Проективная геометрия

На аффинно-проективной прямой найти координаты середины отрезка $E_{1} E_{2}$ в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E$, если $E$ — несобственная точка прямой.

Пусть $E$ — несобственная точка аффинно-проективной прямой. Найти проективные координаты точки, делящей отрезок $E_{1} E_{2}$ в отношении $\lambda$, в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E$.

Принимая точки $E_{1}(-4), E_{2}(2)$ за фундаментальные точки проективной системы, а точку $E(3)$ — за единичную, найти связь между проективными координатами $(x_{1}: x_{2})$ точки $M$ и ее аффинной координатой $x$.

На прямой введена аффинная координата $x$. Принимая точку с координатой 0 за фундаментальную точку $E_{1}$, точку с координатой 1 -за фундаментальную точку $E_{2}$ и несобственную точку — за единичную точку $E$ проективной системы координат, найти связь между координатой $x$ произвольной точки и ее проективными координатами $\left(x_{1}: x_{2}\right)$.

Даны три точки $A(-2), B(3)$ и $C(-1)$. Принимая эти точки соответственно за точки $E_{1}, E_{2}$ и $E$, найти проективные координаты точек $D(5), F(-7), G(4), H(2), O(0), P(1)$ в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E$.

С аффинной координатой $x$ на аффинно-проективной плоскости ассоциирована стандартная проективная система координат $E_{1} E_{2} E$. Известно, что ангармоническое отношение $(E_{1} E_{2} E M)$ равно $a$. Чему равна аффинная координата точки $M$?

Найти ангармоническое отношение $(A B C D)$ четырех точек $A, B, C, D$ проективной прямой в каждом из следующих случаев:

На проективной прямой даны три точки $A(1: 2), B(-1: 1)$, $C(3: 5)$. Известно, что $(A B C D) = 1 / 2$. Найти проективные координаты точки $D$.

Ангармоническое отношение $(A B C D)$ четырех точек $A, B, C$, $D$ равно $\lambda$. Чему равно ангармоническое отношение:

В треугольнике $P Q R$ проведена медиана $P M$. Рассматривая пучок прямых, проходящих через точку $P$, как проективную прямую, найти в нем четвертую гармоническую прямую к прямым $P Q$, $P R, P M$.

В треугольнике $P Q R$ проведена биссектриса $P M$. Рассматривая пучок прямых, проходящих через точку $P$, как проективную прямую, найти в нем четвертую гармоническую прямую к прямым $P Q, P R, P M$.

На плоскости дан треугольник $P Q R$, угол $P$ которого прямой. В треугольнике проведена высота $P M$. Рассматривая пучок прямых, проходящих через точку $P$, как проективную прямую, найти в нем четвертую гармоническую прямую к прямым $P Q, P R, P M$.

На плоскости дана прямая $\ell$, на которой отмечены три точки $A, B, C$. Показать, как при помощи линейки можно построить четвертую точку $D$, гармоническую к $A, B, C$, т. е. такую, что $(A B C D) = -1$.

В каждом из следующих случаев найти проективное преобразование, переводящее точки $A, B, C$ в точки $A^{\prime }, B^{\prime }, C^{\prime }$ соответственно:

(Типы проективных преобразований прямой). При каком необходимом и достаточном условии проективное преобразование проективной прямой

Доказать, что проективное преобразование

эллиптическое.

Может ли проективное преобразование прямой быть несобственным, если оно:

Найти общий вид преобразования, оставляющего неподвижными фундаментальные точки $E_{1}$ и $E_{2}$.

Найти неподвижные точки проективного преобразования

Найти все проективные преобразования, при которых две различные точки $(a: b)$ и $(c: d)$ неподвижны.

(Отражение относительно пары точек). Найти все проективные преобразования прямой, квадрат которых равен тождественному преобразованию, и определить их тип.

На проективной прямой даны три различные точки $A, B, C$. Доказать, что проективное преобразование, переводящее эти точки соответственно в точки $B, C, A$, является эллиптическим.

Проективное преобразование прямой переводит точки $A$, $B, C$ в точки $A, C, B$ соответственно. С помощью линейки построить вторую неподвижную точку этого преобразования.

Сколько существует параболических проективных преобразований проективной прямой, при которых данные точки $A$ и $B$ переходят в данные точки $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ при условии, что хотя бы три из четырех точек $A, B, A^{\prime }, B^{\prime }$ различны?

Пусть $f$-эллиптическое проективное преобразование прямой, $f^{k} = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{k}$ — его $k$-я степень. Доказать, что если преобразование $f^{k}$ имеет неподвижную точку, то оно тождественно.

На аффинно-проективной плоскости введена проективная система координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ и аффинная система координат $O x y$ так, что в системе $O x y$ прямые $E_{2} E_{3}, E_{3} E_{1}, E_{1} E_{2}$ задаются уравнениями $x-4 = 0, y-3 = 0,3 x+4 y-12 = 0$ соответственно, а точка $E$ имеет координаты $(3,2)$. Найти:

В аффинной системе координат $O x y$ прямые $E_{1} E_{2}, E_{2} E_{3}$, $E_{3} E_{1}$ задаются уравнениями $y = 2, x = 0$ и $y = 0$ соответственно, а точка $E$ имеет координаты $(1,1)$. Найти в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ центр пучка прямых, параллельных оси $O y$.

Фундаментальные точки и единичная точка проективной системы координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ имеют следующие декартовы координаты относительно аффинной системы координат $O x y: E_{1}(1,1), E_{2}(-1,1)$, $E_{3}(0,0), E(0,1 / 2)$. Найти в системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ уравнения осей координат $O x, O y$ и несобственной прямой.

На плоскости с аффинной системой координат $O x y$ дана точка $S(1 / 2,1 / 3)$. Найти связь между однородными координатами $(x: y: z)$ точки $M$ в стандартной проективной системе, ассоциированной с $O x y$, и ее проективными координатами $(x_{1}: x_{2}: x_{3})$ относительно системы $E_{1} E_{2} E_{3} E$, если за точки $E_{1}, E_{2}, E_{3}, E$ принимаются соответственно точки $O, Q, R, S$, где $Q$ и $R$ — несобственные точки осей $O x$ и $O y$ соответственно.

На плоскости даны точки $A(1,2), B(-1,2), C(2,3), D(-3,4)$. Принимая их соответственно за фундаментальные точки $E_{1}, E_{2}, E_{3}, E$ проективной системы координат, найти в ней координаты точек $F(-2,0)$ и $G(5,3)$.

Относительно проективной системы координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ даны фундаментальные и единичная точки другой системы $E_{1}^{\prime }(4: 1: 1)$, $E_{2}^{\prime }(4: 4: 1), E_{3}^{\prime }(0: 4: 1), E^{\prime }(2: 1: 1)$. Найти формулы, выражающие координаты $(x_{1}: x_{2}: x_{3})$ произвольной точки относительно системы координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ через ее координаты $(x_{1}^{\prime }: x_{2}^{\prime }: x_{3}^{\prime })$ в системе $E_{1}^{\prime } E_{2}^{\prime } E_{3}^{\prime } E$.

На аффинно-проективной плоскости дан треугольник $E_{1} E_{2} E_{3}$, $E$ — точка пересечения его медиан. В проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ найти координаты несобственных точек сторон треугольника и уравнения его медиан.

Составить уравнение несобственной прямой аффинно-проективной плоскости в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$, если за $E$ принимается точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника $E_{1} E_{2} E_{3}$, длины сторон $E_{2} E_{3}, E_{3} E_{1}, E_{1} E_{2}$ которого равны $a, b, c$ соответственно.

Составить уравнение несобственной прямой аффинно-проективной плоскости в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$, если за $E$ принимается точка пересечения высот треугольника $E_{1} E_{2} E_{3}$, длины сторон $E_{2} E_{3}, E_{3} E_{1}, E_{1} E_{2}$ которого равны $a, b, c$, а противолежащие углы - $\alpha , \beta , \gamma$ соответственно.

В проективной системе координат записать уравнение прямой, проходящей через точки $(1: 2:-1)$ и $(3: 5:-2)$.

В некоторой арифметической модели проективной плоскости даны четыре точки $A(1: 2: 3), B(-1: 2: 2), C(3: 1: 5), D(2: 0: 1)$. Найти точку пересечения прямых $A B$ и $C D$.

(Теорема Дезарга). Даны такие точки $A, B, C, P, Q, R$, что точки пересечения пар прямых $P Q$ и $A B, Q R$ и $B C, P R$ и $A C$ лежат на одной прямой. Доказать, что прямые $A P, B Q, C R$ принадлежат одному пучку.

На прямой $E_{1} E_{3}$ взяты две произвольные различные точки $A$ и $B$, отличные от точек $E_{1}$ и $E_{3}$, на прямой $E_{1} E_{2}$ взяты две произвольные различные точки $C$ и $D$, отличные от точек $E_{1}$ и $E_{2}$. Доказать, что точки пересечения пар прямых $E_{2} E_{3}$ и $B C, E_{2} A$ и $D B, E_{3} D$ и $C A$ лежат на одной прямой.

Через две различные точки $Q$ и $R$ проективной плоскости проведены прямые: через точку $Q$ — прямые $\ell_{1}, \ell_{3}, \ell_{5}$; через точку $Q$ — прямые $\ell_{2}, \ell_{4}, \ell_{6}$. Обозначим через $(i k)$ точку пересечения прямых $\ell_{i}$ и $\ell_{k}$. Доказать, что прямые, проходящие через пары точек (12) и (45), (23) и (56), (34) и (61), принадлежат одному пучку.

Сформулировать и доказать предложение, двойственное предложению предыдущей задачи.

Доказать, что если $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ — четыре точки проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то три точки пересечения прямых $A_{1} A_{2}$ и $A_{3} A_{4}, A_{1} A_{3}$ и $A_{2} A_{4}, A_{1} A_{4}$ и $A_{2} A_{3}$ также не лежат на одной прямой.

Относительно проективной системы координат даны четыре точки $A(1: 1: 2), B(3:-1: 2), C(11:-1: 10), D(3: 7: 10)$. Доказать, что они лежат на одной прямой. Найти ангармоническое отношение $(A B C D)$.

Даны три точки $A(1: 2: 3), B(-3: 2: 4), C(-2: 4: 7)$. Доказать, что они лежат на одной прямой, и найти к ним четвертую гармоническую точку $D$.

В проективной плоскости дан треугольник $A B C$ и точка $S$, не лежащая ни на одной из его сторон. Пусть $P, Q$ и $R$-точки пересечения прямых $A S, B S$ и $C S$ соответственно с прямыми $B C, C A$ и $A B$, а $L, M$ и $N$ — точки, четвертые гармонические к тройкам $B C P$, $C A Q$ и $A B R$ соответственно. Доказать, что точки $L, M$ и $N$ лежат на одной прямой.

Для предложения предыдущей задачи сформулировать и доказать предложение:

В какие точки переходят точки $A(1: 2: 3), B(2:-1: 4)$, $C(-1: 0: 1)$ при проективном преобразовании $\left(x_{1}^{\prime }: x_{2}^{\prime }: x_{3}^{\prime }\right) = \left(\left(2 x_{1}-3 x_{2}+x_{3}\right):\left(3 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}\right):\left(3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}\right)\right)$?

В какие точки переходят фундаментальные точки и единичная точка при проективном преобразовании

На проективной плоскости даны четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что существует проективное преобразование, переводящее эти точки в вершины параллелограмма.

Найти проективное преобразование, которое оставляет фундаментальные точки данной проективной системы координат неподвижными, а единичную точку $E$ переводит в точку $E^{\prime }\left(c_{1}: c_{2}: c_{3}\right)$.

Найти проективное преобразование, переводящее фундаментальную точку $E_{1}$ данной проективной системы в $E_{2}$, точку $E_{2}$ — в $E_{3}$, точку $E_{3}$ — в $E_{1}$ и оставляющее на месте единичную точку.

Найти проективное преобразование аффинно-проективной плоскости, оставляющее на месте начало координат и единичную точку и переводящее несобственные точки осей $O x$ и $О у$ соответственно в точки $(1,0)$ и $(0,1)$.

В какие прямые переходят прямые $\ell_{1}: x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} = 0, \quad \ell_{2}:-x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3} = 0, \quad \ell_{3}: 4 x_{2}-3 x_{3} = 0$ при проективном преобразовании

Найти общий вид тех проективных преобразований, которые:

Найти проективное преобразование, которое оставляет на месте точку $(0,0)$ и переводит прямые

соответственно в прямые

Определить проективный класс следующих кривых, пользуясь методом Лагранжа:

Найти проективное преобразование, которое переводит:

Найти уравнение окружности, описанной около квадрата, принимая три его вершины за фундаментальные точки, а четвертую — за единичную точку проективной системы координат.

Как преобразуется уравнение параболы $y^{2} = 4 x$, если от декартовых координат $(x, y)$ перейти к проективным $(x_{1}: x_{2}: x_{3})$, принимая $E_{1}(1,0), E_{2}(-1,2), E_{3}(-1,-2)$ за фундаментальные точки, начало координат — за единичную точку проективной системы координат?

Как преобразуется уравнение окружности $x^{2}+y^{2} = 1$, если от декартовых координат $(x, y)$ перейти к проективным $(x_{1}: x_{2}: x_{3})$, принимая за стороны $E_{2} E_{3}, E_{3} E_{1}, E_{1} E_{2}$ фундаментального треугольника прямые $1+y = 0,1-y = 0, x = 0$, а за единичную точку — точку $E(1,0)$?

Найти проективное преобразование, которое переводит окружность $x^{2}+y^{2} = 25$ в себя, а точки $A(3,-4), B(3,4)$ и середину $M$ хорды $A B$ — в точки $A^{\prime }(-4,3), B^{\prime }(-4,-3)$ и середину $M^{\prime }$ хорды $A^{\prime } B^{\prime }$.

Найти проективное преобразование, которое переводит эллипс

в тот же эллипс, а точки эллипса $A(0,5), B(-10,0), C(8,3)$ — соответственно в точки $A^{\prime }(0,-5), B^{\prime }(0,5), C^{\prime }(10,0)$.

Найти общий вид тех проективных преобразований, при которых гипербола

переходит в ту же гиперболу, а касательные в вершинах к гиперболе переходят в ее асимптоты.

Найти проективное преобразование, при котором парабола $y^{2} = 4 x$ переходит в ту же параболу, а точки параболы $A(1,2)$, $B(16,-8), C(1,-2)$ переходят соответственно в точки $A^{\prime }(1,2)$, $B^{\prime }(1,-2), C^{\prime }(0,0)$.

Найти проективное преобразование параболы $y^{2} = 4 x$ в окружность $x^{2}+y^{2} = 25$, при котором точки параболы $A(4,-4), B(0,0)$, $C(4,4)$ переходят в точки окружности $A^{\prime }(0,-5), B^{\prime }(5,0), C^{\prime }(0,5)$.

В проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ составить общее уравнение овала, касающегося двух сторон $E_{3} E_{1}$ и $E_{3} E_{2}$ треугольника $E_{1} E_{2} E_{3}$ в вершинах $E_{1}$ и $E_{2}$.

Доказать, что любой овал на аффинно-проективной плоскости можно записать параметрически в виде

где матрица $(c_{i j})$ невырожденна. При каких условиях это уравнение определяет:

Написать параметрические уравнения окружности $x^{2}+y^{2} = 1$, принимая за параметр $t$ точки $M$ угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $M$ и фиксированную точку $(\cos \varphi , \sin \varphi )$ окружности.

Найти параметрические уравнения вида (9.2) гиперболы

для которого при значениях параметра $t = -1, t = 1, t = 0$ получаются точки $(-a, 0),(a, 0)$ и несобственная точка асимптоты $\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 0$ соответственно.

