Проективная плоскость

На аффинно-проективной плоскости введена проективная система координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ и аффинная система координат $O x y$ так, что в системе $O x y$ прямые $E_{2} E_{3}, E_{3} E_{1}, E_{1} E_{2}$ задаются уравнениями $x-4 = 0, y-3 = 0,3 x+4 y-12 = 0$ соответственно, а точка $E$ имеет координаты $(3,2)$. Найти:

В аффинной системе координат $O x y$ прямые $E_{1} E_{2}, E_{2} E_{3}$, $E_{3} E_{1}$ задаются уравнениями $y = 2, x = 0$ и $y = 0$ соответственно, а точка $E$ имеет координаты $(1,1)$. Найти в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ центр пучка прямых, параллельных оси $O y$.

Фундаментальные точки и единичная точка проективной системы координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ имеют следующие декартовы координаты относительно аффинной системы координат $O x y: E_{1}(1,1), E_{2}(-1,1)$, $E_{3}(0,0), E(0,1 / 2)$. Найти в системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ уравнения осей координат $O x, O y$ и несобственной прямой.

На плоскости с аффинной системой координат $O x y$ дана точка $S(1 / 2,1 / 3)$. Найти связь между однородными координатами $(x: y: z)$ точки $M$ в стандартной проективной системе, ассоциированной с $O x y$, и ее проективными координатами $(x_{1}: x_{2}: x_{3})$ относительно системы $E_{1} E_{2} E_{3} E$, если за точки $E_{1}, E_{2}, E_{3}, E$ принимаются соответственно точки $O, Q, R, S$, где $Q$ и $R$ — несобственные точки осей $O x$ и $O y$ соответственно.

На плоскости даны точки $A(1,2), B(-1,2), C(2,3), D(-3,4)$. Принимая их соответственно за фундаментальные точки $E_{1}, E_{2}, E_{3}, E$ проективной системы координат, найти в ней координаты точек $F(-2,0)$ и $G(5,3)$.

Относительно проективной системы координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ даны фундаментальные и единичная точки другой системы $E_{1}^{\prime }(4: 1: 1)$, $E_{2}^{\prime }(4: 4: 1), E_{3}^{\prime }(0: 4: 1), E^{\prime }(2: 1: 1)$. Найти формулы, выражающие координаты $(x_{1}: x_{2}: x_{3})$ произвольной точки относительно системы координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ через ее координаты $(x_{1}^{\prime }: x_{2}^{\prime }: x_{3}^{\prime })$ в системе $E_{1}^{\prime } E_{2}^{\prime } E_{3}^{\prime } E$.

На аффинно-проективной плоскости дан треугольник $E_{1} E_{2} E_{3}$, $E$ — точка пересечения его медиан. В проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ найти координаты несобственных точек сторон треугольника и уравнения его медиан.

Составить уравнение несобственной прямой аффинно-проективной плоскости в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$, если за $E$ принимается точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника $E_{1} E_{2} E_{3}$, длины сторон $E_{2} E_{3}, E_{3} E_{1}, E_{1} E_{2}$ которого равны $a, b, c$ соответственно.

Составить уравнение несобственной прямой аффинно-проективной плоскости в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$, если за $E$ принимается точка пересечения высот треугольника $E_{1} E_{2} E_{3}$, длины сторон $E_{2} E_{3}, E_{3} E_{1}, E_{1} E_{2}$ которого равны $a, b, c$, а противолежащие углы - $\alpha , \beta , \gamma$ соответственно.

В проективной системе координат записать уравнение прямой, проходящей через точки $(1: 2:-1)$ и $(3: 5:-2)$.

В некоторой арифметической модели проективной плоскости даны четыре точки $A(1: 2: 3), B(-1: 2: 2), C(3: 1: 5), D(2: 0: 1)$. Найти точку пересечения прямых $A B$ и $C D$.

(Теорема Дезарга). Даны такие точки $A, B, C, P, Q, R$, что точки пересечения пар прямых $P Q$ и $A B, Q R$ и $B C, P R$ и $A C$ лежат на одной прямой. Доказать, что прямые $A P, B Q, C R$ принадлежат одному пучку.

На прямой $E_{1} E_{3}$ взяты две произвольные различные точки $A$ и $B$, отличные от точек $E_{1}$ и $E_{3}$, на прямой $E_{1} E_{2}$ взяты две произвольные различные точки $C$ и $D$, отличные от точек $E_{1}$ и $E_{2}$. Доказать, что точки пересечения пар прямых $E_{2} E_{3}$ и $B C, E_{2} A$ и $D B, E_{3} D$ и $C A$ лежат на одной прямой.

Через две различные точки $Q$ и $R$ проективной плоскости проведены прямые: через точку $Q$ — прямые $\ell_{1}, \ell_{3}, \ell_{5}$; через точку $Q$ — прямые $\ell_{2}, \ell_{4}, \ell_{6}$. Обозначим через $(i k)$ точку пересечения прямых $\ell_{i}$ и $\ell_{k}$. Доказать, что прямые, проходящие через пары точек (12) и (45), (23) и (56), (34) и (61), принадлежат одному пучку.

Сформулировать и доказать предложение, двойственное предложению предыдущей задачи.

Доказать, что если $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ — четыре точки проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то три точки пересечения прямых $A_{1} A_{2}$ и $A_{3} A_{4}, A_{1} A_{3}$ и $A_{2} A_{4}, A_{1} A_{4}$ и $A_{2} A_{3}$ также не лежат на одной прямой.

Относительно проективной системы координат даны четыре точки $A(1: 1: 2), B(3:-1: 2), C(11:-1: 10), D(3: 7: 10)$. Доказать, что они лежат на одной прямой. Найти ангармоническое отношение $(A B C D)$.

Даны три точки $A(1: 2: 3), B(-3: 2: 4), C(-2: 4: 7)$. Доказать, что они лежат на одной прямой, и найти к ним четвертую гармоническую точку $D$.

В проективной плоскости дан треугольник $A B C$ и точка $S$, не лежащая ни на одной из его сторон. Пусть $P, Q$ и $R$-точки пересечения прямых $A S, B S$ и $C S$ соответственно с прямыми $B C, C A$ и $A B$, а $L, M$ и $N$ — точки, четвертые гармонические к тройкам $B C P$, $C A Q$ и $A B R$ соответственно. Доказать, что точки $L, M$ и $N$ лежат на одной прямой.

Для предложения предыдущей задачи сформулировать и доказать предложение: