виде линейной комбинации

уравнений $A_{i} x+B_{i} y+C_{i} = 0$ трех фиксированных прямых $\ell_{i}, i = 1,2,3$.

Не находя точку пересечения прямых $2 x-6 y+3 = 0$ и $5 x + y-2 = 0$, провести через нее прямые, параллельные осям координат, и прямую, проходящую через начало координат.

Даны две точки $P(1,2)$ и $Q(3,-4)$. Не находя уравнения прямой $P Q$, найти точку $R$ ее пересечения с прямой $x+y-2 = 0$ и отношение $\lambda$, в котором она делит отрезок $P Q$.

Окружность, вписанная в треугольник $A B C$, касается его сторон $B C, C A$ и $A B$ соответственно в точках $P, Q$ и $R$. Доказать, что прямые $A P, B Q$ и $C R$ проходят через одну точку.

Стороны $B C, C A$ и $A B$ треугольника $A B C$ разделены точками $P, Q$ и $R$ в отношениях:

При каких необходимых и достаточных условиях