Найти общее уравнение кривой второго порядка, заданной параметрическими уравнениями:

Пусть две параметрические кривые $(x(t), y(t))$ и $(u(t), v(t))$ вида (9.2) задают один и тот же овал на аффинно-проективной плоскости, т.е. существует функция $s(t)$ такая, что $u(s(t)) = x(t)$, $v(s(t)) = y(t)$. Доказать, что тогда функция $s(t)$ дробно-линейная:

где $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ — невырожденная матрица.

Пусть $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ — три произвольные точки, лежащие на овале, а $\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}$ — касательные к овалу в этих точках. Доказать, что три точки пересечения прямых $\ell_{1}$ и $A_{2} A_{3}, \ell_{2}$ и $A_{3} A_{1}, \ell_{3}$ и $A_{1} A_{2}$ лежат на одной прямой.

Доказать, что если треугольник $A_{1} A_{2} A_{3}$ описан около действительного овала, а $A_{4}, A_{5}, A_{6}$ — точки касания сторон $A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}$, $A_{3} A_{1}$ с данной линией, то прямые $A_{1} A_{5}, A_{2} A_{6}, A_{3} A_{4}$ проходят через одну точку.

Доказать, что если уравнение

определяет действительную невырожденную кривую второго порядка, то условие

необходимо и достаточно для того, чтобы точка $M\left(x_{1}: x_{2}: x_{3}\right)$ была внутренней.

Пусть $A B C$ и $A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime }$ — два треугольника, лежащие на проективной плоскости и такие, что прямые $A A^{\prime }, B B^{\prime }, C C^{\prime }$ проходят через одну точку. Доказать, что шесть точек пересечения прямых $A B$ и $A^{\prime } C^{\prime }, A B$ и $B^{\prime } C^{\prime }, A C$ и $A^{\prime } B^{\prime }, A C$ и $B^{\prime } C^{\prime }, B C$ и $C^{\prime } A^{\prime }, B C$ и $A^{\prime } B^{\prime }$ лежат на одной и той же линии второго порядка.

Пусть $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ — пять произвольных точек, лежащих на действительном овале. Доказать, что если $\ell$ — касательная к этому овалу в точке $A_{1}$, то три точки пересечения прямых $\ell$ и $A_{3} A_{4}$, $A_{1} A_{2}$ и $A_{4} A_{5}, A_{2} A_{3}$ и $A_{1} A_{5}$ лежат на одной прямой.

(Теорема Брианшона). Около действительной нераспадающейся линии второго порядка описан шестиугольник $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$. Доказать, что прямые $A_{1} A_{4}, A_{2} A_{5}, A_{3} A_{6}$ проходят через одну точку.

Доказать, что если стороны двух треугольников касаются линии второго порядка, то через шесть вершин этих треугольников можно провести линию второго порядка.

Действительная невырожденная кривая второго порядка задана общим уравнением второго порядка в проективных координатах. Найти необходимое и достаточное условие того, что прямая $A x_{1}+B x_{2}+C x_{3} = 0$ пересекает данную кривую.

Найти поляру точки $A$ относительно линии второго порядка, заданной уравнением $F(x, y) = 0$ в каждом из следующих случаев:

Доказать, что директрисы линии второго порядка являются полярами соответствующих фокусов относительно данной линии.

Найти полюс прямой $\ell$ относительно линии второго порядка $F$ в каждом из следующих случаев:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку $(2,1)$ и полярно сопряженной с прямой $4 x-y+30 = 0$ относительно линии второго порядка $x^{2}-6 x y+9 y^{2}-12 x+14 y-7 = 0$.

На прямой $x+5 y-18 = 0$ найти точку, полярно сопряженную с точкой $(-5,4)$ относительно линии второго порядка $2 x y- -6 x+4 y-1 = 0$.

Даны две линии второго порядка: парабола $A x^{2}-2 y = 0$ и гипербола $2 x y = A$. Найти точку, полярой которой относительно обеих кривых служила бы одна и та же прямая.